Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.13. Найдите значение выражения:

1) $(8a^3b - c^4) \cdot (15a^5b^4):(3a^4b^3) - 40a^4b^2$ при $a = 0,2$, $b = 0,5$, $c = -2$;

2) $0,9x^{10}y^7 \cdot (10x^8y^3z^6 - 9) : (20x^9y^6) + 0,40xy$ при $x = -1$, $y = 5$, $z = 1$.

1) Сначала упростим данное выражение, выполнив действия с одночленами:

$(8a^3b - c^4) \cdot (15a^5b^4) : (3a^4b^3) - 40a^4b^2$

Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение и деление слева направо. Упростим часть выражения $(15a^5b^4) : (3a^4b^3)$:

$(15a^5b^4) : (3a^4b^3) = \frac{15a^5b^4}{3a^4b^3} = (\frac{15}{3}) \cdot (a^{5-4}) \cdot (b^{4-3}) = 5ab$

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение:

$(8a^3b - c^4) \cdot 5ab - 40a^4b^2$

Раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на $5ab$:

$(8a^3b \cdot 5ab) - (c^4 \cdot 5ab) - 40a^4b^2 = 40a^{3+1}b^{1+1} - 5abc^4 - 40a^4b^2 = 40a^4b^2 - 5abc^4 - 40a^4b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(40a^4b^2 - 40a^4b^2) - 5abc^4 = -5abc^4$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него заданные значения $a = 0,2$, $b = 0,5$ и $c = -2$:

$-5 \cdot a \cdot b \cdot c^4 = -5 \cdot (0,2) \cdot (0,5) \cdot (-2)^4$

Вычислим значение:

$-5 \cdot 0,1 \cdot 16 = -0,5 \cdot 16 = -8$

Ответ: -8.

2) Упростим выражение $0,9x^{10}y^7 \cdot (10x^8y^3z^6 - 9) : (20x^9y^6) + 0,40xy$.

Выполним действия умножения и деления слева направо. Запишем выражение в виде дроби:

$\frac{0,9x^{10}y^7 \cdot (10x^8y^3z^6 - 9)}{20x^9y^6} + 0,4xy$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{0,9x^{10}y^7 \cdot 10x^8y^3z^6 - 0,9x^{10}y^7 \cdot 9}{20x^9y^6} + 0,4xy = \frac{9x^{18}y^{10}z^6 - 8,1x^{10}y^7}{20x^9y^6} + 0,4xy$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:

$\frac{9x^{18}y^{10}z^6}{20x^9y^6} - \frac{8,1x^{10}y^7}{20x^9y^6} + 0,4xy$

Упростим каждое слагаемое, используя свойства степеней:

$\frac{9}{20}x^{18-9}y^{10-6}z^6 - \frac{8,1}{20}x^{10-9}y^{7-6} + 0,4xy = 0,45x^9y^4z^6 - 0,405xy + 0,4xy$

Приведем подобные слагаемые:

$0,45x^9y^4z^6 + (-0,405 + 0,4)xy = 0,45x^9y^4z^6 - 0,005xy$

Подставим в упрощенное выражение значения $x = -1$, $y = 5$, $z = 1$:

$0,45(-1)^9(5)^4(1)^6 - 0,005(-1)(5)$

Вычислим степени:

$(-1)^9 = -1$

$(5)^4 = 625$

$(1)^6 = 1$

Подставим эти значения обратно:

$0,45 \cdot (-1) \cdot 625 \cdot 1 - 0,005 \cdot (-1) \cdot 5 = -0,45 \cdot 625 - (-0,025)$

Выполним вычисления:

$-281,25 + 0,025 = -281,225$

Ответ: -281,225.

