Страница 111 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях для разложения многочлена на множители можно применить способ группировки?

2. Каков алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки?

1. В каких случаях для разложения многочлена на множители можно применить способ группировки?

Способ группировки применяется для разложения многочлена на множители в тех случаях, когда у всех его членов нет общего множителя, но их можно объединить в группы таким образом, чтобы в результате преобразований появился общий множитель для всех групп. Этот метод чаще всего используется для многочленов, имеющих четное количество членов (четыре, шесть и т.д.), так как это облегчает разбиение на группы с одинаковым количеством членов.

Ключевым условием для успешного применения способа группировки является возможность выполнить такую группировку, при которой:

а) Внутри каждой группы есть свой общий множитель, который можно вынести за скобки.

б) После вынесения общих множителей из каждой группы в скобках остаются одинаковые выражения (многочлены). Этот многочлен и становится общим множителем для всех групп.

Например, рассмотрим многочлен $ab - 5b + 2a - 10$. У всех четырех членов нет общего множителя. Сгруппируем их попарно: $(ab - 5b) + (2a - 10)$.

В первой группе выносим за скобки общий множитель $b$: $b(a - 5)$.

Во второй группе выносим за скобки общий множитель $2$: $2(a - 5)$.

Получаем выражение: $b(a - 5) + 2(a - 5)$. Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель $(a - 5)$, который можно вынести за скобки. В результате получаем произведение: $(a - 5)(b + 2)$.

Если бы после вынесения множителей из групп в скобках получились разные выражения, это означало бы, что либо выбрана неверная группировка, либо данный многочлен нельзя разложить этим способом.

Ответ: Способ группировки можно применить, если члены многочлена удается объединить в группы так, что после вынесения общего множителя из каждой группы образуется новый общий множитель (в виде многочлена в скобках), который затем можно вынести за скобки, представив исходный многочлен в виде произведения.

2. Каков алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки?

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки включает в себя следующие шаги:

1. Объединить члены многочлена в группы. Обычно члены объединяют по два или по три, так чтобы в каждой группе был свой общий множитель. Если первая попытка группировки не приводит к результату, стоит попробовать объединить члены по-другому.

2. Вынести общий множитель за скобки в каждой группе. В каждой из созданных групп находится общий множитель и выносится за скобки.

3. Вынести общий множитель (многочлен) за скобки. Если после выполнения шага 2 в скобках получились одинаковые многочлены, то этот общий многочлен выносится за скобки как общий множитель для всех групп. В результате исходный многочлен представляется в виде произведения.

Рассмотрим применение алгоритма на примере многочлена $a^3 - 5a^2 - 4a + 20$.

Шаг 1: Группировка.

Объединим первые два члена в одну группу, а последние два — в другую. При группировке последнего слагаемого нужно быть внимательным со знаком. Вынесем знак «минус» за скобки у второй группы:

$(a^3 - 5a^2) + (-4a + 20) = (a^3 - 5a^2) - (4a - 20)$

Шаг 2: Вынесение общего множителя в каждой группе.

В первой группе $(a^3 - 5a^2)$ общий множитель — $a^2$. Выносим его: $a^2(a - 5)$.

Во второй группе $(4a - 20)$ общий множитель — $4$. Выносим его: $4(a - 5)$.

В результате получаем: $a^2(a - 5) - 4(a - 5)$.

Шаг 3: Вынесение общего многочлена за скобки.

Мы видим, что у обоих членов выражения есть общий множитель $(a - 5)$. Выносим его за скобки:

$(a - 5)(a^2 - 4)$

Заметим, что второй множитель $(a^2 - 4)$ является разностью квадратов и его также можно разложить: $a^2 - 4 = (a-2)(a+2)$.

Окончательное разложение: $(a - 5)(a - 2)(a + 2)$.

Ответ: Алгоритм состоит из трех шагов: 1) объединить члены многочлена в группы; 2) вынести в каждой группе общий множитель за скобки; 3) вынести получившийся общий для всех групп многочлен за скобки, завершая разложение.

Разложите на множители способом группировки многочлены (16.1–16.8):

16.1. 1) $x + xy + a + ay;$

2) $4 + 2m + 2n + mn;$

3) $kt + t - 2k - 2;$

4) $ab + ac + 7b + 7c;$

5) $am + an + 4m + 4n;$

6) $xz + yz - 3x - 3y;$

1) Для разложения многочлена $x + xy + a + ay$ на множители применим метод группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два: $(x + xy) + (a + ay)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x$, а во второй — $a$. Получим: $x(1 + y) + a(1 + y)$.
Теперь мы видим общий для обоих слагаемых множитель — это скобка $(1 + y)$. Вынесем ее за скобки: $(1 + y)(x + a)$.
Ответ: $(x + a)(y + 1)$

2) Разложим на множители многочлен $4 + 2m + 2n + mn$. Сгруппируем слагаемые: $(4 + 2m) + (2n + mn)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $2$, а во второй — $n$. Получим: $2(2 + m) + n(2 + m)$.
Общий множитель $(2 + m)$ вынесем за скобки: $(2 + m)(2 + n)$.
Ответ: $(m + 2)(n + 2)$

3) Разложим на множители многочлен $kt + t - 2k - 2$. Сгруппируем слагаемые: $(kt + t) + (-2k - 2)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $t$, а во второй — $-2$. Получим: $t(k + 1) - 2(k + 1)$.
Общий множитель $(k + 1)$ вынесем за скобки: $(k + 1)(t - 2)$.
Ответ: $(k + 1)(t - 2)$

4) Разложим на множители многочлен $ab + ac + 7b + 7c$. Сгруппируем слагаемые: $(ab + ac) + (7b + 7c)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — $7$. Получим: $a(b + c) + 7(b + c)$.
Общий множитель $(b + c)$ вынесем за скобки: $(b + c)(a + 7)$.
Ответ: $(a + 7)(b + c)$

5) Разложим на множители многочлен $am + an + 4m + 4n$. Сгруппируем слагаемые: $(am + an) + (4m + 4n)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во второй — $4$. Получим: $a(m + n) + 4(m + n)$.
Общий множитель $(m + n)$ вынесем за скобки: $(m + n)(a + 4)$.
Ответ: $(a + 4)(m + n)$

6) Разложим на множители многочлен $xz + yz - 3x - 3y$. Сгруппируем слагаемые: $(xz + yz) + (-3x - 3y)$.
В первой группе вынесем за скобки общий множитель $z$, а во второй — $-3$. Получим: $z(x + y) - 3(x + y)$.
Общий множитель $(x + y)$ вынесем за скобки: $(x + y)(z - 3)$.
Ответ: $(x + y)(z - 3)$