Страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Представьте алгебраические суммы в виде произведений (17.5–17.7):

17.5.1) $x^2 + bx - ax - ab;$

2) $x^2 - cx + bx - bc;$

3) $z^2 + zx - zk - xk;$

4) $y^2 + my - km - ky.$

1)

Чтобы представить алгебраическую сумму $x^2 + bx - ax - ab$ в виде произведения, применим метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^2 + bx) + (-ax - ab)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе. В первой группе это $x$, во второй — $-a$.

$x(x + b) - a(x + b)$

Теперь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель — скобка $(x + b)$. Вынесем его:

$(x + b)(x - a)$

Ответ: $(x + b)(x - a)$.

2)

Рассмотрим выражение $x^2 - cx + bx - bc$. Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.

$(x^2 - cx) + (bx - bc)$

Вынесем общие множители за скобки из каждой группы. Из первой группы вынесем $x$, а из второй — $b$.

$x(x - c) + b(x - c)$

Общим множителем является выражение в скобках $(x - c)$. Вынесем его за скобки:

$(x - c)(x + b)$

Ответ: $(x - c)(x + b)$.

3)

Для выражения $z^2 + zx - zk - xk$ также используем метод группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое.

$(z^2 + zx) + (-zk - xk)$

Вынесем общие множители за скобки: $z$ из первой группы и $-k$ из второй.

$z(z + x) - k(z + x)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(z + x)$:

$(z + x)(z - k)$

Ответ: $(z + x)(z - k)$.

4)

Рассмотрим выражение $y^2 + my - km - ky$. Чтобы было удобнее, сгруппируем слагаемые, имеющие общие переменные. Сгруппируем первое и четвертое слагаемые, а также второе и третье.

$(y^2 - ky) + (my - km)$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп. В первой группе это $y$, во второй — $m$.

$y(y - k) + m(y - k)$

Теперь общим множителем является скобка $(y - k)$. Выносим ее:

$(y - k)(y + m)$

Ответ: $(y - k)(y + m)$.

17.6. 1) $x^4y^2 + 3x^4 - 2y^2 - 6$;

2) $x^3y^3 - 2x^3 + 5y^3 - 10$;

3) $-x^5y^2 + 7y^2 + x^5 - 7$;

4) $27 - 9x^2 - x^2y^6 + 3y^6$.

1) Для разложения многочлена $x^4y^2 + 3x^4 - 2y^2 - 6$ на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^4y^2 + 3x^4) + (-2y^2 - 6)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^4$, а во второй группе вынесем $-2$:

$x^4(y^2 + 3) - 2(y^2 + 3)$

Теперь мы видим общий множитель $(y^2 + 3)$, который тоже можно вынести за скобки:

$(x^4 - 2)(y^2 + 3)$

Ответ: $(x^4 - 2)(y^2 + 3)$.

2) Разложим на множители многочлен $x^3y^3 - 2x^3 + 5y^3 - 10$ методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(x^3y^3 - 2x^3) + (5y^3 - 10)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $x^3$, а во второй группе вынесем $5$:

$x^3(y^3 - 2) + 5(y^3 - 2)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(y^3 - 2)$:

$(x^3 + 5)(y^3 - 2)$

Ответ: $(x^3 + 5)(y^3 - 2)$.

3) Для разложения многочлена $-x^5y^2 + 7y^2 + x^5 - 7$ на множители сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(-x^5y^2 + 7y^2) + (x^5 - 7)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $-y^2$, чтобы получить выражение, противоположное выражению во второй скобке:

$-y^2(x^5 - 7) + (x^5 - 7)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x^5 - 7)$:

$(x^5 - 7)(1 - y^2)$

Выражение $(1 - y^2)$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^5 - 7)(1 - y)(1 + y)$

Ответ: $(x^5 - 7)(1 - y)(1 + y)$.

