Номер 17.1, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (17.1–17.2):

17.1. 1) $(x^8 - 2)(x^4 - 1) - x^{12} + 2x^4;$

2) $a^9 - 9a^5 - (a^4 - 9)(a^5 + 3);$

3) $(x^{15} + 5)(x^3 + 2) - 10 - x^{18};$

4) $a^{42} - 14a^7 - (a^6 - 14)(a^7 - 1).$

1) $(x^8 - 2)(x^4 - 1) - x^{12} + 2x^4$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки, перемножив два двучлена $(x^8 - 2)$ и $(x^4 - 1)$:

$(x^8 - 2)(x^4 - 1) = x^8 \cdot x^4 + x^8 \cdot (-1) - 2 \cdot x^4 - 2 \cdot (-1) = x^{8+4} - x^8 - 2x^4 + 2 = x^{12} - x^8 - 2x^4 + 2$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^{12} - x^8 - 2x^4 + 2) - x^{12} + 2x^4$

Приведем подобные слагаемые, сгруппировав их:

$(x^{12} - x^{12}) - x^8 + (-2x^4 + 2x^4) + 2 = 0 - x^8 + 0 + 2 = 2 - x^8$

Ответ: $2 - x^8$

2) $a^9 - 9a^5 - (a^4 - 9)(a^5 + 3)$

Сначала раскроем скобки в произведении $(a^4 - 9)(a^5 + 3)$:

$(a^4 - 9)(a^5 + 3) = a^4 \cdot a^5 + a^4 \cdot 3 - 9 \cdot a^5 - 9 \cdot 3 = a^{4+5} + 3a^4 - 9a^5 - 27 = a^9 + 3a^4 - 9a^5 - 27$

Подставим это в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки изменятся на противоположные:

$a^9 - 9a^5 - (a^9 + 3a^4 - 9a^5 - 27) = a^9 - 9a^5 - a^9 - 3a^4 + 9a^5 + 27$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(a^9 - a^9) + (-9a^5 + 9a^5) - 3a^4 + 27 = 0 + 0 - 3a^4 + 27 = 27 - 3a^4$

Ответ: $27 - 3a^4$

3) $(x^{15} + 5)(x^3 + 2) - 10 - x^{18}$

Раскроем скобки, перемножив многочлены:

$(x^{15} + 5)(x^3 + 2) = x^{15} \cdot x^3 + x^{15} \cdot 2 + 5 \cdot x^3 + 5 \cdot 2 = x^{15+3} + 2x^{15} + 5x^3 + 10 = x^{18} + 2x^{15} + 5x^3 + 10$

Подставим полученное выражение в исходное:

$(x^{18} + 2x^{15} + 5x^3 + 10) - 10 - x^{18}$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^{18} - x^{18}) + 2x^{15} + 5x^3 + (10 - 10) = 0 + 2x^{15} + 5x^3 + 0 = 2x^{15} + 5x^3$

Ответ: $2x^{15} + 5x^3$

4) $a^{42} - 14a^7 - (a^6 - 14)(a^7 - 1)$

Раскроем скобки в произведении $(a^6 - 14)(a^7 - 1)$:

$(a^6 - 14)(a^7 - 1) = a^6 \cdot a^7 + a^6 \cdot (-1) - 14 \cdot a^7 - 14 \cdot (-1) = a^{6+7} - a^6 - 14a^7 + 14 = a^{13} - a^6 - 14a^7 + 14$

Подставим результат в исходное выражение и раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус:

$a^{42} - 14a^7 - (a^{13} - a^6 - 14a^7 + 14) = a^{42} - 14a^7 - a^{13} + a^6 + 14a^7 - 14$

Приведем подобные слагаемые:

$a^{42} - a^{13} + a^6 + (-14a^7 + 14a^7) - 14 = a^{42} - a^{13} + a^6 - 14$

Ответ: $a^{42} - a^{13} + a^6 - 14$