Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Разложите на множители многочлены (15.1—15.7):

15.1. 1) $15ab - 8ac + \frac{2}{7}ad;$

2) $ -\frac{3}{8}xy + 0,9xz - 15x;$

3) $0,1mn + 2mk - 4m;$

4) $12tk - 8tx - 7t;$

5) $ -\frac{3}{4}at + 0,17ax - 5a;$

6) $ -\frac{6}{5}dx + \frac{3}{11}dy - 21d.$

1) Чтобы разложить многочлен $15ab - 8ac + \frac{2}{7}ad$ на множители, найдем общий множитель для всех его членов. Каждый член многочлена содержит переменную $a$. Коэффициенты $15$, $-8$ и $\frac{2}{7}$ не имеют общих делителей, кроме 1. Следовательно, общий множитель — это $a$. Вынесем его за скобки:
$15ab - 8ac + \frac{2}{7}ad = a(15b - 8c + \frac{2}{7}d)$.
Ответ: $a(15b - 8c + \frac{2}{7}d)$.

2) В многочлене $-\frac{3}{8}xy + 0,9xz - 15x$ общим множителем для всех членов является переменная $x$. Представим коэффициент $0,9$ в виде дроби: $0,9 = \frac{9}{10}$. Вынесем $x$ за скобки:
$-\frac{3}{8}xy + \frac{9}{10}xz - 15x = x(-\frac{3}{8}y + \frac{9}{10}z - 15)$.
Ответ: $x(-\frac{3}{8}y + \frac{9}{10}z - 15)$.

3) В многочлене $0,1mn + 2mk - 4m$ общим множителем для переменных является $m$. Также найдем общий множитель для коэффициентов $0,1$, $2$ и $-4$. Заметим, что $2 = 0,1 \cdot 20$ и $4 = 0,1 \cdot 40$. Таким образом, общим множителем коэффициентов является $0,1$. Значит, общий множитель для всего выражения — это $0,1m$. Вынесем его за скобки:
$0,1mn + 2mk - 4m = 0,1m(n + 20k - 40)$.
Ответ: $0,1m(n + 20k - 40)$.

4) Для многочлена $12tk - 8tx - 7t$ общим множителем является переменная $t$. Коэффициенты $12$, $-8$ и $-7$ являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1). Вынесем $t$ за скобки:
$12tk - 8tx - 7t = t(12k - 8x - 7)$.
Ответ: $t(12k - 8x - 7)$.

5) В многочлене $\frac{3}{4}at + 0,17ax - 5a$ общим множителем для всех членов является переменная $a$. Коэффициенты $\frac{3}{4}$, $0,17$ и $-5$ не имеют простого общего множителя, кроме 1. Вынесем $a$ за скобки:
$\frac{3}{4}at + 0,17ax - 5a = a(\frac{3}{4}t + 0,17x - 5)$.
Ответ: $a(\frac{3}{4}t + 0,17x - 5)$.

6) В многочлене $-\frac{6}{5}dx + \frac{3}{11}dy - 21d$ общим множителем для переменных является $d$. Рассмотрим коэффициенты $-\frac{6}{5}$, $\frac{3}{11}$ и $-21$. Числители $-6$, $3$ и $-21$ имеют общий делитель $3$. Поэтому мы можем вынести за скобки $3d$. Чтобы первый член в скобках был с положительным знаком, вынесем $-3d$:
$-\frac{6}{5}dx + \frac{3}{11}dy - 21d = -3d(\frac{2}{5}x - \frac{1}{11}y + 7)$.
Проверим: $-3d \cdot \frac{2}{5}x = -\frac{6}{5}dx$, $-3d \cdot (-\frac{1}{11}y) = \frac{3}{11}dy$, $-3d \cdot 7 = -21d$.
Ответ: $-3d(\frac{2}{5}x - \frac{1}{11}y + 7)$.

