Страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (17.1–17.2):

17.1. 1) $(x^8 - 2)(x^4 - 1) - x^{12} + 2x^4;$

2) $a^9 - 9a^5 - (a^4 - 9)(a^5 + 3);$

3) $(x^{15} + 5)(x^3 + 2) - 10 - x^{18};$

4) $a^{42} - 14a^7 - (a^6 - 14)(a^7 - 1).$

1) $(x^8 - 2)(x^4 - 1) - x^{12} + 2x^4$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки, перемножив два двучлена $(x^8 - 2)$ и $(x^4 - 1)$:

$(x^8 - 2)(x^4 - 1) = x^8 \cdot x^4 + x^8 \cdot (-1) - 2 \cdot x^4 - 2 \cdot (-1) = x^{8+4} - x^8 - 2x^4 + 2 = x^{12} - x^8 - 2x^4 + 2$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^{12} - x^8 - 2x^4 + 2) - x^{12} + 2x^4$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(x^{12} - x^{12}) - x^8 + (-2x^4 + 2x^4) + 2 = 0 - x^8 + 0 + 2 = 2 - x^8$

Ответ: $2 - x^8$

2) $a^9 - 9a^5 - (a^4 - 9)(a^5 + 3)$

Сначала раскроем скобки в произведении $(a^4 - 9)(a^5 + 3)$:

$(a^4 - 9)(a^5 + 3) = a^4 \cdot a^5 + a^4 \cdot 3 - 9 \cdot a^5 - 9 \cdot 3 = a^{4+5} + 3a^4 - 9a^5 - 27 = a^9 + 3a^4 - 9a^5 - 27$

Подставим это в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки изменятся на противоположные:

$a^9 - 9a^5 - (a^9 + 3a^4 - 9a^5 - 27) = a^9 - 9a^5 - a^9 - 3a^4 + 9a^5 + 27$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^9 - a^9) + (-9a^5 + 9a^5) - 3a^4 + 27 = 0 + 0 - 3a^4 + 27 = 27 - 3a^4$

Ответ: $27 - 3a^4$

3) $(x^{15} + 5)(x^3 + 2) - 10 - x^{18}$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(x^{15} + 5)(x^3 + 2) = x^{15} \cdot x^3 + x^{15} \cdot 2 + 5 \cdot x^3 + 5 \cdot 2 = x^{15+3} + 2x^{15} + 5x^3 + 10 = x^{18} + 2x^{15} + 5x^3 + 10$

Подставим полученное выражение в исходное:

$(x^{18} + 2x^{15} + 5x^3 + 10) - 10 - x^{18}$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^{18} - x^{18}) + 2x^{15} + 5x^3 + (10 - 10) = 0 + 2x^{15} + 5x^3 + 0 = 2x^{15} + 5x^3$

Ответ: $2x^{15} + 5x^3$

4) $a^{42} - 14a^7 - (a^6 - 14)(a^7 - 1)$

Раскроем скобки в произведении $(a^6 - 14)(a^7 - 1)$:

$(a^6 - 14)(a^7 - 1) = a^6 \cdot a^7 + a^6 \cdot (-1) - 14 \cdot a^7 - 14 \cdot (-1) = a^{6+7} - a^6 - 14a^7 + 14 = a^{13} - a^6 - 14a^7 + 14$

Подставим результат в исходное выражение и раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:

$a^{42} - 14a^7 - (a^{13} - a^6 - 14a^7 + 14) = a^{42} - 14a^7 - a^{13} + a^6 + 14a^7 - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$a^{42} - a^{13} + a^6 + (-14a^7 + 14a^7) - 14 = a^{42} - a^{13} + a^6 - 14$

