Номер 15.3, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.3.

1) $16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc;$

2) $9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2;$

3) $\frac{3}{16}a^4bc + \frac{7}{32}a^3bc - \frac{9}{64}a^4b^2c;$

4) $-\frac{5}{9}x^8y^2z^3 + \frac{11}{27}x^6y^3z^2 - \frac{11}{54}x^7y^4z.$

1) Исходное выражение: $16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc$.
Задача состоит в том, чтобы вынести общий множитель за скобки. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для каждого компонента многочлена: коэффициентов и переменных.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 16, 32 и 64.
$16 = 16 \cdot 1$
$32 = 16 \cdot 2$
$64 = 16 \cdot 4$
НОД(16, 32, 64) = 16.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $a$ степени в одночленах: $a^2$, $a^1$, $a^1$. Наименьшая степень – $a^1$ или просто $a$.
Для переменной $b$ степени в одночленах: $b^3$, $b^2$, $b^1$. Наименьшая степень – $b^1$ или просто $b$.
Переменная $c$ есть только в третьем члене, поэтому она не является общим множителем для всего выражения.
3. Собираем общий множитель. Он равен произведению НОД коэффициентов и общих переменных в наименьшей степени: $16ab$.
4. Выносим $16ab$ за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делим на $16ab$:
$16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc = 16ab \cdot (\frac{16a^2b^3}{16ab} - \frac{32ab^2}{16ab} + \frac{64abc}{16ab})$
$= 16ab \cdot (a^{2-1}b^{3-1} - 2a^{1-1}b^{2-1} + 4a^{1-1}b^{1-1}c)$
$= 16ab(ab^2 - 2b + 4c)$.
Ответ: $16ab(ab^2 - 2b + 4c)$.

2) Исходное выражение: $9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2$.
1. Находим НОД для коэффициентов 9, 27 и 54.
$9 = 9 \cdot 1$
$27 = 9 \cdot 3$
$54 = 9 \cdot 6$
НОД(9, 27, 54) = 9.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $x$: степени $x^3, x^2, x^1$. Наименьшая степень – $x^1=x$.
Для переменной $y$: степени $y^4, y^1, y^2$. Наименьшая степень – $y^1=y$.
Переменная $z$ присутствует только во втором члене, поэтому не является общим множителем.
3. Общий множитель равен $9xy$.
4. Выносим $9xy$ за скобки:
$9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2 = 9xy \cdot (\frac{9x^3y^4}{9xy} - \frac{27x^2yz}{9xy} + \frac{54xy^2}{9xy})$
$= 9xy \cdot (x^{3-1}y^{4-1} - 3x^{2-1}y^{1-1}z + 6x^{1-1}y^{2-1})$
$= 9xy(x^2y^3 - 3xz + 6y)$.
Ответ: $9xy(x^2y^3 - 3xz + 6y)$.

3) Исходное выражение: $\frac{3}{16}a^4bc + \frac{7}{32}a^3bc - \frac{9}{64}a^4b^2c$.
1. Находим общий множитель для дробных коэффициентов $\frac{3}{16}$, $\frac{7}{32}$ и $-\frac{9}{64}$. Для этого нужно найти НОД числителей и наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Общий множитель будет равен $\frac{НОД(числителей)}{НОК(знаменателей)}$.
НОД(3, 7, 9) = 1.
НОК(16, 32, 64) = 64.
Общий числовой множитель равен $\frac{1}{64}$.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $a$: степени $a^4, a^3, a^4$. Наименьшая степень – $a^3$.
Для переменной $b$: степени $b^1, b^1, b^2$. Наименьшая степень – $b^1=b$.
Для переменной $c$: степени $c^1, c^1, c^1$. Наименьшая степень – $c^1=c$.
3. Общий множитель для всего выражения: $\frac{1}{64}a^3bc$.
4. Выносим общий множитель за скобки:
$\frac{1}{64}a^3bc \cdot (\frac{\frac{3}{16}a^4bc}{\frac{1}{64}a^3bc} + \frac{\frac{7}{32}a^3bc}{\frac{1}{64}a^3bc} - \frac{\frac{9}{64}a^4b^2c}{\frac{1}{64}a^3bc})$
$= \frac{1}{64}a^3bc \cdot ((\frac{3}{16} \cdot 64)a^{4-3} + (\frac{7}{32} \cdot 64)a^{3-3} - (\frac{9}{64} \cdot 64)a^{4-3}b^{2-1})$
$= \frac{1}{64}a^3bc \cdot ((3 \cdot 4)a + (7 \cdot 2) - 9ab)$
$= \frac{1}{64}a^3bc(12a + 14 - 9ab)$.
Ответ: $\frac{1}{64}a^3bc(12a + 14 - 9ab)$.

4) Исходное выражение: $\frac{5}{9}x^8y^2z^3 + \frac{11}{27}x^6y^3z^2 - \frac{11}{54}x^7y^4z$.
1. Находим общий множитель для дробных коэффициентов $\frac{5}{9}$, $\frac{11}{27}$ и $-\frac{11}{54}$.
НОД числителей: НОД(5, 11, 11) = 1.
НОК знаменателей: $9=3^2$, $27=3^3$, $54=2 \cdot 3^3$. НОК(9, 27, 54) = $2 \cdot 3^3 = 54$.
Общий числовой множитель: $\frac{1}{54}$.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $x$: степени $x^8, x^6, x^7$. Наименьшая степень – $x^6$.
Для переменной $y$: степени $y^2, y^3, y^4$. Наименьшая степень – $y^2$.
Для переменной $z$: степени $z^3, z^2, z^1$. Наименьшая степень – $z^1=z$.
3. Общий множитель для всего выражения: $\frac{1}{54}x^6y^2z$.
4. Выносим общий множитель за скобки:
$\frac{1}{54}x^6y^2z \cdot (\frac{\frac{5}{9}x^8y^2z^3}{\frac{1}{54}x^6y^2z} + \frac{\frac{11}{27}x^6y^3z^2}{\frac{1}{54}x^6y^2z} - \frac{\frac{11}{54}x^7y^4z}{\frac{1}{54}x^6y^2z})$
$= \frac{1}{54}x^6y^2z \cdot ((\frac{5}{9} \cdot 54)x^{8-6}z^{3-1} + (\frac{11}{27} \cdot 54)y^{3-2}z^{2-1} - (\frac{11}{54} \cdot 54)x^{7-6}y^{4-2})$
$= \frac{1}{54}x^6y^2z \cdot ((5 \cdot 6)x^2z^2 + (11 \cdot 2)yz - 11xy^2)$
$= \frac{1}{54}x^6y^2z(30x^2z^2 + 22yz - 11xy^2)$.
Ответ: $\frac{1}{54}x^6y^2z(30x^2z^2 + 22yz - 11xy^2)$.