15.2. 1) $3ab + 9ac + 27ad$; 2) $4xy + 8xz - 16x$;

3) $0,2mn - 0,8mk + 1,6m$; 4) $9tk - 18tx + 27t$;

5) $0,75at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$; 6) $-\frac{2}{3}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d$.

1) Для разложения на множители выражения $3ab + 9ac + 27ad$ необходимо найти общий множитель для всех его членов.
Коэффициенты 3, 9, 27 имеют наибольший общий делитель (НОД) равный 3.
Каждый член выражения содержит переменную $a$.
Следовательно, общий множитель для всего выражения — это $3a$.
Вынесем $3a$ за скобки, разделив каждый член исходного многочлена на $3a$:
$3ab + 9ac + 27ad = 3a \cdot (\frac{3ab}{3a}) + 3a \cdot (\frac{9ac}{3a}) + 3a \cdot (\frac{27ad}{3a}) = 3a(b + 3c + 9d)$.
Ответ: $3a(b + 3c + 9d)$.

2) В выражении $4xy + 8xz - 16x$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 4, 8, -16 равен 4.
Общая переменная для всех членов — $x$.
Таким образом, общий множитель равен $4x$.
Вынесем $4x$ за скобки:
$4xy + 8xz - 16x = 4x \cdot (\frac{4xy}{4x}) + 4x \cdot (\frac{8xz}{4x}) - 4x \cdot (\frac{16x}{4x}) = 4x(y + 2z - 4)$.
Ответ: $4x(y + 2z - 4)$.

3) Рассмотрим выражение $0,2mn - 0,8mk + 1,6m$.
Общий множитель для десятичных коэффициентов 0,2, -0,8, 1,6 равен 0,2.
Общая переменная для всех членов — $m$.
Значит, общий множитель — $0,2m$.
Вынесем его за скобки:
$0,2mn - 0,8mk + 1,6m = 0,2m(\frac{0,2mn}{0,2m} - \frac{0,8mk}{0,2m} + \frac{1,6m}{0,2m}) = 0,2m(n - 4k + 8)$.
Проверка: $0,2m \cdot n = 0,2mn$; $0,2m \cdot (-4k) = -0,8mk$; $0,2m \cdot 8 = 1,6m$.
Ответ: $0,2m(n - 4k + 8)$.

4) В выражении $9tk - 18tx + 27t$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 9, -18, 27 равен 9.
Общая переменная для всех членов — $t$.
Общий множитель равен $9t$.
Вынесем $9t$ за скобки:
$9tk - 18tx + 27t = 9t(\frac{9tk}{9t} - \frac{18tx}{9t} + \frac{27t}{9t}) = 9t(k - 2x + 3)$.
Проверка: $9t \cdot k = 9tk$; $9t \cdot (-2x) = -18tx$; $9t \cdot 3 = 27t$.
Ответ: $9t(k - 2x + 3)$.

5) Рассмотрим выражение $0,75at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$.
Для удобства представим все коэффициенты в виде обыкновенных дробей. $0,75 = \frac{3}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{3}{4}at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$.
Найдем общий множитель. Общая переменная — $a$. Для нахождения общего множителя коэффициентов $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{4}$ и $-\frac{9}{16}$ найдем наибольший общий делитель этих дробей. НОД числителей (3, 3, 9) равен 3. Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей (4, 4, 16) равно 16. Тогда общий числовой множитель равен $\frac{НОД(3,3,9)}{НОК(4,4,16)} = \frac{3}{16}$.
Общий множитель всего выражения: $\frac{3}{16}a$.
Вынесем его за скобки:
$\frac{3}{16}a \cdot (\frac{\frac{3}{4}at}{\frac{3}{16}a} + \frac{\frac{3}{4}ax}{\frac{3}{16}a} - \frac{\frac{9}{16}a}{\frac{3}{16}a}) = \frac{3}{16}a (\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3}t + \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3}x - \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{3}) = \frac{3}{16}a(4t + 4x - 3)$.
Ответ: $\frac{3}{16}a(4t + 4x - 3)$.

