Номер 17.12, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17.12. Докажите тождество:

1) $ (x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = x^3 + 35; $

2) $ (y + 9)(10 - 3y + y^2) - 0,5y(12y - 34) = 90 + y^3; $

3) $ (2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = -33 + 16a^3; $

4) $ (13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2,2x - 24,6) = -54 + 52x^3. $

1) Чтобы доказать тождество $(x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = x^3 + 35$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = (x^2 \cdot x + x^2 \cdot 5 - 8x \cdot x - 8x \cdot 5 + 7 \cdot x + 7 \cdot 5) + (3x \cdot x + 3x \cdot 11) = (x^3 + 5x^2 - 8x^2 - 40x + 7x + 35) + (3x^2 + 33x) = x^3 - 3x^2 - 33x + 35 + 3x^2 + 33x$.
Теперь сгруппируем и сократим подобные члены:
$x^3 + (-3x^2 + 3x^2) + (-33x + 33x) + 35 = x^3 + 0 + 0 + 35 = x^3 + 35$.
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $x^3 + 35 = x^3 + 35$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(y + 9)(10 - 3y + y^2) - 0.5y(12y - 34) = 90 + y^3$, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки. Для удобства изменим порядок слагаемых во второй скобке.
$(y + 9)(y^2 - 3y + 10) - 0.5y(12y - 34) = (y \cdot y^2 + y \cdot (-3y) + y \cdot 10 + 9 \cdot y^2 + 9 \cdot (-3y) + 9 \cdot 10) - (0.5y \cdot 12y - 0.5y \cdot 34) = (y^3 - 3y^2 + 10y + 9y^2 - 27y + 90) - (6y^2 - 17y) = y^3 + 6y^2 - 17y + 90 - 6y^2 + 17y$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$y^3 + (6y^2 - 6y^2) + (-17y + 17y) + 90 = y^3 + 0 + 0 + 90 = y^3 + 90$.
Левая часть тождества стала равна правой: $90 + y^3 = 90 + y^3$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $(2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = -33 + 16a^3$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:
$(2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = (2a^2 \cdot 8a + 2a^2 \cdot (-3) - a \cdot 8a - a \cdot (-3) + 11 \cdot 8a + 11 \cdot (-3)) + (7a \cdot (-13) + 7a \cdot 2a) = (16a^3 - 6a^2 - 8a^2 + 3a + 88a - 33) + (-91a + 14a^2) = 16a^3 - 14a^2 + 91a - 33 - 91a + 14a^2$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$16a^3 + (-14a^2 + 14a^2) + (91a - 91a) - 33 = 16a^3 + 0 + 0 - 33 = 16a^3 - 33$.
Левая часть тождества стала равна правой: $16a^3 - 33 = -33 + 16a^3$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $(13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2.2x - 24.6) = -54 + 52x^3$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:
$(13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2.2x - 24.6) = (13x \cdot 4x^2 + 13x \cdot (-x) + 13x \cdot (-9) + 6 \cdot 4x^2 + 6 \cdot (-x) + 6 \cdot (-9)) - (5x \cdot 2.2x - 5x \cdot 24.6) = (52x^3 - 13x^2 - 117x + 24x^2 - 6x - 54) - (11x^2 - 123x) = 52x^3 + 11x^2 - 123x - 54 - 11x^2 + 123x$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$52x^3 + (11x^2 - 11x^2) + (-123x + 123x) - 54 = 52x^3 + 0 + 0 - 54 = 52x^3 - 54$.
Левая часть тождества стала равна правой: $52x^3 - 54 = -54 + 52x^3$.
Ответ: Тождество доказано.