Номер 15.6, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.6.

1) $5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - (3a - 8);$

2) $7y(7x - y) + x(7x - y) - 7xy(7x - y) + (7x - y);$

3) $(a + b)^2(x + y) - x(a + b)^2 - y(a + b)^2 + (a + b)^2;$

4) $m(m + n^3) - n^3(m + n^3) + n(m + n^3) - m^3(m + n^3).$

1) В выражении $5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - (3a - 8)$ общим множителем для всех слагаемых является $(3a - 8)$. Вынесем его за скобки. Следует учесть, что последнее слагаемое $-(3a - 8)$ можно записать как $-1 \cdot (3a - 8)$.
$5a(3a - 8) - 3b(3a - 8) + 9ab(3a - 8) - 1 \cdot (3a - 8) = (3a - 8)(5a - 3b + 9ab - 1)$.
Выражение во второй скобке $(5a - 3b + 9ab - 1)$ дальнейшему упрощению или разложению на множители не подлежит.
Ответ: $(3a - 8)(5a - 3b + 9ab - 1)$

2) В выражении $7y(7x - y) + x(7x - y) - 7xy(7x - y) + (7x - y)$ общим множителем является $(7x - y)$. Вынесем его за скобки. Последнее слагаемое $+(7x-y)$ эквивалентно $+1 \cdot (7x-y)$.
$(7x - y)(7y + x - 7xy + 1)$.
Для более стандартного вида можно перегруппировать слагаемые во второй скобке: $(7x - y)(x - 7xy + 7y + 1)$.
Ответ: $(7x - y)(x - 7xy + 7y + 1)$

3) В выражении $(a + b)^2(x + y) - x(a + b)^2 - y(a + b)^2 + (a + b)^2$ вынесем за скобки общий множитель $(a + b)^2$. Последнее слагаемое $+(a + b)^2$ равно $+1 \cdot (a + b)^2$.
$(a + b)^2((x + y) - x - y + 1)$.
Теперь упростим выражение во второй скобке:
$x + y - x - y + 1 = (x - x) + (y - y) + 1 = 0 + 0 + 1 = 1$.
Таким образом, исходное выражение равно $(a + b)^2 \cdot 1$.
Ответ: $(a + b)^2$

4) В выражении $m(m + n^3) - n^3(m + n^3) + n(m + n^3) - m^3(m + n^3)$ вынесем за скобки общий множитель $(m + n^3)$.
$(m + n^3)(m - n^3 + n - m^3)$.
Упростим выражение во второй скобке, сгруппировав слагаемые:
$m - n^3 + n - m^3 = (m + n) - (m^3 + n^3)$.
Применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ к выражению $(m^3 + n^3)$:
$(m + n) - (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Вынесем общий множитель $(m+n)$ за скобки:
$(m+n)[1 - (m^2-mn+n^2)] = (m+n)(1-m^2+mn-n^2)$.
Подставим полученное выражение обратно в исходное разложение:
$(m + n^3)(m+n)(1 - m^2 + mn - n^2)$.
Ответ: $(m + n^3)(m+n)(1 - m^2 + mn - n^2)$