Номер 17.10, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.10. Решите неравенство:

1) $x(x^3 - 4) - x^4 \le 18 - x$;

2) $x^3 + x(20 - x^2) \ge 24x - 3$;

3) $x(31 + x^4) - x^5 > 37x - 68$;

4) $x^9 - x(47 + x^8) > 19 - 45x$.

1) $x(x^3 - 4) - x^4 \leq 18 - x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$x \cdot x^3 - x \cdot 4 - x^4 \leq 18 - x$

$x^4 - 4x - x^4 \leq 18 - x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части. $x^4$ и $-x^4$ взаимно уничтожаются:

$(x^4 - x^4) - 4x \leq 18 - x$

$-4x \leq 18 - x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$-4x + x \leq 18$

$-3x \leq 18$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\leq$ на $\geq$):

$x \geq \frac{18}{-3}$

$x \geq -6$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $[-6; +\infty)$.

2) $x^3 + x(20 - x^2) \geq 24x - 3$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^3 + 20x - x \cdot x^2 \geq 24x - 3$

$x^3 + 20x - x^3 \geq 24x - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части. $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$(x^3 - x^3) + 20x \geq 24x - 3$

$20x \geq 24x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$3 \geq 24x - 20x$

$3 \geq 4x$

Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:

$\frac{3}{4} \geq x$, что эквивалентно $x \leq \frac{3}{4}$.

Переведем дробь в десятичный вид: $x \leq 0,75$.

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; 0,75]$.

3) $x(31 + x^4) - x^5 > 37x - 68$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$31x + x \cdot x^4 - x^5 > 37x - 68$

$31x + x^5 - x^5 > 37x - 68$

Упростим левую часть, сократив $x^5$ и $-x^5$:

$31x > 37x - 68$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую. Перенесем $31x$ вправо, а $-68$ влево:

$68 > 37x - 31x$

$68 > 6x$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется:

$\frac{68}{6} > x$

Сократим дробь на 2: $\frac{34}{3} > x$, что эквивалентно $x < \frac{34}{3}$.

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $x < 11\frac{1}{3}$.

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; 11\frac{1}{3})$.

4) $x^9 - x(47 + x^8) > 19 - 45x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^9 - (47x + x \cdot x^8) > 19 - 45x$

$x^9 - 47x - x^9 > 19 - 45x$

Упростим левую часть, сократив $x^9$ и $-x^9$:

$-47x > 19 - 45x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$-47x + 45x > 19$

$-2x > 19$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный (с $>$ на $<$):

$x < \frac{19}{-2}$

$x < -9,5$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; -9,5)$.