Страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.3. Является ли функцией зависимость между величинами:

1) производительностью труда и выполненной работой за некоторое время;

2) выполненной работой за некоторое время и производительностью труда;

3) переменной $x$ и ее модулем $ |x| $;

4) модулем переменной $x$ $ |x| $ и переменной $x$ ?

1) производительностью труда и выполненной работой за некоторое время;

Чтобы определить, является ли зависимость функцией, нужно установить, соответствует ли каждому значению независимой переменной (аргумента) ровно одно значение зависимой переменной (функции). В этом пункте будем рассматривать производительность труда как независимую переменную, а выполненную работу — как зависимую.
Обозначим производительность труда через $P$ (например, в деталях/час), время работы через $t$ (в часах), а выполненную работу через $A$ (в деталях). Время $t$ в данном контексте является постоянной величиной.
Зависимость между этими величинами выражается формулой: $A = P \cdot t$.
Из этой формулы видно, что каждому значению производительности труда $P$ (при фиксированном $t$) соответствует единственное значение выполненной работы $A$. Например, если $t = 5$ часов, то при производительности $P = 10$ деталей/час работа составит $A = 10 \cdot 5 = 50$ деталей. Других значений для $A$ при тех же $P$ и $t$ быть не может.
Следовательно, эта зависимость является функцией.
Ответ: Да, является.

2) выполненной работой за некоторое время и производительностью труда;

В этом случае будем рассматривать выполненную работу как независимую переменную, а производительность труда — как зависимую.
Используем те же обозначения: $A$ — выполненная работа, $t$ — фиксированное время ($t > 0$), $P$ — производительность труда.
Из формулы $A = P \cdot t$ выразим производительность труда $P$: $P = \frac{A}{t}$.
Из этого соотношения видно, что каждому значению выполненной работы $A$ (при фиксированном $t > 0$) соответствует единственное значение производительности $P$. Например, если за $t = 5$ часов было выполнено $A = 50$ деталей, то производительность однозначно равна $P = \frac{50}{5} = 10$ деталей/час.
Следовательно, эта зависимость также является функцией.
Ответ: Да, является.

3) переменной x и ее модулем;

Здесь независимой переменной является $x$, а зависимой — ее модуль $|x|$.
Зависимость можно записать как $y = |x|$.
По определению модуля числа, каждому значению $x$ соответствует ровно одно значение $y$.

• Если $x \geq 0$, то $y = x$.
• Если $x < 0$, то $y = -x$.

Например, если $x=7$, то $y=7$. Если $x=-7$, то $y=7$. Если $x=0$, то $y=0$. В каждом случае для одного $x$ есть только один $y$.
Поскольку каждому значению независимой переменной $x$ соответствует единственное значение зависимой переменной $y$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Да, является.

4) модулем переменной x и переменной x?

В данном случае независимой переменной является модуль $|x|$, а зависимой — сама переменная $x$.
Обозначим независимую переменную как $m = |x|$. Нам нужно проверить, является ли $x$ функцией от $m$.
Рассмотрим значение $m = 4$. Это означает, что $|x| = 4$. Этому уравнению удовлетворяют два различных значения $x$: $x = 4$ и $x = -4$.
Таким образом, одному значению независимой переменной ($m=4$) соответствуют два значения зависимой переменной ($x=4$ и $x=-4$). Это нарушает основное требование к функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать только одно значение функции.
Следовательно, эта зависимость не является функцией.
Ответ: Нет, не является.

18.4. Докажите, что зависимость является функцией:

1) периметра пятиугольника, у которого все стороны равны, от длины его стороны;

2) массы пяти одинаковых ящиков с фруктами от массы фруктов, находящихся в одном ящике;

3) стоимости десяти одинаковых карандашей от стоимости одного карандаша;

4) количества учебников у учащихся от количества учащихся.

Для того чтобы доказать, что зависимость является функцией, необходимо показать, что каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует только одно, единственное значение зависимой переменной.

1) зависимость периметра пятиугольника, у которого все стороны равны, от длины его стороны

Пусть $a$ — это длина стороны пятиугольника. Это независимая переменная.
Пусть $P$ — это периметр пятиугольника. Это зависимая переменная.
Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку в условии сказано, что у пятиугольника все стороны равны, его периметр будет равен произведению количества сторон на длину одной стороны. Для пятиугольника это выражается формулой:
$P = 5 \cdot a$
Эта формула задает правило, по которому для любого заданного значения длины стороны $a$ (где $a > 0$) можно вычислить соответствующее значение периметра $P$. Причем это значение будет единственным. Например, если сторона $a = 10$ см, то периметр $P$ однозначно равен $5 \cdot 10 = 50$ см.
Поскольку каждому значению независимой переменной $a$ соответствует единственное значение зависимой переменной $P$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Зависимость является функцией, так как каждому значению длины стороны $a$ соответствует единственное значение периметра $P$, вычисляемое по формуле $P = 5a$.