17.14. Найдите корень уравнения:

1) $ (x^4 - 3)(x + 5) = 29 - 2x + x^4(x + 5); $

2) $ (10 - x^6) \cdot (7 + x) = 11x - 63 - x^6(x + 7); $

3) $ (2 + x)x^5 - 15x + 41 = (x^5 - 13) (2 + x); $

4) $ 99 - 23x + x^8(x - 9) = -(17 - x^8) (x - 9). $

1) $(x^4 - 3)(x + 5) = 29 - 2x + x^4(x + 5)$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительное свойство умножения:

$x^4(x + 5) - 3(x + 5) = 29 - 2x + x^4(x + 5)$

Слагаемое $x^4(x + 5)$ присутствует в обеих частях уравнения. Вычтем его из обеих частей:

$-3(x + 5) = 29 - 2x$

Теперь раскроем оставшиеся скобки:

$-3x - 15 = 29 - 2x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые значения — в правую, изменяя их знаки на противоположные:

$-3x + 2x = 29 + 15$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$-x = 44$

Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$:

$x = -44$

Ответ: $-44$.

2) $(10 - x^6)(7 + x) = 11x - 63 - x^6(x + 7)$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Заметим, что $(7+x)$ и $(x+7)$ — это одно и то же выражение.

$10(7 + x) - x^6(7 + x) = 11x - 63 - x^6(x + 7)$

Слагаемое $-x^6(x + 7)$ есть в обеих частях. Прибавим $x^6(x + 7)$ к обеим частям, чтобы сократить его:

$10(7 + x) = 11x - 63$

Раскроем скобки в левой части:

$70 + 10x = 11x - 63$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$70 + 63 = 11x - 10x$

Выполним вычисления:

$133 = x$

Ответ: $133$.

3) $(2 + x)x^5 - 15x + 41 = (x^5 - 13)(2 + x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$(2 + x)x^5 - 15x + 41 = x^5(2 + x) - 13(2 + x)$

Слагаемое $(2 + x)x^5$ находится в обеих частях уравнения. Сократим его:

$-15x + 41 = -13(2 + x)$

Раскроем скобки в правой части:

$-15x + 41 = -26 - 13x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$-15x + 13x = -26 - 41$

Приведем подобные слагаемые:

$-2x = -67$

Разделим обе части на $-2$:

$x = \frac{-67}{-2}$

$x = 33.5$

Ответ: $33.5$.

4) $99 - 23x + x^8(x - 9) = -(17 - x^8)(x - 9)$

Преобразуем правую часть, внеся знак минус в первую скобку:

$99 - 23x + x^8(x - 9) = (-17 + x^8)(x - 9)$

Теперь раскроем скобки в правой части:

$99 - 23x + x^8(x - 9) = -17(x - 9) + x^8(x - 9)$

Слагаемое $x^8(x - 9)$ присутствует в обеих частях уравнения, сократим его:

$99 - 23x = -17(x - 9)$

Раскроем скобки в правой части:

$99 - 23x = -17x + 153$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$99 - 153 = -17x + 23x$

Приведем подобные слагаемые:

$-54 = 6x$

Разделим обе части на $6$:

$x = \frac{-54}{6}$

$x = -9$

Ответ: $-9$.

17.15. Решите неравенство:

1) $ (x^3 - 2)(x + 1) \le x^4 + x^3 - 23; $

2) $ -x^8 + 49 \le (10 - x^7)(5 + x) + 5x^7; $

3) $ (x^2 - 4x + 8) \cdot 5 < 2x(2,5x - 1); $

4) $ 3x(1,1x + 2) > 0,1x(33x + 10) - 6. $

1) $(x^3 - 2)(x + 1) \le x^4 + x^3 - 23$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^3 \cdot x + x^3 \cdot 1 - 2 \cdot x - 2 \cdot 1 \le x^4 + x^3 - 23$

$x^4 + x^3 - 2x - 2 \le x^4 + x^3 - 23$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую. Взаимно уничтожим одинаковые слагаемые $x^4$ и $x^3$ в обеих частях:

$x^4 - x^4 + x^3 - x^3 - 2x \le -23 + 2$

$-2x \le -21$

Разделим обе части на $-2$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x \ge \frac{-21}{-2}$

$x \ge 10,5$

Решение можно записать в виде промежутка: $[10,5; +\infty)$.

Ответ: $x \ge 10,5$.

2) $-x^8 + 49 \le (10 - x^7)(5 + x) + 5x^7$

Раскроем скобки в правой части неравенства:

$-x^8 + 49 \le 10 \cdot 5 + 10 \cdot x - x^7 \cdot 5 - x^7 \cdot x + 5x^7$

$-x^8 + 49 \le 50 + 10x - 5x^7 - x^8 + 5x^7$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$-x^8 + 49 \le 50 + 10x - x^8$

Перенесем слагаемые с переменной в одну часть, а числа — в другую. Слагаемые $-x^8$ взаимно уничтожаются.

