Страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.1. Какие из следующих формул задают функцию y от x, а какие нет:

1) $y = -3x + 4$;

2) $y^2 = x$;

3) $x + 8 - 6y = 0?$

Функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$). Чтобы определить, задает ли формула функцию, нужно проверить, можно ли для каждого допустимого значения $x$ найти ровно одно значение $y$.

1) $y = -3x + 4$
Данная формула является уравнением прямой. Для любого действительного значения $x$ мы можем вычислить одно-единственное значение $y$. Например, если $x = 1$, то $y = -3 \cdot 1 + 4 = 1$. Не существует такого $x$, которому соответствовало бы два или более значений $y$. Следовательно, эта формула задает функцию.
Ответ: задает функцию.

2) $y^2 = x$
Чтобы найти $y$, нужно извлечь квадратный корень из $x$. Это дает нам $y = \pm\sqrt{x}$. Для любого положительного значения $x$ мы получаем два различных значения $y$. Например, если $x = 4$, то $y^2 = 4$, откуда $y = 2$ и $y = -2$. Так как одному значению аргумента $x=4$ соответствуют два значения функции, $y=2$ и $y=-2$, данное соотношение не является функцией.
Ответ: не задает функцию.

3) $x + 8 - 6y = 0$
Выразим переменную $y$ через $x$:
$x + 8 = 6y$
$y = \frac{x + 8}{6}$
Эту формулу можно записать как $y = \frac{1}{6}x + \frac{4}{3}$. Это также уравнение прямой, и оно задает линейную функцию. Для любого значения $x$ мы можем вычислить единственное значение $y$. Например, если $x = 4$, то $y = \frac{4 + 8}{6} = \frac{12}{6} = 2$. Следовательно, эта формула задает функцию.
Ответ: задает функцию.

19.2. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{3}x;$

2) $y = \frac{x}{2};$

3) $y = \frac{x}{2} + 5;$

4) $y = 5 \cdot (x + 2);$

5) $y = \frac{3}{x + 2};$

6) $y = \frac{x(x - 2)}{2}.$

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная функция $y = \frac{1}{3}x$ является линейной. Выражение $\frac{1}{3}x$ представляет собой произведение числа и переменной $x$. Эта операция определена для любого действительного числа $x$. Ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, нет. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

2) Функция $y = \frac{x}{2}$ также является линейной, её можно записать как $y = \frac{1}{2}x$. Деление в данном выражении производится на константу 2, а не на переменную. Поэтому выражение $\frac{x}{2}$ имеет смысл при любом значении $x$. Никаких ограничений на значения переменной $x$ не накладывается. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

3) Функция $y = \frac{x}{2} + 5$ является линейной. Она состоит из двух слагаемых: $\frac{x}{2}$ и 5. Как мы установили в предыдущем пункте, выражение $\frac{x}{2}$ определено для всех действительных чисел. Сложение с константой 5 также не вводит никаких ограничений. Следовательно, вся функция определена для любого действительного значения $x$.
Ответ: все действительные числа.

4) Функция $y = 5 \cdot (x + 2)$ является линейной. Если раскрыть скобки, получим $y = 5x + 10$. Это выражение является многочленом (полиномом) первой степени. Многочлены определены для всех действительных значений аргумента, так как для их вычисления используются только операции сложения, вычитания и умножения, которые всегда выполнимы для действительных чисел. Поэтому область определения — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

5) Функция $y = \frac{3}{x + 2}$ является дробно-рациональной. В выражении присутствует деление на переменную. Основное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 2 = 0$. Решая это уравнение, получаем $x = -2$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -2$.
Ответ: все числа, кроме -2.

6) Функция $y = \frac{x(x-2)}{2}$. Выражение в числителе $x(x-2) = x^2 - 2x$ является многочленом. Деление производится на константу 2. Так как делитель — число, не равное нулю, никаких ограничений на переменную $x$ не возникает. Функцию можно представить в виде многочлена второй степени: $y = \frac{1}{2}x^2 - x$. Многочлены определены для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

19.3. Найдите значение функции:

1) $y = \frac{1}{3}x + 8$, если $x = 1782; 1101; \frac{2}{3}; 0,3;$

2) $y = 0,01x - 2,5$, если $x = 25; 250; 2,5;$

3) $y = \frac{1}{8} + 25\% x$, если $x = 40; 100; \frac{1}{2}; 8.$

1) Для функции $y = \frac{1}{3}x + 8$ найдем значения в зависимости от $x$.