6) В выражении $-\frac{2}{3}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d$ найдем общий множитель.
Общая переменная — $d$.
Найдем общий множитель для коэффициентов $-\frac{2}{3}$, $\frac{4}{9}$ и $-\frac{8}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $-\frac{6}{9}$, $\frac{4}{9}$, $-\frac{8}{9}$.
НОД для модулей числителей (6, 4, 8) равен 2. Общий знаменатель 9. Таким образом, общий числовой множитель $\frac{2}{9}$. Удобно вынести за скобку $-\frac{2}{9}$, чтобы первый член в скобках был положительным.
Общий множитель всего выражения: $-\frac{2}{9}d$.
Вынесем его за скобки:
$-\frac{2}{9}d \cdot (\frac{-\frac{2}{3}dx}{-\frac{2}{9}d} + \frac{\frac{4}{9}dy}{-\frac{2}{9}d} - \frac{\frac{8}{9}d}{-\frac{2}{9}d}) = -\frac{2}{9}d (\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2}x - \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2}y + \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{2}) = -\frac{2}{9}d(3x - 2y + 4)$.
Ответ: $-\frac{2}{9}d(3x - 2y + 4)$.

15.3.

1) $16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc;$

2) $9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2;$

3) $\frac{3}{16}a^4bc + \frac{7}{32}a^3bc - \frac{9}{64}a^4b^2c;$

4) $-\frac{5}{9}x^8y^2z^3 + \frac{11}{27}x^6y^3z^2 - \frac{11}{54}x^7y^4z.$

1) Исходное выражение: $16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc$.
Задача состоит в том, чтобы вынести общий множитель за скобки. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) для каждого компонента многочлена: коэффициентов и переменных.
1. Находим НОД для числовых коэффициентов 16, 32 и 64.
$16 = 16 \cdot 1$
$32 = 16 \cdot 2$
$64 = 16 \cdot 4$
НОД(16, 32, 64) = 16.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $a$ степени в одночленах: $a^2$, $a^1$, $a^1$. Наименьшая степень – $a^1$ или просто $a$.
Для переменной $b$ степени в одночленах: $b^3$, $b^2$, $b^1$. Наименьшая степень – $b^1$ или просто $b$.
Переменная $c$ есть только в третьем члене, поэтому она не является общим множителем для всего выражения.
3. Собираем общий множитель. Он равен произведению НОД коэффициентов и общих переменных в наименьшей степени: $16ab$.
4. Выносим $16ab$ за скобки. Для этого каждый член исходного многочлена делим на $16ab$:
$16a^2b^3 - 32ab^2 + 64abc = 16ab \cdot (\frac{16a^2b^3}{16ab} - \frac{32ab^2}{16ab} + \frac{64abc}{16ab})$
$= 16ab \cdot (a^{2-1}b^{3-1} - 2a^{1-1}b^{2-1} + 4a^{1-1}b^{1-1}c)$
$= 16ab(ab^2 - 2b + 4c)$.
Ответ: $16ab(ab^2 - 2b + 4c)$.

2) Исходное выражение: $9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2$.
1. Находим НОД для коэффициентов 9, 27 и 54.
$9 = 9 \cdot 1$
$27 = 9 \cdot 3$
$54 = 9 \cdot 6$
НОД(9, 27, 54) = 9.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $x$: степени $x^3, x^2, x^1$. Наименьшая степень – $x^1=x$.
Для переменной $y$: степени $y^4, y^1, y^2$. Наименьшая степень – $y^1=y$.
Переменная $z$ присутствует только во втором члене, поэтому не является общим множителем.
3. Общий множитель равен $9xy$.
4. Выносим $9xy$ за скобки:
$9x^3y^4 - 27x^2yz + 54xy^2 = 9xy \cdot (\frac{9x^3y^4}{9xy} - \frac{27x^2yz}{9xy} + \frac{54xy^2}{9xy})$
$= 9xy \cdot (x^{3-1}y^{4-1} - 3x^{2-1}y^{1-1}z + 6x^{1-1}y^{2-1})$
$= 9xy(x^2y^3 - 3xz + 6y)$.
Ответ: $9xy(x^2y^3 - 3xz + 6y)$.