$-x^8 + x^8 - 10x \le 50 - 49$

$-10x \le 1$

Разделим обе части на $-10$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -\frac{1}{10}$

$x \ge -0,1$

Решение можно записать в виде промежутка: $[-0,1; +\infty)$.

Ответ: $x \ge -0,1$.

3) $(x^2 - 4x + 8) \cdot 5 < 2x(2,5x - 1)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$5x^2 - 20x + 40 < 5x^2 - 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5x^2 - 5x^2 - 20x + 2x + 40 < 0$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются.

$-18x + 40 < 0$

Перенесем 40 в правую часть:

$-18x < -40$

Разделим обе части на $-18$, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-40}{-18}$

$x > \frac{40}{18}$

Сократим дробь:

$x > \frac{20}{9}$

Решение можно записать в виде промежутка: $(\frac{20}{9}; +\infty)$.

Ответ: $x > \frac{20}{9}$.

4) $3x(1,1x + 2) > 0,1x(33x + 10) - 6$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$3x \cdot 1,1x + 3x \cdot 2 > 0,1x \cdot 33x + 0,1x \cdot 10 - 6$

$3,3x^2 + 6x > 3,3x^2 + x - 6$

Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа оставим в правой. Слагаемые $3,3x^2$ взаимно уничтожаются.

$3,3x^2 - 3,3x^2 + 6x - x > -6$

$5x > -6$

Разделим обе части на 5:

$x > -\frac{6}{5}$

$x > -1,2$

Решение можно записать в виде промежутка: $(-1,2; +\infty)$.

Ответ: $x > -1,2$.

17.16. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) \le x^3 + 7x - 1;$

2) $(y^2 - y + 8)(4 - y) - 2.4 \ge 5y^2 - y^3 - 6y;$

3) $z^3 + 2.8z - 2.2 > (9 - z - z^2)(1.2 - z) + 0.2z^2 + 11.5;$

4) $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < (1.7 + x + x^2)(0.5 - x) + x^3.$

1) Решим неравенство $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) \le x^3 + 7x - 1$.

Сначала раскроем скобки в левой части: $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3 - 3x \cdot x - 3x \cdot 3 + 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 5x + 15 = x^3 - 4x + 15$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $x^3 - 4x + 15 \le x^3 + 7x - 1$.

Теперь упростим неравенство. Сократим $x^3$ в обеих частях: $-4x + 15 \le 7x - 1$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую: $15 + 1 \le 7x + 4x$.

Выполним сложение: $16 \le 11x$.

Разделим обе части неравенства на 11: $x \ge \frac{16}{11}$.

Представим дробь в виде смешанного числа: $\frac{16}{11} = 1 \frac{5}{11}$. Таким образом, $x \ge 1 \frac{5}{11}$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $(y^2 - y + 8)(4 - y) - 2.4 \ge 5y^2 - y^3 - 6y$.

Раскроем скобки в левой части: $(y^2 - y + 8)(4 - y) = 4y^2 - y^3 - 4y + y^2 + 32 - 8y = -y^3 + 5y^2 - 12y + 32$.

Подставим результат в исходное неравенство: $(-y^3 + 5y^2 - 12y + 32) - 2.4 \ge 5y^2 - y^3 - 6y$.

Упростим левую часть: $-y^3 + 5y^2 - 12y + 29.6 \ge 5y^2 - y^3 - 6y$.

Сократим одинаковые члены ($-y^3$ и $5y^2$) в обеих частях: $-12y + 29.6 \ge -6y$.

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть: $29.6 \ge -6y + 12y$.

Приведем подобные слагаемые: $29.6 \ge 6y$.

Разделим обе части на 6: $y \le \frac{29.6}{6}$.

Вычислим значение дроби: $\frac{29.6}{6} = \frac{296}{60} = \frac{74}{15} = 4 \frac{14}{15}$. Таким образом, $y \le 4 \frac{14}{15}$.