4) Разложим на множители многочлен $27 - 9x^2 - x^2y^6 + 3y^6$ методом группировки. Для удобства сгруппируем первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим:

$(27 + 3y^6) + (-9x^2 - x^2y^6)$

В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3$, а во второй группе вынесем $-x^2$:

$3(9 + y^6) - x^2(9 + y^6)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(9 + y^6)$:

$(9 + y^6)(3 - x^2)$

Ответ: $(9 + y^6)(3 - x^2)$.

17.7.

1) $3a + ax - 3b + 3c - bx + cx;$

2) $4x + 6b + 4y - by - 24 - bx;$

3) $ak - 18a - bk + 7k + 18b - 126;$

4) $nx - 4x - 5mx - 100m + 20n - 80.$

1) Для разложения многочлена $3a + ax - 3b + 3c - bx + cx$ на множители используем метод группировки. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители $a$, $b$ и $c$:
$(3a + ax) + (-3b - bx) + (3c + cx)$
Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$a(3 + x) - b(3 + x) + c(3 + x)$
Теперь мы видим, что все три получившихся слагаемых имеют общий множитель $(3 + x)$. Вынесем этот общий множитель за скобки:
$(a - b + c)(3 + x)$
Ответ: $(a - b + c)(3 + x)$

2) Разложим на множители многочлен $4x + 6b + 4y - by - 24 - bx$. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. Сгруппируем члены с переменной $x$, с переменной $y$ и оставшиеся члены:
$(4x - bx) + (4y - by) + (6b - 24)$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$x(4 - b) + y(4 - b) + 6(b - 4)$
Заметим, что выражения в скобках $(4 - b)$ и $(b - 4)$ отличаются только знаком. Мы можем записать $6(b - 4)$ как $-6(4 - b)$. Подставим это в наше выражение:
$x(4 - b) + y(4 - b) - 6(4 - b)$
Теперь у всех слагаемых есть общий множитель $(4 - b)$, который мы выносим за скобки:
$(x + y - 6)(4 - b)$
Ответ: $(x + y - 6)(4 - b)$

3) Разложим на множители многочлен $ak - 18a - bk + 7k + 18b - 126$. Применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые с переменной $a$, с переменной $b$, и слагаемые с переменной $k$ и свободные члены:
$(ak - 18a) + (-bk + 18b) + (7k - 126)$
Вынесем общие множители в каждой из групп:
$a(k - 18) - b(k - 18) + 7(k - 18)$
Обратите внимание, что $-bk + 18b = -b(k - 18)$ и $7k - 126 = 7(k - 18)$, так как $126 = 7 \times 18$.
Теперь у всех слагаемых есть общий множитель $(k - 18)$. Вынесем его за скобки:
$(a - b + 7)(k - 18)$
Ответ: $(a - b + 7)(k - 18)$

4) Разложим на множители многочлен $nx - 4x - 5mx - 100m + 20n - 80$. Сгруппируем слагаемые, имеющие общие множители. Удобно сгруппировать члены, содержащие $n$, члены, содержащие $m$, и члены, содержащие $x$ и свободный член:
$(nx + 20n) + (-5mx - 100m) + (-4x - 80)$
Вынесем общие множители в каждой группе:
$n(x + 20) - 5m(x + 20) - 4(x + 20)$
Мы видим, что все три слагаемых имеют общий множитель $(x + 20)$. Вынесем его за скобки:
$(n - 5m - 4)(x + 20)$
Ответ: $(n - 5m - 4)(x + 20)$

Решите уравнения (17.8–17.9):

17.8. 1) $x(x - 8) - 20 = -15 - x(1 - x);$

2) $47 - x(11 - x) = 19x + x^2;$

3) $33x - x^2 = (35 - x)x - 17;$

4) $59x + 4x^2 = -4x(1 - x) + 21.$

1) $x(x - 8) - 20 = -15 - x(1 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 - 8x - 20 = -15 - x + x^2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$x^2 - 8x + x - x^2 = 20 - 15$

Приведем подобные слагаемые. Обратим внимание, что $x^2$ и $-x^2$ в левой части взаимно уничтожаются.

$-7x = 5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-7$:

$x = \frac{5}{-7} = -\frac{5}{7}$

Ответ: $x = -\frac{5}{7}$.