Если $x = 1782$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 1782 + 8 = 594 + 8 = 602$.

Если $x = 1101$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 1101 + 8 = 367 + 8 = 375$.

Если $x = \frac{2}{3}$, то $y = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} + 8 = \frac{2}{9} + 8 = 8\frac{2}{9}$.

Если $x = 0,3$, то $y = \frac{1}{3} \cdot 0,3 + 8 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{10} + 8 = \frac{1}{10} + 8 = 0,1 + 8 = 8,1$.

Ответ: $602; 375; 8\frac{2}{9}; 8,1$.

2) Для функции $y = 0,01x - 2,5$ найдем значения в зависимости от $x$.

Если $x = 25$, то $y = 0,01 \cdot 25 - 2,5 = 0,25 - 2,5 = -2,25$.

Если $x = 250$, то $y = 0,01 \cdot 250 - 2,5 = 2,5 - 2,5 = 0$.

Если $x = 2,5$, то $y = 0,01 \cdot 2,5 - 2,5 = 0,025 - 2,5 = -2,475$.

Ответ: $-2,25; 0; -2,475$.

3) Для функции $y = \frac{1}{8} + 25\% x$. Сначала преобразуем проценты в десятичную дробь: $25\% = \frac{25}{100} = 0,25$. Таким образом, формула функции примет вид $y = \frac{1}{8} + 0,25x$.

Если $x = 40$, то $y = \frac{1}{8} + 0,25 \cdot 40 = 0,125 + 10 = 10,125$.

Если $x = 100$, то $y = \frac{1}{8} + 0,25 \cdot 100 = 0,125 + 25 = 25,125$.

Если $x = \frac{1}{2}$, для удобства вычислений представим $0,25$ как обыкновенную дробь $\frac{1}{4}$. Тогда $y = \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Если $x = 8$, то $y = \frac{1}{8} + 0,25 \cdot 8 = 0,125 + 2 = 2,125$.

Ответ: $10,125; 25,125; \frac{1}{4}; 2,125$.

19.4. Найдите значение аргумента $x$ для функции:

1) $y = \frac{1}{3}x + 8$, если $y = \frac{1}{3}$; 0,3; 8; 30;

2) $y = 0,01x - 2,5$, если $y = 2,5$; 0,01; $\frac{1}{25}$;

3) $y = \frac{1}{8} + 25\% x$, если $y = \frac{1}{4}$; 0,5; 10.

1) Дана функция $y = \frac{1}{3}x + 8$. Чтобы найти значение аргумента $x$, сначала выразим его из уравнения функции:
$ \frac{1}{3}x = y - 8 $
$ x = 3(y - 8) $
Теперь подставим заданные значения $y$ в полученную формулу.

• При $y = \frac{1}{3}$: $x = 3(\frac{1}{3} - 8) = 3(\frac{1-24}{3}) = 3(-\frac{23}{3}) = -23$.

• При $y = 0,3$: $x = 3(0,3 - 8) = 3(-7,7) = -23,1$.

• При $y = 8$: $x = 3(8 - 8) = 3 \cdot 0 = 0$.

• При $y = 30$: $x = 3(30 - 8) = 3 \cdot 22 = 66$.

Ответ: при $y = \frac{1}{3}$, $x = -23$; при $y = 0,3$, $x = -23,1$; при $y = 8$, $x = 0$; при $y = 30$, $x = 66$.

2) Дана функция $y = 0,01x - 2,5$. Выразим $x$ из уравнения:
$ 0,01x = y + 2,5 $
$ x = \frac{y + 2,5}{0,01} $
$ x = 100(y + 2,5) $
Теперь подставим заданные значения $y$.

