Вопросы, страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как преобразовать выражение?

Преобразование выражения — это его замена на другое, тождественно равное ему, но, как правило, более простое или удобное для дальнейших вычислений. Существует несколько основных методов преобразования алгебраических выражений, которые позволяют их упрощать.

Приведение подобных слагаемых

Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример: Упростить выражение $5a + 7b - 2a - 3b$.

Решение: Сгруппируем слагаемые с одинаковой буквенной частью: $(5a - 2a) + (7b - 3b)$. Выполним действия с коэффициентами: $(5-2)a + (7-3)b = 3a + 4b$.

Ответ: $3a + 4b$.

Раскрытие скобок

Этот метод основан на распределительном свойстве умножения $a(b+c) = ab + ac$. Если перед скобкой стоит знак «минус», то при раскрытии знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные. Также для преобразования выражений часто используются формулы сокращенного умножения.

Пример 1: Раскрыть скобки в выражении $-3x(x - 2y)$.

Решение: Умножим $-3x$ на каждый член в скобках: $(-3x) \cdot x - (-3x) \cdot 2y = -3x^2 + 6xy$.

Ответ: $-3x^2 + 6xy$.

Пример 2: Преобразовать выражение $(2a+b)^2$.

Решение: Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x=2a$ и $y=b$. Получаем: $(2a)^2 + 2 \cdot (2a) \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Ответ: $4a^2 + 4ab + b^2$.

Разложение на множители

Это представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Основные способы: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, применение формул сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена.

Пример 1 (Вынесение общего множителя): Разложить на множители $12x^2y - 18xy^2$.

Решение: Находим наибольший общий делитель коэффициентов (12 и 18) — это 6. Находим общую буквенную часть в наименьшей степени — это $xy$. Общий множитель — $6xy$. Выносим его за скобки: $6xy(\frac{12x^2y}{6xy} - \frac{18xy^2}{6xy}) = 6xy(2x - 3y)$.

Ответ: $6xy(2x - 3y)$.

Пример 2 (Метод группировки): Разложить на множители $ax - 2x + 3a - 6$.

Решение: Сгруппируем слагаемые: $(ax - 2x) + (3a - 6)$. В каждой группе вынесем общий множитель за скобки: $x(a - 2) + 3(a - 2)$. Теперь общим множителем является выражение $(a - 2)$, которое тоже выносим за скобки: $(a - 2)(x + 3)$.

Ответ: $(a - 2)(x + 3)$.

Пример 3 (Разложение квадратного трехчлена): Разложить на множители $x^2 - 5x + 6$.

Решение: Используем формулу $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 6$. Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Подставляем в формулу: $1 \cdot (x - 2)(x - 3)$.

Ответ: $(x - 2)(x - 3)$.

Действия с алгебраическими дробями

Преобразования дробей включают их сокращение (деление числителя и знаменателя на общий множитель), а также сложение, вычитание, умножение и деление по соответствующим правилам.

Пример 1 (Сокращение дроби): Сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{2x+6}$.

Решение: Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это разность квадратов: $x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3)$. В знаменателе вынесем общий множитель 2: $2(x+3)$. Получаем дробь $\frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)}$. Сокращаем на общий множитель $(x+3)$, при условии что $x+3 \neq 0$ (т.е. $x \neq -3$).

Ответ: $\frac{x-3}{2}$ (при $x \neq -3$).

Пример 2 (Сложение дробей): Упростить $\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b}$.

Решение: Приводим дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. Дополнительный множитель для первой дроби — $(a+b)$, для второй — $(a-b)$. Получаем: $\frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab - (ba-b^2)}{a^2-b^2} = \frac{a^2+ab-ab+b^2}{a^2-b^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.

Ответ: $\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$.

Преобразования выражений со степенями и корнями

Выполняются на основе свойств степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $(a^m)^n = a^{mn}$, и т.д.) и арифметических корней ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$, $(\sqrt{a})^2=a$, и т.д.).

Пример 1 (Свойства степеней): Упростить выражение $\frac{(a^3)^4 \cdot a^5}{a^2}$.

Решение: Последовательно применяем свойства степеней: $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$. Затем $a^{12} \cdot a^5 = a^{12+5} = a^{17}$. И наконец, $\frac{a^{17}}{a^2} = a^{17-2} = a^{15}$.

Ответ: $a^{15}$.

Пример 2 (Избавление от иррациональности в знаменателе): Преобразовать выражение $\frac{10}{\sqrt{5}}$.

Решение: Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$: $\frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5}$. Сократим дробь на 5.

Ответ: $2\sqrt{5}$.