Ответ: $a^{42} - a^{13} + a^6 - 14$

17.2. 1) $0,5a^2c^4(a^4 - c^2 + 6) - 0,5a^6c^4 - 0,5a^2c^6;$

2) $4,8x^8y^7 - (12x^6y^6 - 6) - 2,4x^6y^5(2x^2y^2 - 5y + 3);$

3) $2,5t^8s^{10}(4t^2 - 6c^2 - 3) + 15t^8c^2s^{10} - 10t^{10}s^{10};$

4) $9a^{20}b^{16} - 1,8a^{10}b^{18} - 0,9a^5b^9(10a^{15}b^7 + 2a5b^9).$

1) Для упрощения выражения сначала раскроем скобки, умножив одночлен $0,5a^2c^4$ на каждый член многочлена $(a^4 - c^2 + 6)$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
$0,5a^2c^4(a^4 - c^2 + 6) - 0,5a^6c^4 - 0,5a^2c^6 = (0,5a^2c^4 \cdot a^4) + (0,5a^2c^4 \cdot (-c^2)) + (0,5a^2c^4 \cdot 6) - 0,5a^6c^4 - 0,5a^2c^6 = 0,5a^{2+4}c^4 - 0,5a^2c^{4+2} + 3a^2c^4 - 0,5a^6c^4 - 0,5a^2c^6 = 0,5a^6c^4 - 0,5a^2c^6 + 3a^2c^4 - 0,5a^6c^4 - 0,5a^2c^6$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые с одинаковой буквенной частью.
$(0,5a^6c^4 - 0,5a^6c^4) + (-0,5a^2c^6 - 0,5a^2c^6) + 3a^2c^4 = 0 - 1a^2c^6 + 3a^2c^4 = 3a^2c^4 - a^2c^6$.
Ответ: $3a^2c^4 - a^2c^6$.

2) В данном выражении необходимо раскрыть двое скобок. Первые скобки $(12x^6y^6 - 6)$ раскрываются с изменением знака каждого слагаемого на противоположный, так как перед ними стоит знак минус. Для раскрытия вторых скобок умножим одночлен $-2,4x^6y^5$ на многочлен $(2x^2y^2 - 5y + 3)$.
$4,8x^8y^7 - (12x^6y^6 - 6) - 2,4x^6y^5(2x^2y^2 - 5y + 3) = 4,8x^8y^7 - 12x^6y^6 + 6 - (2,4x^6y^5 \cdot 2x^2y^2) - (2,4x^6y^5 \cdot (-5y)) - (2,4x^6y^5 \cdot 3) = 4,8x^8y^7 - 12x^6y^6 + 6 - 4,8x^8y^7 + 12x^6y^6 - 7,2x^6y^5$.
Теперь приведем подобные слагаемые.
$(4,8x^8y^7 - 4,8x^8y^7) + (-12x^6y^6 + 12x^6y^6) - 7,2x^6y^5 + 6 = 0 + 0 - 7,2x^6y^5 + 6 = 6 - 7,2x^6y^5$.
Ответ: $6 - 7,2x^6y^5$.

3) Сначала раскроем скобки, умножив одночлен $2,5t^8s^{10}$ на каждый член многочлена $(4t^2 - 6c^2 - 3)$.
$2,5t^8s^{10}(4t^2 - 6c^2 - 3) + 15t^8c^2s^{10} - 10t^{10}s^{10} = (2,5t^8s^{10} \cdot 4t^2) + (2,5t^8s^{10} \cdot (-6c^2)) + (2,5t^8s^{10} \cdot (-3)) + 15t^8c^2s^{10} - 10t^{10}s^{10} = 10t^{10}s^{10} - 15t^8c^2s^{10} - 7,5t^8s^{10} + 15t^8c^2s^{10} - 10t^{10}s^{10}$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.
$(10t^{10}s^{10} - 10t^{10}s^{10}) + (-15t^8c^2s^{10} + 15t^8c^2s^{10}) - 7,5t^8s^{10} = 0 + 0 - 7,5t^8s^{10} = -7,5t^8s^{10}$.
Ответ: $-7,5t^8s^{10}$.

4) Для упрощения выражения раскроем скобки, умножив одночлен $-0,9a^5b^9$ на многочлен $(10a^{15}b^7 + 2a^5b^9)$.
$9a^{20}b^{16} - 1,8a^{10}b^{18} - 0,9a^5b^9(10a^{15}b^7 + 2a^5b^9) = 9a^{20}b^{16} - 1,8a^{10}b^{18} - (0,9a^5b^9 \cdot 10a^{15}b^7) - (0,9a^5b^9 \cdot 2a^5b^9) = 9a^{20}b^{16} - 1,8a^{10}b^{18} - 9a^{20}b^{16} - 1,8a^{10}b^{18}$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые.
$(9a^{20}b^{16} - 9a^{20}b^{16}) + (-1,8a^{10}b^{18} - 1,8a^{10}b^{18}) = 0 - 3,6a^{10}b^{18} = -3,6a^{10}b^{18}$.
Ответ: $-3,6a^{10}b^{18}$.

Найдите значения выражений (17.3–17.4):

17.3. 1) $5x^{17} : x^{13} - 16x^4$ при $x = -1;$

2) $-33y^6 : y^4 + 37y^2$ при $y = 0,5;$

3) $15z^9 : z^6 - 160z^3$ при $z = -0,5;$

4) $250t^8 : t^5 + 6t^3$ при $t = -4.$

1) Сначала упростим данное выражение. Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5x^{17} : x^{13} - 16x^4 = 5x^{17-13} - 16x^4 = 5x^4 - 16x^4$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$5x^4 - 16x^4 = (5 - 16)x^4 = -11x^4$.
Подставим в полученное выражение значение $x = -1$:
$-11 \cdot (-1)^4 = -11 \cdot 1 = -11$.
Ответ: -11.