2) зависимость массы пяти одинаковых ящиков с фруктами от массы фруктов, находящихся в одном ящике

Пусть $x$ — масса фруктов в одном ящике. Это независимая переменная.
Пусть $M$ — общая масса пяти одинаковых ящиков с фруктами. Это зависимая переменная.
В условии сказано, что ящики одинаковые. Это означает, что масса каждого пустого ящика является постоянной величиной. Обозначим массу одного пустого ящика как $m_{ящика}$.
Тогда масса одного ящика с фруктами равна сумме массы фруктов и массы ящика: $x + m_{ящика}$.
Общая масса пяти таких ящиков будет в 5 раз больше:
$M = 5 \cdot (x + m_{ящика}) = 5x + 5m_{ящика}$
Для любого заданного значения массы фруктов $x$ (где $x \ge 0$), общая масса $M$ определяется однозначно, так как $m_{ящика}$ — это константа. Например, если масса фруктов в ящике $x = 10$ кг, а масса пустого ящика $m_{ящика} = 2$ кг, то общая масса $M$ будет равна $5 \cdot (10 + 2) = 60$ кг.
Поскольку каждому значению независимой переменной $x$ соответствует единственное значение зависимой переменной $M$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Зависимость является функцией, так как для каждой массы фруктов в одном ящике $x$ существует единственное значение общей массы пяти ящиков с фруктами $M$, определяемое по формуле $M = 5(x + m_{ящика})$, где $m_{ящика}$ — постоянная масса одного ящика.

3) зависимость стоимости десяти одинаковых карандашей от стоимости одного карандаша

Пусть $c$ — стоимость одного карандаша. Это независимая переменная.
Пусть $C$ — общая стоимость десяти одинаковых карандашей. Это зависимая переменная.
Поскольку карандаши одинаковые, их стоимость также одинакова. Общая стоимость десяти карандашей находится умножением стоимости одного карандаша на их количество:
$C = 10 \cdot c$
Эта формула показывает, что для любой стоимости одного карандаша $c$ (где $c > 0$) общая стоимость $C$ определяется однозначно. Например, если один карандаш стоит $c = 15$ рублей, то десять таких карандашей будут стоить $C = 10 \cdot 15 = 150$ рублей.
Поскольку каждому значению независимой переменной $c$ соответствует единственное значение зависимой переменной $C$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Зависимость является функцией, так как каждой стоимости одного карандаша $c$ соответствует единственная общая стоимость десяти карандашей $C$, вычисляемая по формуле $C = 10c$.

4) зависимость количества учебников у учащихся от количества учащихся

Пусть $n$ — количество учащихся. Это независимая переменная.
Пусть $T$ — общее количество учебников у этих учащихся. Это зависимая переменная.
В общем случае эта зависимость не является функцией, так как разное количество учеников может иметь разное количество учебников. Однако, поскольку в задании требуется доказать, что это функция, мы должны сделать предположение, которое обеспечивает однозначность. Таким предположением является то, что каждый учащийся имеет одинаковое, фиксированное количество учебников. Обозначим это количество как $k$. Величина $k$ является константой.
При этом условии общее количество учебников $T$ у $n$ учащихся можно вычислить по формуле:
$T = k \cdot n$
Эта формула для любого заданного количества учащихся $n$ (где $n$ — целое неотрицательное число) и постоянного $k$ дает единственное значение для общего числа учебников $T$. Например, если каждый ученик получает $k = 12$ учебников, то для класса из $n = 25$ учеников общее количество учебников будет $T = 12 \cdot 25 = 300$.
При сделанном допущении каждому значению независимой переменной $n$ соответствует единственное значение зависимой переменной $T$.
Ответ: Зависимость является функцией при условии, что каждый учащийся имеет одинаковое фиксированное количество учебников $k$. В этом случае каждому количеству учащихся $n$ соответствует единственное общее количество учебников $T$, определяемое по формуле $T = k \cdot n$.

18.5. Найдите область определения функции:

1) периметра многоугольника с равными сторонами от длины его стороны;

2) состояния воды от температуры.