2) $47 - x(11 - x) = 19x + x^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$47 - 11x + x^2 = 19x + x^2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть уравнения:

$47 = 19x + x^2 + 11x - x^2$

Приведем подобные слагаемые в правой части. Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ взаимно уничтожаются.

$47 = 30x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $30$:

$x = \frac{47}{30}$

Можно представить ответ в виде смешанной дроби:

$x = 1\frac{17}{30}$

Ответ: $x = 1\frac{17}{30}$.

3) $33x - x^2 = (35 - x)x - 17$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$33x - x^2 = 35x - x^2 - 17$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые оставим в правой:

$33x - x^2 - 35x + x^2 = -17$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые $-x^2$ и $x^2$ взаимно уничтожаются.

$-2x = -17$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $-2$:

$x = \frac{-17}{-2} = \frac{17}{2} = 8.5$

Ответ: $x = 8.5$.

4) $59x + 4x^2 = -4x(1 - x) + 21$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$59x + 4x^2 = -4x + 4x^2 + 21$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ из правой части в левую:

$59x + 4x^2 + 4x - 4x^2 = 21$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Слагаемые $4x^2$ и $-4x^2$ взаимно уничтожаются.

$63x = 21$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $63$:

$x = \frac{21}{63}$

Сократим полученную дробь на 21:

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: $x = \frac{1}{3}$.

17.9. 1) $(x + 4,5)(6x - 1) - (3x + 1,6)(2x - 1) = -3,8x;$

2) $(3,5 - x)(7x + 2) + (3,5x - 1)(7 + 2x) = -450;$

3) $(8x + 3)(1 - 0,9x) + 7,4 = (4x - 5)(1 - 1,8x);$

4) $498 + (2,7 - 5x)(6x - 7) = (9 - 0,5x)(60x + 1).$

1) $(x + 4,5)(6x - 1) - (3x + 1,6)(2x - 1) = -3,8x$
Раскроем скобки в левой части уравнения, выполнив умножение многочленов:
$(x \cdot 6x - x \cdot 1 + 4,5 \cdot 6x - 4,5 \cdot 1) - (3x \cdot 2x - 3x \cdot 1 + 1,6 \cdot 2x - 1,6 \cdot 1) = -3,8x$
$(6x^2 - x + 27x - 4,5) - (6x^2 - 3x + 3,2x - 1,6) = -3,8x$
Приведем подобные слагаемые внутри каждой из скобок:
$(6x^2 + 26x - 4,5) - (6x^2 + 0,2x - 1,6) = -3,8x$
Теперь раскроем вторые скобки, помня, что знак "минус" перед ними меняет знаки всех слагаемых внутри на противоположные:
$6x^2 + 26x - 4,5 - 6x^2 - 0,2x + 1,6 = -3,8x$
Снова приведем подобные слагаемые в левой части:
$(6x^2 - 6x^2) + (26x - 0,2x) + (-4,5 + 1,6) = -3,8x$
$25,8x - 2,9 = -3,8x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$25,8x + 3,8x = 2,9$
$29,6x = 2,9$
Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:
$x = \frac{2,9}{29,6}$
Чтобы избавиться от десятичных дробей в числителе и знаменателе, умножим их на 10:
$x = \frac{29}{296}$
Ответ: $x = \frac{29}{296}$.

2) $(3,5 - x)(7x + 2) + (3,5x - 1)(7 + 2x) = -450$
Раскроем скобки, перемножив многочлены:
$(3,5 \cdot 7x + 3,5 \cdot 2 - x \cdot 7x - x \cdot 2) + (3,5x \cdot 7 + 3,5x \cdot 2x - 1 \cdot 7 - 1 \cdot 2x) = -450$
$(24,5x + 7 - 7x^2 - 2x) + (24,5x + 7x^2 - 7 - 2x) = -450$
Уберем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$(-7x^2 + 7x^2) + (24,5x - 2x + 24,5x - 2x) + (7 - 7) = -450$
$0 \cdot x^2 + 45x + 0 = -450$
$45x = -450$
Найдем $x$:
$x = \frac{-450}{45}$
$x = -10$
Ответ: $x = -10$.