2) Упростим выражение, используя свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$-33y^6 : y^4 + 37y^2 = -33y^{6-4} + 37y^2 = -33y^2 + 37y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(-33 + 37)y^2 = 4y^2$.
Подставим значение $y = 0,5$ в упрощенное выражение:
$4 \cdot (0,5)^2 = 4 \cdot 0,25 = 1$.
Ответ: 1.

3) Сначала упростим выражение, применив свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$15z^9 : z^6 - 160z^3 = 15z^{9-6} - 160z^3 = 15z^3 - 160z^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$(15 - 160)z^3 = -145z^3$.
Подставим значение $z = -0,5$ в полученное выражение:
$-145 \cdot (-0,5)^3 = -145 \cdot (-0,125) = 18,125$.
Ответ: 18,125.

4) Упростим выражение, используя свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$250t^8 : t^5 + 6t^3 = 250t^{8-5} + 6t^3 = 250t^3 + 6t^3$.
Приведем подобные слагаемые:
$(250 + 6)t^3 = 256t^3$.
Теперь найдем значение $t$ из условия $t = -4t$. Перенесем $-4t$ в левую часть уравнения:
$t + 4t = 0$
$5t = 0$
$t = 0$
Подставим значение $t = 0$ в упрощенное выражение:
$256 \cdot (0)^3 = 256 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

17.4. 1) $0,07a^8b^4 : a^7 + 0,03a^2b^6 : (ab^2)$ при $a = 7, b = -2;$

2) $2,5x^4y : x^5 - 2,6x^{10}y : x$ при $x = -1, y = 10;$

3) $47,3t^6z^2 : (t^5z) + 2,7t^9z^3 : (t^8z^2)$ при $z = 0,2, t = -3;$

4) $-9,4a^{25}b^9 : a^8 - 0,6a^{10} \cdot (a^7b^9)$ при $a = 1, b = -1.$

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого выполним действия с одночленами, используя свойства степеней ($a^m : a^n = a^{m-n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Первое слагаемое: $0,07a^8b^4 : a^7 = 0,07a^{8-7}b^4 = 0,07ab^4$.
Второе слагаемое: $0,03a^2b^6 : (ab^2) = 0,03a^{2-1}b^{6-2} = 0,03ab^4$.
Теперь сложим полученные одночлены: $0,07ab^4 + 0,03ab^4 = (0,07 + 0,03)ab^4 = 0,1ab^4$.
Подставим в упрощенное выражение значения $a = 7$ и $b = -2$:
$0,1 \cdot 7 \cdot (-2)^4 = 0,1 \cdot 7 \cdot 16 = 0,7 \cdot 16 = 11,2$.
Ответ: 11,2

2) Упростим выражение, выполнив деление в каждом члене.
Первый член: $2,5x^4y : x^5 = 2,5x^{4-5}y = 2,5x^{-1}y = \frac{2,5y}{x}$.
Второй член: $2,6x^{10}y : x = 2,6x^{10-1}y = 2,6x^9y$.
Выражение принимает вид: $\frac{2,5y}{x} - 2,6x^9y$.
Подставим значения $x = -1$ и $y = 10$:
$\frac{2,5 \cdot 10}{-1} - 2,6 \cdot (-1)^9 \cdot 10 = \frac{25}{-1} - 2,6 \cdot (-1) \cdot 10 = -25 - (-26) = -25 + 26 = 1$.
Ответ: 1

3) Упростим выражение, выполнив деление в каждом слагаемом.
Первое слагаемое: $47,3t^6z^2 : (t^5z) = 47,3t^{6-5}z^{2-1} = 47,3tz$.
Второе слагаемое: $2,7t^9z^3 : (t^8z^2) = 2,7t^{9-8}z^{3-2} = 2,7tz$.
Сложим их: $47,3tz + 2,7tz = (47,3 + 2,7)tz = 50tz$.
Теперь подставим значения $z = 0,2$ и $t = -3$:
$50 \cdot (-3) \cdot 0,2 = 50 \cdot (-0,6) = -30$.
Ответ: -30

4) Упростим выражение.
Первый член: $-9,4a^{25}b^9 : a^8 = -9,4a^{25-8}b^9 = -9,4a^{17}b^9$.
Второй член: $-0,6a^{10} \cdot (a^7b^9) = -0,6a^{10+7}b^9 = -0,6a^{17}b^9$.
Объединим их: $-9,4a^{17}b^9 - 0,6a^{17}b^9 = (-9,4 - 0,6)a^{17}b^9 = -10a^{17}b^9$.
Теперь подставим значения $a = 1$ и $b = -1$:
$-10 \cdot (1)^{17} \cdot (-1)^9 = -10 \cdot 1 \cdot (-1) = 10$.
Ответ: 10