Номер 15.11, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.11.

1) $(\frac{2}{3}xy - 1)xy - (1 - \frac{2}{3}xy)$;

2) $(\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} - y(y - \frac{4}{9}x)$;

3) $(\frac{25}{49}x^2 + 1)y + (1 + \frac{25}{49}x^2)$;

4) $(1\frac{8}{19}y^2 + 15x^2)x + y(15x^2 + 1\frac{8}{19}y^2).$

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{2}{3}xy - 1)xy - (1 - \frac{2}{3}xy)$, заметим, что второй член $(1 - \frac{2}{3}xy)$ можно представить как $-(\frac{2}{3}xy - 1)$.
Тогда выражение принимает вид:
$(\frac{2}{3}xy - 1)xy - (-(\frac{2}{3}xy - 1)) = (\frac{2}{3}xy - 1)xy + (\frac{2}{3}xy - 1)$.
Теперь мы можем вынести общий множитель $(\frac{2}{3}xy - 1)$ за скобки. Второй член можно представить как $(\frac{2}{3}xy - 1) \cdot 1$:
$(\frac{2}{3}xy - 1)(xy + 1)$.
Далее раскроем скобки, умножая каждый член первой скобки на каждый член второй:
$\frac{2}{3}xy \cdot xy + \frac{2}{3}xy \cdot 1 - 1 \cdot xy - 1 \cdot 1 = \frac{2}{3}x^2y^2 + \frac{2}{3}xy - xy - 1$.
Приведем подобные слагаемые:
$\frac{2}{3}x^2y^2 + (\frac{2}{3} - 1)xy - 1 = \frac{2}{3}x^2y^2 - \frac{1}{3}xy - 1$.
Ответ: $\frac{2}{3}x^2y^2 - \frac{1}{3}xy - 1$.

2) В выражении $(\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} - y(y - \frac{4}{9}x)$ обратим внимание на второй множитель в скобках: $y - \frac{4}{9}x = -(\frac{4}{9}x - y)$.
Подставим это в исходное выражение:
$(\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} - y(-(\frac{4}{9}x - y)) = (\frac{4}{9}x - y)\frac{4}{9} + y(\frac{4}{9}x - y)$.
Вынесем общий множитель $(\frac{4}{9}x - y)$ за скобки:
$(\frac{4}{9}x - y)(\frac{4}{9} + y)$.
Раскроем скобки, чтобы получить конечный вид многочлена:
$\frac{4}{9}x \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{9}x \cdot y - y \cdot \frac{4}{9} - y \cdot y = \frac{16}{81}x + \frac{4}{9}xy - \frac{4}{9}y - y^2$.
Ответ: $\frac{16}{81}x + \frac{4}{9}xy - \frac{4}{9}y - y^2$.

3) Рассмотрим выражение $(\frac{25}{49}x^2 + 1)y + (1 + \frac{25}{49}x^2)$.
Здесь мы видим, что выражение в скобках в обоих слагаемых одинаковое, так как $ \frac{25}{49}x^2 + 1 = 1 + \frac{25}{49}x^2$.
Представим выражение в виде: $(\frac{25}{49}x^2 + 1)y + (\frac{25}{49}x^2 + 1) \cdot 1$.
Вынесем общий множитель $(\frac{25}{49}x^2 + 1)$ за скобки:
$(\frac{25}{49}x^2 + 1)(y + 1)$.
Теперь раскроем скобки:
$\frac{25}{49}x^2 \cdot y + \frac{25}{49}x^2 \cdot 1 + 1 \cdot y + 1 \cdot 1 = \frac{25}{49}x^2y + \frac{25}{49}x^2 + y + 1$.
Ответ: $\frac{25}{49}x^2y + \frac{25}{49}x^2 + y + 1$.

4) Дано выражение $(1\frac{8}{19}y^2 + 15x^2)x + y(15x^2 + 1\frac{8}{19}y^2)$.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{8}{19} = \frac{1 \cdot 19 + 8}{19} = \frac{27}{19}$.
Выражение примет вид: $(\frac{27}{19}y^2 + 15x^2)x + y(15x^2 + \frac{27}{19}y^2)$.
Выражения в скобках идентичны благодаря коммутативности сложения. Вынесем общий множитель $(\frac{27}{19}y^2 + 15x^2)$ за скобки:
$(\frac{27}{19}y^2 + 15x^2)(x + y)$.
Раскроем скобки:
$\frac{27}{19}y^2 \cdot x + \frac{27}{19}y^2 \cdot y + 15x^2 \cdot x + 15x^2 \cdot y = \frac{27}{19}xy^2 + \frac{27}{19}y^3 + 15x^3 + 15x^2y$.
Для стандартной записи многочлена упорядочим слагаемые по убыванию степеней переменной $x$:
$15x^3 + 15x^2y + \frac{27}{19}xy^2 + \frac{27}{19}y^3$.
Ответ: $15x^3 + 15x^2y + \frac{27}{19}xy^2 + \frac{27}{19}y^3$.