3) Исходное выражение: $\frac{3}{16}a^4bc + \frac{7}{32}a^3bc - \frac{9}{64}a^4b^2c$.
1. Находим общий множитель для дробных коэффициентов $\frac{3}{16}$, $\frac{7}{32}$ и $-\frac{9}{64}$. Для этого нужно найти НОД числителей и наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Общий множитель будет равен $\frac{НОД(числителей)}{НОК(знаменателей)}$.
НОД(3, 7, 9) = 1.
НОК(16, 32, 64) = 64.
Общий числовой множитель равен $\frac{1}{64}$.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $a$: степени $a^4, a^3, a^4$. Наименьшая степень – $a^3$.
Для переменной $b$: степени $b^1, b^1, b^2$. Наименьшая степень – $b^1=b$.
Для переменной $c$: степени $c^1, c^1, c^1$. Наименьшая степень – $c^1=c$.
3. Общий множитель для всего выражения: $\frac{1}{64}a^3bc$.
4. Выносим общий множитель за скобки:
$\frac{1}{64}a^3bc \cdot (\frac{\frac{3}{16}a^4bc}{\frac{1}{64}a^3bc} + \frac{\frac{7}{32}a^3bc}{\frac{1}{64}a^3bc} - \frac{\frac{9}{64}a^4b^2c}{\frac{1}{64}a^3bc})$
$= \frac{1}{64}a^3bc \cdot ((\frac{3}{16} \cdot 64)a^{4-3} + (\frac{7}{32} \cdot 64)a^{3-3} - (\frac{9}{64} \cdot 64)a^{4-3}b^{2-1})$
$= \frac{1}{64}a^3bc \cdot ((3 \cdot 4)a + (7 \cdot 2) - 9ab)$
$= \frac{1}{64}a^3bc(12a + 14 - 9ab)$.
Ответ: $\frac{1}{64}a^3bc(12a + 14 - 9ab)$.

4) Исходное выражение: $\frac{5}{9}x^8y^2z^3 + \frac{11}{27}x^6y^3z^2 - \frac{11}{54}x^7y^4z$.
1. Находим общий множитель для дробных коэффициентов $\frac{5}{9}$, $\frac{11}{27}$ и $-\frac{11}{54}$.
НОД числителей: НОД(5, 11, 11) = 1.
НОК знаменателей: $9=3^2$, $27=3^3$, $54=2 \cdot 3^3$. НОК(9, 27, 54) = $2 \cdot 3^3 = 54$.
Общий числовой множитель: $\frac{1}{54}$.
2. Находим общие переменные в наименьшей степени.
Для переменной $x$: степени $x^8, x^6, x^7$. Наименьшая степень – $x^6$.
Для переменной $y$: степени $y^2, y^3, y^4$. Наименьшая степень – $y^2$.
Для переменной $z$: степени $z^3, z^2, z^1$. Наименьшая степень – $z^1=z$.
3. Общий множитель для всего выражения: $\frac{1}{54}x^6y^2z$.
4. Выносим общий множитель за скобки:
$\frac{1}{54}x^6y^2z \cdot (\frac{\frac{5}{9}x^8y^2z^3}{\frac{1}{54}x^6y^2z} + \frac{\frac{11}{27}x^6y^3z^2}{\frac{1}{54}x^6y^2z} - \frac{\frac{11}{54}x^7y^4z}{\frac{1}{54}x^6y^2z})$
$= \frac{1}{54}x^6y^2z \cdot ((\frac{5}{9} \cdot 54)x^{8-6}z^{3-1} + (\frac{11}{27} \cdot 54)y^{3-2}z^{2-1} - (\frac{11}{54} \cdot 54)x^{7-6}y^{4-2})$
$= \frac{1}{54}x^6y^2z \cdot ((5 \cdot 6)x^2z^2 + (11 \cdot 2)yz - 11xy^2)$
$= \frac{1}{54}x^6y^2z(30x^2z^2 + 22yz - 11xy^2)$.
Ответ: $\frac{1}{54}x^6y^2z(30x^2z^2 + 22yz - 11xy^2)$.