3) $(8x + 3)(1 - 0,9x) + 7,4 = (4x - 5)(1 - 1,8x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$(8x \cdot 1 - 8x \cdot 0,9x + 3 \cdot 1 - 3 \cdot 0,9x) + 7,4 = (4x \cdot 1 - 4x \cdot 1,8x - 5 \cdot 1 + 5 \cdot 1,8x)$
$(8x - 7,2x^2 + 3 - 2,7x) + 7,4 = 4x - 7,2x^2 - 5 + 9x$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-7,2x^2 + 5,3x + 3 + 7,4 = -7,2x^2 + 13x - 5$
$-7,2x^2 + 5,3x + 10,4 = -7,2x^2 + 13x - 5$
Слагаемое $-7,2x^2$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому оно взаимно уничтожается. Перенесем оставшиеся слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:
$10,4 + 5 = 13x - 5,3x$
$15,4 = 7,7x$
Найдем $x$:
$x = \frac{15,4}{7,7}$
$x = 2$
Ответ: $x = 2$.

4) $498 + (2,7 - 5x)(6x - 7) = (9 - 0,5x)(60x + 1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$498 + (2,7 \cdot 6x - 2,7 \cdot 7 - 5x \cdot 6x + 5x \cdot 7) = (9 \cdot 60x + 9 \cdot 1 - 0,5x \cdot 60x - 0,5x \cdot 1)$
$498 + (16,2x - 18,9 - 30x^2 + 35x) = 540x + 9 - 30x^2 - 0,5x$
Приведем подобные слагаемые внутри скобок в левой части и в правой части:
$498 - 30x^2 + 51,2x - 18,9 = -30x^2 + 539,5x + 9$
Приведем подобные числовые слагаемые в левой части:
$-30x^2 + 51,2x + 479,1 = -30x^2 + 539,5x + 9$
Слагаемое $-30x^2$ взаимно уничтожается. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$479,1 - 9 = 539,5x - 51,2x$
$470,1 = 488,3x$
Найдем $x$:
$x = \frac{470,1}{488,3}$
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x = \frac{4701}{4883}$
Ответ: $x = \frac{4701}{4883}$.

17.10. Решите неравенство:

1) $x(x^3 - 4) - x^4 \le 18 - x$;

2) $x^3 + x(20 - x^2) \ge 24x - 3$;

3) $x(31 + x^4) - x^5 > 37x - 68$;

4) $x^9 - x(47 + x^8) > 19 - 45x$.

1) $x(x^3 - 4) - x^4 \leq 18 - x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$x \cdot x^3 - x \cdot 4 - x^4 \leq 18 - x$

$x^4 - 4x - x^4 \leq 18 - x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части. $x^4$ и $-x^4$ взаимно уничтожаются:

$(x^4 - x^4) - 4x \leq 18 - x$

$-4x \leq 18 - x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$-4x + x \leq 18$

$-3x \leq 18$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\leq$ на $\geq$):

$x \geq \frac{18}{-3}$

$x \geq -6$

Решение неравенства можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $[-6; +\infty)$.

2) $x^3 + x(20 - x^2) \geq 24x - 3$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^3 + 20x - x \cdot x^2 \geq 24x - 3$

$x^3 + 20x - x^3 \geq 24x - 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части. $x^3$ и $-x^3$ взаимно уничтожаются:

$(x^3 - x^3) + 20x \geq 24x - 3$

$20x \geq 24x - 3$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:

$3 \geq 24x - 20x$

$3 \geq 4x$

Разделим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:

$\frac{3}{4} \geq x$, что эквивалентно $x \leq \frac{3}{4}$.

Переведем дробь в десятичный вид: $x \leq 0,75$.

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; 0,75]$.

