Номер 15.12, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.12. Разложите на множители:

1) $\left(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{24}mx\right) - n\left(\frac{11}{12}n + 2\right) + \left(4 + 1\frac{5}{6}n\right) \cdot \frac{1}{2};$

2) $(169abc - 196cbax) + (13^2y - 14^2yx) - (14^2x - 13^2);$

3) $(225x^2yz^3 - 289yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 225x^2z^2);$

4) $(450tk^3 - 225k^2) + t(8t^2k - 4t) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2} - tk\right).$

1)

Для начала упростим коэффициенты в исходном выражении и раскроем скобки.Исходное выражение:$(\frac{121}{144}mnx + \frac{22}{24}mx) - n(\frac{11}{12}n + 2) + (4 + 1\frac{5}{6}n) \cdot \frac{1}{2}$

Упростим дроби: $\frac{22}{24} = \frac{11}{12}$ и $1\frac{5}{6} = \frac{11}{6}$.Выражение принимает вид:$(\frac{121}{144}mnx + \frac{11}{12}mx) - n(\frac{11}{12}n + 2) + (4 + \frac{11}{6}n) \cdot \frac{1}{2}$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:1. Первая скобка: $\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1)$.2. Второе слагаемое: $-n(\frac{11}{12}n + 2) = -\frac{11}{12}n^2 - 2n$.3. Третье слагаемое: $(4 + \frac{11}{6}n) \cdot \frac{1}{2} = 2 + \frac{11}{12}n$.

Соберем все вместе:$\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1) - \frac{11}{12}n^2 - 2n + 2 + \frac{11}{12}n$

Сгруппируем слагаемые, не содержащие $x$:$-\frac{11}{12}n^2 - 2n + \frac{11}{12}n + 2 = -\frac{11}{12}n^2 - (\frac{24}{12} - \frac{11}{12})n + 2 = -\frac{11}{12}n^2 - \frac{13}{12}n + 2$

Вынесем $-\frac{1}{12}$ за скобки:$-\frac{1}{12}(11n^2 + 13n - 24)$

Разложим на множители квадратный трехчлен $11n^2 + 13n - 24$. Найдем его корни:$D = 13^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-24) = 169 + 1056 = 1225 = 35^2$$n_1 = \frac{-13 - 35}{2 \cdot 11} = \frac{-48}{22} = -\frac{24}{11}$$n_2 = \frac{-13 + 35}{2 \cdot 11} = \frac{22}{22} = 1$Следовательно, $11n^2 + 13n - 24 = 11(n - (-\frac{24}{11}))(n-1) = (11n+24)(n-1)$.

Таким образом, все выражение можно записать в виде:$\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1) - \frac{1}{12}(11n+24)(n-1)$

Ответ: $\frac{11}{12}mx(\frac{11}{12}n + 1) - \frac{1}{12}(n-1)(11n+24)$

2)

Рассмотрим выражение:$(169abc - 196cbax) + (13^2y - 14^2yx) - (14^2x - 13^2)$

Заметим, что $169 = 13^2$ и $196 = 14^2$. Также учтем, что $cba = abc$ и $yx = xy$.Перепишем выражение:$(13^2abc - 14^2abcx) + (13^2y - 14^2xy) - (14^2x - 13^2)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:1. В первой скобке выносим $abc$: $abc(13^2 - 14^2x)$2. Во второй скобке выносим $y$: $y(13^2 - 14^2x)$3. В третьей скобке вынесем $-1$: $-(14^2x - 13^2) = (13^2 - 14^2x)$

Теперь выражение имеет вид:$abc(13^2 - 14^2x) + y(13^2 - 14^2x) + 1 \cdot (13^2 - 14^2x)$

Вынесем общий множитель $(13^2 - 14^2x)$ за скобки:$(13^2 - 14^2x)(abc + y + 1)$

Подставим числовые значения квадратов:$(169 - 196x)(abc + y + 1)$

Ответ: $(169 - 196x)(abc + y + 1)$

3)

Рассмотрим выражение:$(225x^2yz^3 - 289yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 225x^2z^2)$

Заметим, что $225 = 15^2$ и $289 = 17^2$.Перепишем выражение:$(15^2x^2yz^3 - 17^2yz) - (15^2x^2z^2 - 17^2) + (17^2 - 15^2x^2z^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:1. В первой скобке выносим $yz$: $yz(15^2x^2z^2 - 17^2)$2. Вторую скобку оставим как есть: $-(15^2x^2z^2 - 17^2)$3. В третьей скобке вынесем $-1$: $+(17^2 - 15^2x^2z^2) = -(15^2x^2z^2 - 17^2)$

Теперь выражение имеет вид:$yz(15^2x^2z^2 - 17^2) - 1 \cdot (15^2x^2z^2 - 17^2) - 1 \cdot (15^2x^2z^2 - 17^2)$

Вынесем общий множитель $(15^2x^2z^2 - 17^2)$ за скобки:$(15^2x^2z^2 - 17^2)(yz - 1 - 1) = (15^2x^2z^2 - 17^2)(yz - 2)$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ к первому множителю:$15^2x^2z^2 - 17^2 = (15xz)^2 - 17^2 = (15xz - 17)(15xz + 17)$

Окончательный результат:$(15xz - 17)(15xz + 17)(yz - 2)$

Ответ: $(15xz - 17)(15xz + 17)(yz - 2)$

4)

Рассмотрим выражение:$(450tk^3 - 225k^2) + t(8t^2k - 4t) - 2 \cdot (\frac{1}{2} - tk)$

Разложим на множители каждую группу слагаемых:1. Первая скобка: $450tk^3 - 225k^2 = 225k^2(2tk - 1)$2. Второе слагаемое: $t(8t^2k - 4t) = 8t^3k - 4t^2 = 4t^2(2tk - 1)$3. Третье слагаемое: $-2(\frac{1}{2} - tk) = -1 + 2tk = 2tk - 1$

Подставим полученные выражения обратно:$225k^2(2tk - 1) + 4t^2(2tk - 1) + 1 \cdot (2tk - 1)$

Теперь можно вынести общий множитель $(2tk - 1)$ за скобки:$(2tk - 1)(225k^2 + 4t^2 + 1)$

Выражение во второй скобке, $225k^2 + 4t^2 + 1 = (15k)^2 + (2t)^2 + 1^2$, является суммой квадратов и не может быть разложено на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(2tk - 1)(225k^2 + 4t^2 + 1)$