15.4. 1) $0.125m^2n^3 - 0.25mn + 0.625m^2n;$

2) $328t^2k^3 + 82t^2k^2;$

3) $0.09m^6n^5 + 0.27m^3n^8 - 0.09m^3n^5;$

4) $1.6t^{11}k^4 - 3.2t^{10}k + 0.8t^9k;$

5) $14m^4 - 49m^2nk + 7m^2n;$

6) $-8t^8k^3y + 64t^3k^8 - 4t^3k^3.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $0,125m²n³ - 0,25mn + 0,625m²n$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для каждого члена многочлена.
Сначала найдем НОД для числовых коэффициентов: $0,125$, $0,25$ и $0,625$. Наибольшим общим делителем является $0,125$.
Затем найдем общий множитель для переменных. Для $m$ наименьшая степень равна $1$ ($m¹=m$), для $n$ наименьшая степень также равна $1$ ($n¹=n$). Таким образом, общая часть для переменных - это $mn$.
Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, равен $0,125mn$.
Разделим каждый член многочлена на $0,125mn$:
$ \frac{0,125m²n³}{0,125mn} = mn² $
$ \frac{-0,25mn}{0,125mn} = -2 $
$ \frac{0,625m²n}{0,125mn} = 5m $
Запишем выражение в виде произведения: $0,125mn(mn² - 2 + 5m)$.
Ответ: $0,125mn(mn² - 2 + 5m)$.

2) В выражении $328t²k³ + 82t²k²$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов $328$ и $82$ равен $82$, так как $328 = 4 \cdot 82$.
Для переменных, общая часть для $t$ - это $t²$, а для $k$ - это $k²$. Таким образом, общая переменная часть - $t²k²$.
Общий множитель для всего выражения - $82t²k²$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $82t²k²$:
$328t²k³ + 82t²k² = 82t²k²(4k + 1)$.
Ответ: $82t²k²(4k + 1)$.

3) В выражении $0,09m⁶n⁵ + 0,27m³n⁸ - 0,09m³n⁵$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов $0,09$, $0,27$ и $0,09$ равен $0,09$.
Для переменных: наименьшая степень $m$ - это $m³$, наименьшая степень $n$ - это $n⁵$. Общая переменная часть - $m³n⁵$.
Общий множитель для всего выражения - $0,09m³n⁵$.
Вынесем его за скобки:
$0,09m³n⁵(m³ + 3n³ - 1)$.
Ответ: $0,09m³n⁵(m³ + 3n³ - 1)$.

4) В выражении $1,6t¹¹k⁴ - 3,2t¹⁰k + 0,8t⁹k$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов $1,6$, $3,2$ и $0,8$ равен $0,8$.
Для переменных: наименьшая степень $t$ - это $t⁹$, наименьшая степень $k$ - это $k¹=k$. Общая переменная часть - $t⁹k$.
Общий множитель для всего выражения - $0,8t⁹k$.
Вынесем его за скобки:
$0,8t⁹k(2t²k³ - 4t + 1)$.
Ответ: $0,8t⁹k(2t²k³ - 4t + 1)$.

5) В выражении $14m⁴ - 49m²nk + 7m²n$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов $14$, $49$ и $7$ равен $7$.
Для переменных: наименьшая степень $m$ - это $m²$. Переменные $n$ и $k$ не являются общими для всех членов. Общая переменная часть - $m²$.
Общий множитель для всего выражения - $7m²$.
Вынесем его за скобки:
$7m²(2m² - 7nk + n)$.
Ответ: $7m²(2m² - 7nk + n)$.