1) периметра многоугольника с равными сторонами от длины его стороны;

Область определения функции — это множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента), при которых функция определена. В данном случае рассматривается функция зависимости периметра многоугольника с равными сторонами от длины его стороны.

Пусть $a$ — длина стороны многоугольника (независимая переменная), а $P$ — его периметр (зависимая переменная). Пусть у многоугольника $n$ сторон. Так как все стороны равны, формула для периметра имеет вид: $P(a) = n \cdot a$, где $n$ — натуральное число и $n \ge 3$.

Аргументом этой функции является длина стороны $a$. Поскольку длина геометрической фигуры не может быть отрицательной, то $a \ge 0$. Однако, если длина стороны равна нулю ($a=0$), то многоугольник вырождается в точку и перестает быть многоугольником. Следовательно, длина стороны должна быть строго положительным числом: $a > 0$.

Таким образом, аргумент $a$ может принимать любое положительное действительное значение. Область определения этой функции — это множество всех положительных чисел.

Ответ: Множество всех положительных чисел, то есть интервал $(0, +\infty)$.

2) состояния воды от температуры.

В этом случае рассматривается функция, которая ставит в соответствие каждому значению температуры (аргумент) определенное агрегатное состояние воды (значение функции).

Аргументом функции является температура. Согласно законам физики, существует минимально возможная температура, называемая абсолютным нулем. Ниже этой температуры вещество не может быть охлаждено.

Абсолютный нуль составляет $0$ К (Кельвин), что соответствует $-273.15$ °C (градусов Цельсия). Таким образом, температура $T$ (в градусах Цельсия) не может принимать значения ниже этой отметки: $T \ge -273.15$.

Верхнего предела для температуры в рамках данной задачи не существует. Вода будет менять свои состояния (лед, жидкость, пар), а при сверхвысоких температурах — распадаться на составляющие атомы и ионизироваться (переходить в состояние плазмы), но для любого значения температуры (выше абсолютного нуля) мы можем определить состояние вещества.

Следовательно, область определения этой функции — это все значения температуры, которые физически возможны.

Ответ: Множество всех температур, не ниже абсолютного нуля, то есть луч $[-273.15, +\infty)$ по шкале Цельсия.

18.6. Какие из следующих функций возрастающие, а какие убывающие:

1) зависимость длины стороны квадрата от его площади;

2) зависимость времени, затраченного на выполнение работы, от производительности.

1) зависимость длины стороны квадрата от его площади;
Пусть $a$ – длина стороны квадрата, а $S$ – его площадь. Связь между этими величинами выражается формулой $S = a^2$. В задаче рассматривается зависимость длины стороны от площади, то есть нам нужно выразить $a$ как функцию от $S$.
Поскольку длина стороны $a$ является положительной величиной ($a>0$), из формулы площади мы можем выразить $a$: $a = \sqrt{S}$
Таким образом, мы имеем функцию $a(S) = \sqrt{S}$. Область определения этой функции в контексте задачи – $S > 0$.
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения функции для двух произвольных точек $S_1$ и $S_2$ из области определения, таких что $S_1 < S_2$.
Соответствующие значения длины стороны равны $a_1 = \sqrt{S_1}$ и $a_2 = \sqrt{S_2}$.
Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Следовательно, если $S_1 < S_2$, то и $\sqrt{S_1} < \sqrt{S_2}$, а значит $a_1 < a_2$.
Это означает, что большему значению площади соответствует большее значение длины стороны. Таким образом, данная функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

2) зависимость времени, затраченного на выполнение работы, от производительности.
Пусть $t$ – время, затраченное на выполнение работы, $p$ – производительность (объем работы в единицу времени), а $A$ – общий объем работы, который является постоянной положительной величиной ($A = \text{const}, A > 0$).
Связь между этими величинами описывается формулой: $A = p \cdot t$.
В задаче рассматривается зависимость времени от производительности, то есть нам нужно выразить $t$ как функцию от $p$: $t(p) = \frac{A}{p}$
Область определения этой функции в контексте задачи – $p > 0$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью.
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения функции для двух произвольных точек $p_1$ и $p_2$ из области определения, таких что $p_1 < p_2$.
Соответствующие значения времени равны $t_1 = \frac{A}{p_1}$ и $t_2 = \frac{A}{p_2}$.
Поскольку $p_1, p_2$ и $A$ – положительные числа, и $p_1 < p_2$, то для обратных величин справедливо неравенство $\frac{1}{p_1} > \frac{1}{p_2}$.
Умножив обе части неравенства на положительное число $A$, получим $\frac{A}{p_1} > \frac{A}{p_2}$, то есть $t_1 > t_2$.
Это означает, что большей производительности соответствует меньшее время выполнения работы. Таким образом, данная функция является убывающей.
Ответ: убывающая.

