Номер 17.16, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.16. Найдите наименьшее целое число, при котором верно неравенство:

1) $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) \le x^3 + 7x - 1;$

2) $(y^2 - y + 8)(4 - y) - 2.4 \ge 5y^2 - y^3 - 6y;$

3) $z^3 + 2.8z - 2.2 > (9 - z - z^2)(1.2 - z) + 0.2z^2 + 11.5;$

4) $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < (1.7 + x + x^2)(0.5 - x) + x^3.$

1) Решим неравенство $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) \le x^3 + 7x - 1$.

Сначала раскроем скобки в левой части: $(x^2 - 3x + 5)(x + 3) = x^2 \cdot x + x^2 \cdot 3 - 3x \cdot x - 3x \cdot 3 + 5 \cdot x + 5 \cdot 3 = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 5x + 15 = x^3 - 4x + 15$.

Подставим полученное выражение в исходное неравенство: $x^3 - 4x + 15 \le x^3 + 7x - 1$.

Теперь упростим неравенство. Сократим $x^3$ в обеих частях: $-4x + 15 \le 7x - 1$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные члены — в левую: $15 + 1 \le 7x + 4x$.

Выполним сложение: $16 \le 11x$.

Разделим обе части неравенства на 11: $x \ge \frac{16}{11}$.

Представим дробь в виде смешанного числа: $\frac{16}{11} = 1 \frac{5}{11}$. Таким образом, $x \ge 1 \frac{5}{11}$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 2.

Ответ: 2

2) Решим неравенство $(y^2 - y + 8)(4 - y) - 2.4 \ge 5y^2 - y^3 - 6y$.

Раскроем скобки в левой части: $(y^2 - y + 8)(4 - y) = 4y^2 - y^3 - 4y + y^2 + 32 - 8y = -y^3 + 5y^2 - 12y + 32$.

Подставим результат в исходное неравенство: $(-y^3 + 5y^2 - 12y + 32) - 2.4 \ge 5y^2 - y^3 - 6y$.

Упростим левую часть: $-y^3 + 5y^2 - 12y + 29.6 \ge 5y^2 - y^3 - 6y$.

Сократим одинаковые члены ($-y^3$ и $5y^2$) в обеих частях: $-12y + 29.6 \ge -6y$.

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть: $29.6 \ge -6y + 12y$.

Приведем подобные слагаемые: $29.6 \ge 6y$.

Разделим обе части на 6: $y \le \frac{29.6}{6}$.

Вычислим значение дроби: $\frac{29.6}{6} = \frac{296}{60} = \frac{74}{15} = 4 \frac{14}{15}$. Таким образом, $y \le 4 \frac{14}{15}$.

Решением неравенства являются все целые числа, которые меньше или равны $4 \frac{14}{15}$, то есть $y \in \{..., 2, 3, 4\}$. Это множество не ограничено снизу, следовательно, наименьшего целого числа в этом множестве не существует.

Ответ: наименьшего целого числа не существует.

3) Решим неравенство $z^3 + 2.8z - 2.2 > (9 - z - z^2)(1.2 - z) + 0.2z^2 + 11.5$.

Раскроем скобки в правой части: $(9 - z - z^2)(1.2 - z) = 10.8 - 9z - 1.2z + z^2 - 1.2z^2 + z^3 = z^3 - 0.2z^2 - 10.2z + 10.8$.

Теперь вся правая часть выглядит так: $(z^3 - 0.2z^2 - 10.2z + 10.8) + 0.2z^2 + 11.5 = z^3 - 10.2z + 22.3$.

Подставим это в исходное неравенство: $z^3 + 2.8z - 2.2 > z^3 - 10.2z + 22.3$.

Сократим $z^3$ в обеих частях: $2.8z - 2.2 > -10.2z + 22.3$.

Перенесем члены с переменной $z$ влево, а постоянные — вправо: $2.8z + 10.2z > 22.3 + 2.2$.

Выполним сложение: $13z > 24.5$.

Отсюда $z > \frac{24.5}{13}$, или $z > \frac{49}{26}$, что равно $z > 1 \frac{23}{26}$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому неравенству, это 2.

Ответ: 2

4) Решим неравенство $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < (1.7 + x + x^2)(0.5 - x) + x^3$.

Раскроем скобки в правой части: $(1.7 + x + x^2)(0.5 - x) = 0.85 - 1.7x + 0.5x - x^2 + 0.5x^2 - x^3 = -x^3 - 0.5x^2 - 1.2x + 0.85$.

Вся правая часть после упрощения: $(-x^3 - 0.5x^2 - 1.2x + 0.85) + x^3 = -0.5x^2 - 1.2x + 0.85$.

Неравенство принимает вид: $-2.2x - 7.15 - 0.5x^2 < -0.5x^2 - 1.2x + 0.85$.

Сократим $-0.5x^2$ в обеих частях: $-2.2x - 7.15 < -1.2x + 0.85$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а постоянные — в левую: $-7.15 - 0.85 < -1.2x + 2.2x$.

В результате получаем: $-8 < x$.

Наименьшее целое число, которое больше -8, это -7.

Ответ: -7