3) $x(31 + x^4) - x^5 > 37x - 68$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$31x + x \cdot x^4 - x^5 > 37x - 68$

$31x + x^5 - x^5 > 37x - 68$

Упростим левую часть, сократив $x^5$ и $-x^5$:

$31x > 37x - 68$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую. Перенесем $31x$ вправо, а $-68$ влево:

$68 > 37x - 31x$

$68 > 6x$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется:

$\frac{68}{6} > x$

Сократим дробь на 2: $\frac{34}{3} > x$, что эквивалентно $x < \frac{34}{3}$.

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $x < 11\frac{1}{3}$.

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; 11\frac{1}{3})$.

4) $x^9 - x(47 + x^8) > 19 - 45x$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$x^9 - (47x + x \cdot x^8) > 19 - 45x$

$x^9 - 47x - x^9 > 19 - 45x$

Упростим левую часть, сократив $x^9$ и $-x^9$:

$-47x > 19 - 45x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$-47x + 45x > 19$

$-2x > 19$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства изменится на противоположный (с $>$ на $<$):

$x < \frac{19}{-2}$

$x < -9,5$

Запишем решение в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; -9,5)$.

17.11. Проверьте, если $A = 5x^6 + x^4 - 9$, $B = 10x^6 - 5x^4 + 1.8$, то выполняется равенство:

1) $A + 5B = 55x^6 - 24x^4$;

2) $-2A + B = -7x^4 + 19.8$;

3) $10A + 2B = 70x^6 - 86.4$;

4) $-3A - 1.5B = -30x^6 + 4.5x^4 + 24.3$.

Даны многочлены $A = 5x^6 + x^4 - 9$ и $B = 10x^6 - 5x^4 + 1,8$. Проверим каждое равенство.

1) Проверим равенство $A + 5B = 55x^6 - 24x^4$.
Подставим выражения для $A$ и $B$ в левую часть равенства и выполним преобразования:
$A + 5B = (5x^6 + x^4 - 9) + 5(10x^6 - 5x^4 + 1,8) = 5x^6 + x^4 - 9 + 50x^6 - 25x^4 + 9 = (5x^6 + 50x^6) + (x^4 - 25x^4) + (-9 + 9) = 55x^6 - 24x^4$.
Левая часть $A + 5B$ равна $55x^6 - 24x^4$, что совпадает с правой частью равенства.
Ответ: равенство выполняется.

2) Проверим равенство $-2A + B = -7x^4 + 19,8$.
Подставим выражения для $A$ и $B$ в левую часть:
$-2A + B = -2(5x^6 + x^4 - 9) + (10x^6 - 5x^4 + 1,8) = -10x^6 - 2x^4 + 18 + 10x^6 - 5x^4 + 1,8 = (-10x^6 + 10x^6) + (-2x^4 - 5x^4) + (18 + 1,8) = -7x^4 + 19,8$.
Левая часть $-2A + B$ равна $-7x^4 + 19,8$, что совпадает с правой частью равенства.
Ответ: равенство выполняется.

3) Проверим равенство $10A + 2B = 70x^6 - 86,4$.
Подставим выражения для $A$ и $B$ в левую часть:
$10A + 2B = 10(5x^6 + x^4 - 9) + 2(10x^6 - 5x^4 + 1,8) = 50x^6 + 10x^4 - 90 + 20x^6 - 10x^4 + 3,6 = (50x^6 + 20x^6) + (10x^4 - 10x^4) + (-90 + 3,6) = 70x^6 - 86,4$.
Левая часть $10A + 2B$ равна $70x^6 - 86,4$, что совпадает с правой частью равенства.
Ответ: равенство выполняется.

4) Проверим равенство $-3A - 1,5B = -30x^6 + 4,5x^4 + 24,3$.
Подставим выражения для $A$ и $B$ в левую часть:
$-3A - 1,5B = -3(5x^6 + x^4 - 9) - 1,5(10x^6 - 5x^4 + 1,8) = -15x^6 - 3x^4 + 27 - 15x^6 + 7,5x^4 - 2,7 = (-15x^6 - 15x^6) + (-3x^4 + 7,5x^4) + (27 - 2,7) = -30x^6 + 4,5x^4 + 24,3$.
Левая часть $-3A - 1,5B$ равна $-30x^6 + 4,5x^4 + 24,3$, что совпадает с правой частью равенства.
Ответ: равенство выполняется.