Решением неравенства являются все целые числа, которые меньше или равны $4 \frac{14}{15}$, то есть $y \in \{..., 2, 3, 4\}$. Это множество не ограничено снизу, следовательно, наименьшего целого числа в этом множестве не существует.

Ответ: наименьшего целого числа не существует.

3) Решим неравенство $z^3 + 2.8z - 2.2 > (9 - z - z^2)(1.2 - z) + 0.2z^2 + 11.5$.

Раскроем скобки в правой части: $(9 - z - z^2)(1.2 - z) = 10.8 - 9z - 1.2z + z^2 - 1.2z^2 + z^3 = z^3 - 0.2z^2 - 10.2z + 10.8$.

Теперь вся правая часть выглядит так: $(z^3 - 0.2z^2 - 10.2z + 10.8) + 0.2z^2 + 11.5 = z^3 - 10.2z + 22.3$.

Подставим это в исходное неравенство: $z^3 + 2.8z - 2.2 > z^3 - 10.2z + 22.3$.

Сократим $z^3$ в обеих частях: $2.8z - 2.2 > -10.2z + 22.3$.

Перенесем члены с переменной $z$ влево, а постоянные — вправо: $2.8z + 10.2z > 22.3 + 2.2$.

Выполним сложение: $13z > 24.5$.

Отсюда $z > \frac{24.5}{13}$, или $z > \frac{49}{26}$, что равно $z > 1 \frac{23}{26}$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 2.

Ответ: 2

4) Решим неравенство $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < (1.7 + x + x^2)(0.5 - x) + x^3$.

Раскроем скобки в правой части: $(1.7 + x + x^2)(0.5 - x) = 0.85 - 1.7x + 0.5x - x^2 + 0.5x^2 - x^3 = -x^3 - 0.5x^2 - 1.2x + 0.85$.

Вся правая часть после упрощения: $(-x^3 - 0.5x^2 - 1.2x + 0.85) + x^3 = -0.5x^2 - 1.2x + 0.85$.

Неравенство принимает вид: $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < -0.5x^2 - 1.2x + 0.85$.

Сократим $-0.5x^2$ в обеих частях: $-2.2x - 7.15 < -1.2x + 0.85$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные — в левую: $-7.15 - 0.85 < -1.2x + 2.2x$.

В результате получаем: $-8 < x$.

Наименьшее целое число, которое больше -8, это -7.

Ответ: -7

17.17. Найдите наибольшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x^5 - 6) \cdot x + 7x^4 \ge x^4(7 + x^2) - 1,8;$

2) $(x^9 + 11) \cdot 6x - 15x^5 \le -33 + 3x^5(2x^5 - 5);$

3) $7x^3(6x^5 - 3) + 44 > 2x(21x^7 + 1,1) - 21x^3;$

4) $9x^2(10x^7 - 3) + 135 < 4,5x(20x^8 - 3) - 27x^2.$

1)Исходное неравенство: $(x^5 - 6) \cdot x + 7x^4 \ge x^4(7 + x^2) - 1,8$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$x^5 \cdot x - 6 \cdot x + 7x^4 \ge x^4 \cdot 7 + x^4 \cdot x^2 - 1,8$
$x^6 - 6x + 7x^4 \ge 7x^4 + x^6 - 1,8$
Перенесем члены, содержащие переменную, в левую часть, а свободные члены - в правую. Обратим внимание, что слагаемые $x^6$ и $7x^4$ присутствуют в обеих частях и взаимно уничтожаются:
$x^6 - x^6 - 6x + 7x^4 - 7x^4 \ge -1,8$
$-6x \ge -1,8$
Разделим обе части неравенства на -6. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-1,8}{-6}$
$x \le 0,3$
Требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше или равны 0,3, это 0, -1, -2 и так далее. Наибольшим из них является 0.
Ответ: 0

