Номер 15.13, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите уравнения (15.13–15.14):

15.13.1) $(7x - 5)x = (1,5 - 2,1x);$

2) $(1 - 8x)x = (11,2x - 1,4);$

3) $(1,7x - \frac{1}{3})x = (3 - 15,3x) \cdot \frac{1}{2};$

4) $(\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7})x = (3,9 - 0,3x) \cdot \frac{1}{35}.$

1) Исходное уравнение: $(7x - 5)x = (1,5 - 2,1x)$.
Заметим, что правую часть уравнения можно преобразовать, вынеся общий множитель. $1,5 = -0,3 \cdot (-5)$ и $-2,1x = -0,3 \cdot 7x$.
Следовательно, $1,5 - 2,1x = -0,3(7x - 5)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(7x - 5)x = -0,3(7x - 5)$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$(7x - 5)x + 0,3(7x - 5) = 0$
Вынесем общий множитель $(7x - 5)$ за скобки:
$(7x - 5)(x + 0,3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два уравнения:
$7x - 5 = 0$ или $x + 0,3 = 0$
Решаем первое уравнение: $7x = 5 \implies x = \frac{5}{7}$.
Решаем второе уравнение: $x = -0,3$.
Ответ: $x_1 = -0,3; x_2 = \frac{5}{7}$.

2) Исходное уравнение: $(1 - 8x)x = (11,2x - 1,4)$.
Преобразуем правую часть уравнения, вынеся общий множитель. Заметим, что $11,2x = -1,4 \cdot (-8x)$ и $-1,4 = -1,4 \cdot 1$.
Следовательно, $11,2x - 1,4 = -1,4(-8x + 1) = -1,4(1 - 8x)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$(1 - 8x)x = -1,4(1 - 8x)$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$(1 - 8x)x + 1,4(1 - 8x) = 0$
Вынесем общий множитель $(1 - 8x)$ за скобки:
$(1 - 8x)(x + 1,4) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$1 - 8x = 0$ или $x + 1,4 = 0$
Решаем первое уравнение: $8x = 1 \implies x = \frac{1}{8}$.
Решаем второе уравнение: $x = -1,4$.
Ответ: $x_1 = -1,4; x_2 = \frac{1}{8}$.

3) Исходное уравнение: $(1,7x - \frac{1}{3})x = (3 - 15,3x) \cdot \frac{1}{2}$.
Преобразуем выражение в скобках в правой части: $3 - 15,3x = 9 \cdot \frac{1}{3} - 9 \cdot 1,7x = -9(1,7x - \frac{1}{3})$.
Подставим это в уравнение:
$(1,7x - \frac{1}{3})x = -9(1,7x - \frac{1}{3}) \cdot \frac{1}{2}$
$(1,7x - \frac{1}{3})x = -\frac{9}{2}(1,7x - \frac{1}{3})$
Перенесем все в левую часть:
$(1,7x - \frac{1}{3})x + \frac{9}{2}(1,7x - \frac{1}{3}) = 0$
Вынесем общий множитель $(1,7x - \frac{1}{3})$ за скобки:
$(1,7x - \frac{1}{3})(x + \frac{9}{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$1,7x - \frac{1}{3} = 0$ или $x + \frac{9}{2} = 0$
Решаем первое уравнение: $1,7x = \frac{1}{3} \implies \frac{17}{10}x = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{3} \cdot \frac{10}{17} = \frac{10}{51}$.
Решаем второе уравнение: $x = -\frac{9}{2} = -4,5$.
Ответ: $x_1 = -4,5; x_2 = \frac{10}{51}$.

4) Исходное уравнение: $(\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7})x = (3,9 - 0,3x) \cdot \frac{1}{35}$.
Сначала упростим выражения в скобках. Левая часть: $\frac{x}{7} - 1\frac{6}{7} = \frac{x}{7} - \frac{13}{7} = \frac{1}{7}(x-13)$.
Правая часть: $3,9 - 0,3x = 0,3(13 - x) = -0,3(x - 13)$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$\frac{1}{7}(x-13)x = -0,3(x - 13) \cdot \frac{1}{35}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{1}{7}(x-13)x + \frac{0,3}{35}(x-13) = 0$
Вынесем общий множитель $(x-13)$ за скобки:
$(x-13)(\frac{x}{7} + \frac{0,3}{35}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 13 = 0$ или $\frac{x}{7} + \frac{0,3}{35} = 0$
Решаем первое уравнение: $x = 13$.
Решаем второе уравнение: $\frac{x}{7} = -\frac{0,3}{35} \implies x = -7 \cdot \frac{0,3}{35} = -\frac{2,1}{35}$.
Упростим дробь: $x = -\frac{21}{350} = -\frac{3 \cdot 7}{50 \cdot 7} = -\frac{3}{50} = -0,06$.
Ответ: $x_1 = 13; x_2 = -0,06$.