6) В выражении $-8t⁸k³y + 64t³k⁸ - 4t³k³$ найдем общий множитель.
НОД для модулей коэффициентов $|-8|=8$, $64$ и $|-4|=4$ равен $4$. Так как первый член многочлена отрицательный, удобно вынести за скобку отрицательный множитель $-4$.
Для переменных: наименьшая степень $t$ - это $t³$, наименьшая степень $k$ - это $k³$. Переменная $y$ не является общей. Общая переменная часть - $t³k³$.
Общий множитель для всего выражения - $-4t³k³$.
Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $-4t³k³$:
$ \frac{-8t⁸k³y}{-4t³k³} = 2t⁵y $
$ \frac{64t³k⁸}{-4t³k³} = -16k⁵ $
$ \frac{-4t³k³}{-4t³k³} = 1 $
Запишем результат: $-4t³k³(2t⁵y - 16k⁵ + 1)$.
Ответ: $-4t³k³(2t⁵y - 16k⁵ + 1)$.

15.5.

1) $12(a+b)-c \cdot (a+b)+5d(a+b);$

2) $14(m-n)+x(m-n);$

3) $-1,5(x+y)+x(x+y)-y(x+y)+(x+y);$

4) $(t+k)-8x(t+k);$

5) $(c+d)x-(c+d)y+5(c+d)+5xy(c+d).$

1) $12(a + b) - c \cdot (a + b) + 5d(a + b)$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести общий множитель за скобки. В каждом слагаемом присутствует общий множитель $(a + b)$. Вынесем его.

Для этого мы записываем общий множитель $(a + b)$, а в других скобках записываем то, что останется от каждого слагаемого после деления на $(a + b)$: от первого слагаемого останется $12$, от второго $-c$, а от третьего $+5d$.

Получаем следующее выражение:

$(a + b)(12 - c + 5d)$

Ответ: $(a + b)(12 - c + 5d)$.

2) $14(m - n) + x(m - n)$

В данном выражении общим множителем для обоих слагаемых является $(m - n)$. Вынесем его за скобки. В скобках останутся коэффициенты, на которые умножался общий множитель, то есть $14$ и $x$.

$(m - n)(14 + x)$

Ответ: $(m - n)(14 + x)$.

3) $-1,5(x + y) + x(x + y) - y(x + y) + (x + y)$

Общим множителем для всех членов выражения является $(x + y)$. Важно учесть, что последнее слагаемое $(x + y)$ равносильно $1 \cdot (x + y)$. Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки. В скобках останутся множители от каждого слагаемого: $-1,5$, $x$, $-y$ и $1$.

$(x + y)(-1,5 + x - y + 1)$

Теперь упростим выражение во второй скобке, приведя подобные слагаемые (в данном случае, числовые коэффициенты):

$-1,5 + 1 = -0,5$

В итоге получаем:

$(x + y)(x - y - 0,5)$

Ответ: $(x + y)(x - y - 0,5)$.

4) $(t + k) - 8x(t + k)$

Здесь общий множитель - это выражение $(t + k)$. Первое слагаемое $(t + k)$ можно представить как $1 \cdot (t + k)$. Вынесем общий множитель $(t + k)$ за скобки.

$(t + k)(1 - 8x)$

Ответ: $(t + k)(1 - 8x)$.

5) $(c + d)x - (c + d)y + 5(c + d) + 5xy(c + d)$

Во всех четырех слагаемых присутствует общий множитель $(c + d)$. Вынесем его за скобки. В скобках запишем оставшиеся от каждого слагаемого множители: $x$, $-y$, $5$ и $5xy$.

$(c + d)(x - y + 5 + 5xy)$

Выражение во второй скобке не содержит подобных слагаемых, поэтому дальнейшему упрощению не подлежит.

Ответ: $(c + d)(x - y + 5 + 5xy)$.