2)Исходное неравенство: $(x^9 + 11) \cdot 6x - 15x^5 \le -33 + 3x^5(2x^5 - 5)$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$x^9 \cdot 6x + 11 \cdot 6x - 15x^5 \le -33 + 3x^5 \cdot 2x^5 - 3x^5 \cdot 5$
$6x^{10} + 66x - 15x^5 \le -33 + 6x^{10} - 15x^5$
Перенесем члены с переменной в одну сторону. Слагаемые $6x^{10}$ и $-15x^5$ взаимно уничтожаются:
$6x^{10} - 6x^{10} + 66x - 15x^5 + 15x^5 \le -33$
$66x \le -33$
Разделим обе части на 66:
$x \le \frac{-33}{66}$
$x \le -0,5$
Требуется найти наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию. Целые числа, которые меньше или равны -0,5, это -1, -2, -3 и так далее. Наибольшим из них является -1.
Ответ: -1

3)Исходное неравенство: $7x^3(6x^5 - 3) + 44 > 2x(21x^7 + 1,1) - 21x^3$.
Раскроем скобки:
$7x^3 \cdot 6x^5 - 7x^3 \cdot 3 + 44 > 2x \cdot 21x^7 + 2x \cdot 1,1 - 21x^3$
$42x^8 - 21x^3 + 44 > 42x^8 + 2,2x - 21x^3$
Упростим неравенство, сократив одинаковые члены $42x^8$ и $-21x^3$ в обеих частях:
$44 > 2,2x$
Разделим обе части на 2,2:
$\frac{44}{2,2} > x$
$20 > x$, что эквивалентно $x < 20$.
Наибольшее целое число, которое меньше 20, это 19.
Ответ: 19

4)Исходное неравенство: $9x^2(10x^7 - 3) + 135 < 4,5x(20x^8 - 3) - 27x^2$.
Раскроем скобки в обеих частях:
$9x^2 \cdot 10x^7 - 9x^2 \cdot 3 + 135 < 4,5x \cdot 20x^8 - 4,5x \cdot 3 - 27x^2$
$90x^9 - 27x^2 + 135 < 90x^9 - 13,5x - 27x^2$
Упростим неравенство, сократив одинаковые члены $90x^9$ и $-27x^2$ в обеих частях:
$135 < -13,5x$
Разделим обе части на -13,5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$\frac{135}{-13,5} > x$
$-10 > x$, что эквивалентно $x < -10$.
Наибольшее целое число, которое меньше -10, это -11.
Ответ: -11

17.18. Как изменится площадь прямоугольника, если его длину увеличить в 5 раз, а ширину оставить без изменения?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади прямоугольника. Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его длины ($l$) на ширину ($w$).

$S = l \cdot w$

Пусть первоначальная площадь прямоугольника была $S_1$, с длиной $l_1$ и шириной $w_1$:

$S_1 = l_1 \cdot w_1$

По условию задачи, длину прямоугольника увеличили в 5 раз. Это означает, что новая длина $l_2$ стала:

$l_2 = 5 \cdot l_1$

Ширину оставили без изменения, следовательно, новая ширина $w_2$ равна первоначальной:

$w_2 = w_1$

Теперь найдем новую площадь прямоугольника $S_2$, используя новые значения длины и ширины:

$S_2 = l_2 \cdot w_2 = (5 \cdot l_1) \cdot w_1$

Мы можем перегруппировать множители:

$S_2 = 5 \cdot (l_1 \cdot w_1)$

Так как $l_1 \cdot w_1$ это первоначальная площадь $S_1$, то мы можем записать:

$S_2 = 5 \cdot S_1$

Это означает, что новая площадь в 5 раз больше первоначальной площади.

Ответ: Площадь прямоугольника увеличится в 5 раз.

17.19. Стоимость товара изменилась на 200 тг/кг. На сколько тенге изменилась стоимость 7 кг товара?

Для того чтобы определить, на сколько тенге изменилась стоимость 7 кг товара, нужно умножить изменение стоимости одного килограмма товара на общую массу товара.

Из условия задачи нам известно:

Изменение стоимости за 1 кг товара = $200$ тг/кг.

Масса товара = $7$ кг.

Вычислим общее изменение стоимости:

$200 \frac{\text{тг}}{\text{кг}} \times 7 \text{ кг} = 1400 \text{ тг}$

Следовательно, стоимость 7 кг товара изменилась на 1400 тенге.

Ответ: стоимость 7 кг товара изменилась на 1400 тенге.