18.7. Длина стороны квадрата принимает значения $2 \text{ см} \le a \le 5 \text{ см}.

В каких числовых значениях изменяется:

1) периметр квадрата;

2) площадь квадрата?

1) периметр квадрата

Пусть $a$ — длина стороны квадрата. По условию задачи, ее значения находятся в промежутке $2 \text{ см} \le a \le 5 \text{ см}$.

Периметр квадрата, обозначим его $P$, вычисляется по формуле $P = 4a$.

Чтобы найти диапазон значений для периметра, необходимо умножить все части исходного двойного неравенства на 4:

$2 \times 4 \le a \times 4 \le 5 \times 4$

Выполнив умножение, получаем:

$8 \le 4a \le 20$

Так как $P = 4a$, то для периметра справедливо неравенство $8 \text{ см} \le P \le 20 \text{ см}$.

Ответ: периметр квадрата изменяется в пределах от 8 см до 20 см включительно.

2) площадь квадрата

Площадь квадрата, обозначим ее $S$, вычисляется по формуле $S = a^2$.

Исходное неравенство для стороны квадрата: $2 \text{ см} \le a \le 5 \text{ см}$.

Чтобы найти диапазон значений для площади, необходимо возвести в квадрат все части этого неравенства. Поскольку все части неравенства — положительные числа, знаки неравенства при возведении в квадрат сохраняются:

$2^2 \le a^2 \le 5^2$

Выполнив возведение в степень, получаем:

$4 \le a^2 \le 25$

Так как $S = a^2$, то для площади справедливо неравенство $4 \text{ см}^2 \le S \le 25 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь квадрата изменяется в пределах от 4 см² до 25 см² включительно.

18.8. Что можно сказать про периметр $P$ квадрата, длина стороны которого равна $a$ см, если:

1) $a \le 4 \text{ см}$;

2) $a \ge 3 \text{ см}$;

3) $a \le 2,5 \text{ см}$;

4) $a \ge 1,75 \text{ см}$;

5) $3 \text{ см} \le a \le 5 \text{ см}$;

6) $1,25 \text{ см} \le a \le 1,75 \text{ см}$;

Периметр $P$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $P = 4a$. Чтобы найти, что можно сказать о периметре, нужно использовать данное в условии неравенство для стороны $a$. Умножив неравенство на 4, мы получим соответствующее неравенство для периметра $P$.

1) Дано, что $a \le 4$ см.
Умножим обе части неравенства на 4:
$4 \cdot a \le 4 \cdot 4$
$P \le 16$ см.
Это означает, что периметр квадрата не превышает 16 см.
Ответ: $P \le 16$ см.

2) Дано, что $a \ge 3$ см.
Умножим обе части неравенства на 4:
$4 \cdot a \ge 4 \cdot 3$
$P \ge 12$ см.
Это означает, что периметр квадрата не меньше 12 см.
Ответ: $P \ge 12$ см.

3) Дано, что $a \le 2,5$ см.
Умножим обе части неравенства на 4:
$4 \cdot a \le 4 \cdot 2,5$
$P \le 10$ см.
Это означает, что периметр квадрата не превышает 10 см.
Ответ: $P \le 10$ см.

4) Дано, что $a \ge 1,75$ см.
Умножим обе части неравенства на 4:
$4 \cdot a \ge 4 \cdot 1,75$
$P \ge 7$ см.
Это означает, что периметр квадрата не меньше 7 см.
Ответ: $P \ge 7$ см.

5) Дано двойное неравенство: $3 \text{ см} \le a \le 5$ см.
Умножим все части неравенства на 4:
$4 \cdot 3 \le 4 \cdot a \le 4 \cdot 5$
$12 \le P \le 20$ см.
Это означает, что периметр квадрата находится в пределах от 12 см до 20 см включительно.
Ответ: $12 \text{ см} \le P \le 20$ см.

6) Дано двойное неравенство: $1,25 \text{ см} \le a \le 1,75$ см.
Умножим все части неравенства на 4:
$4 \cdot 1,25 \le 4 \cdot a \le 4 \cdot 1,75$
$5 \le P \le 7$ см.
Это означает, что периметр квадрата находится в пределах от 5 см до 7 см включительно.
Ответ: $5 \text{ см} \le P \le 7$ см.