17.12. Докажите тождество:

1) $ (x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = x^3 + 35; $

2) $ (y + 9)(10 - 3y + y^2) - 0,5y(12y - 34) = 90 + y^3; $

3) $ (2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = -33 + 16a^3; $

4) $ (13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2,2x - 24,6) = -54 + 52x^3. $

1) Чтобы доказать тождество $(x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = x^3 + 35$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(x^2 - 8x + 7)(x + 5) + 3x(x + 11) = (x^2 \cdot x + x^2 \cdot 5 - 8x \cdot x - 8x \cdot 5 + 7 \cdot x + 7 \cdot 5) + (3x \cdot x + 3x \cdot 11) = (x^3 + 5x^2 - 8x^2 - 40x + 7x + 35) + (3x^2 + 33x) = x^3 - 3x^2 - 33x + 35 + 3x^2 + 33x$.
Теперь сгруппируем и сократим подобные члены:
$x^3 + (-3x^2 + 3x^2) + (-33x + 33x) + 35 = x^3 + 0 + 0 + 35 = x^3 + 35$.
В результате преобразований левая часть тождества стала равна правой: $x^3 + 35 = x^3 + 35$.
Ответ: Тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(y + 9)(10 - 3y + y^2) - 0.5y(12y - 34) = 90 + y^3$, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки. Для удобства изменим порядок слагаемых во второй скобке.
$(y + 9)(y^2 - 3y + 10) - 0.5y(12y - 34) = (y \cdot y^2 + y \cdot (-3y) + y \cdot 10 + 9 \cdot y^2 + 9 \cdot (-3y) + 9 \cdot 10) - (0.5y \cdot 12y - 0.5y \cdot 34) = (y^3 - 3y^2 + 10y + 9y^2 - 27y + 90) - (6y^2 - 17y) = y^3 + 6y^2 - 17y + 90 - 6y^2 + 17y$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$y^3 + (6y^2 - 6y^2) + (-17y + 17y) + 90 = y^3 + 0 + 0 + 90 = y^3 + 90$.
Левая часть тождества стала равна правой: $90 + y^3 = 90 + y^3$.
Ответ: Тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $(2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = -33 + 16a^3$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:
$(2a^2 - a + 11)(8a - 3) + 7a(-13 + 2a) = (2a^2 \cdot 8a + 2a^2 \cdot (-3) - a \cdot 8a - a \cdot (-3) + 11 \cdot 8a + 11 \cdot (-3)) + (7a \cdot (-13) + 7a \cdot 2a) = (16a^3 - 6a^2 - 8a^2 + 3a + 88a - 33) + (-91a + 14a^2) = 16a^3 - 14a^2 + 91a - 33 - 91a + 14a^2$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$16a^3 + (-14a^2 + 14a^2) + (91a - 91a) - 33 = 16a^3 + 0 + 0 - 33 = 16a^3 - 33$.
Левая часть тождества стала равна правой: $16a^3 - 33 = -33 + 16a^3$.
Ответ: Тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $(13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2.2x - 24.6) = -54 + 52x^3$, преобразуем его левую часть. Раскроем скобки:
$(13x + 6)(4x^2 - x - 9) - 5x(2.2x - 24.6) = (13x \cdot 4x^2 + 13x \cdot (-x) + 13x \cdot (-9) + 6 \cdot 4x^2 + 6 \cdot (-x) + 6 \cdot (-9)) - (5x \cdot 2.2x - 5x \cdot 24.6) = (52x^3 - 13x^2 - 117x + 24x^2 - 6x - 54) - (11x^2 - 123x) = 52x^3 + 11x^2 - 123x - 54 - 11x^2 + 123x$.
Теперь приведем подобные слагаемые:
$52x^3 + (11x^2 - 11x^2) + (-123x + 123x) - 54 = 52x^3 + 0 + 0 - 54 = 52x^3 - 54$.
Левая часть тождества стала равна правой: $52x^3 - 54 = -54 + 52x^3$.
Ответ: Тождество доказано.