• При $y = 2,5$: $x = 100(2,5 + 2,5) = 100 \cdot 5 = 500$.

• При $y = 0,01$: $x = 100(0,01 + 2,5) = 100 \cdot 2,51 = 251$.

• При $y = \frac{1}{25}$ (что равно $0,04$): $x = 100(0,04 + 2,5) = 100 \cdot 2,54 = 254$.

Ответ: при $y = 2,5$, $x = 500$; при $y = 0,01$, $x = 251$; при $y = \frac{1}{25}$, $x = 254$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{8} + 25\% x$. Сначала преобразуем проценты и обыкновенную дробь в десятичные: $25\% = 0,25$ и $\frac{1}{8} = 0,125$. Функция принимает вид: $y = 0,125 + 0,25x$. Выразим $x$:
$ 0,25x = y - 0,125 $
$ x = \frac{y - 0,125}{0,25} $
$ x = 4(y - 0,125) $
Теперь подставим заданные значения $y$.

• При $y = \frac{1}{4}$ (что равно $0,25$): $x = 4(0,25 - 0,125) = 4 \cdot 0,125 = 0,5$.

• При $y = 0,5$: $x = 4(0,5 - 0,125) = 4 \cdot 0,375 = 1,5$.

• При $y = 10$: $x = 4(10 - 0,125) = 4 \cdot 9,875 = 39,5$.

Ответ: при $y = \frac{1}{4}$, $x = 0,5$; при $y = 0,5$, $x = 1,5$; при $y = 10$, $x = 39,5$.

19.5. Для каких значений аргумента x равны нулю значения функции:

1) $y = 12x + 18;$

2) $y = 12x + 3;$

3) $y = 3x + 8;$

4) $y = 5x + 1;$

5) $y = -12x + 18;$

6) $y = 4x - 8;$

7) $y = -2x - 8;$

8) $y = -10x + 2? $

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, необходимо для каждой функции решить уравнение $y=0$. Это значение $x$ называется нулём функции.

1) Дана функция $y = 12x + 18$.
Приравниваем значение функции к нулю:
$12x + 18 = 0$
Переносим свободный член (18) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$12x = -18$
Находим $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$ (12):
$x = \frac{-18}{12}$
Сокращаем дробь на 6:
$x = -\frac{3}{2} = -1.5$
Ответ: $x = -1.5$

2) Дана функция $y = 12x + 3$.
Приравниваем к нулю:
$12x + 3 = 0$
$12x = -3$
$x = \frac{-3}{12} = -\frac{1}{4} = -0.25$
Ответ: $x = -0.25$

3) Дана функция $y = 3x + 8$.
Приравниваем к нулю:
$3x + 8 = 0$
$3x = -8$
$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$
Ответ: $x = -2\frac{2}{3}$

4) Дана функция $y = 5x + 1$.
Приравниваем к нулю:
$5x + 1 = 0$
$5x = -1$
$x = -\frac{1}{5} = -0.2$
Ответ: $x = -0.2$

5) Дана функция $y = -12x + 18$.
Приравниваем к нулю:
$-12x + 18 = 0$
Переносим $-12x$ в правую часть:
$18 = 12x$
$x = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1.5$
Ответ: $x = 1.5$

6) Дана функция $y = 4x - 8$.
Приравниваем к нулю:
$4x - 8 = 0$
$4x = 8$
$x = \frac{8}{4} = 2$
Ответ: $x = 2$

7) Дана функция $y = -2x - 8$.
Приравниваем к нулю:
$-2x - 8 = 0$
$-2x = 8$
$x = \frac{8}{-2} = -4$
Ответ: $x = -4$

8) Дана функция $y = -10x + 2$.
Приравниваем к нулю:
$-10x + 2 = 0$
$2 = 10x$
$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2$
Ответ: $x = 0.2$

19.6. Для каких значений аргумента x являются положительными значения функции:

1) $y = 2x + 8$;

2) $y = -2x + 8$;

3) $y = -2x - 8$;

4) $y = 2x - 8$;

5) $y = 0.1x + 10$;

6) $y = -0.1x + 10$;

7) $y = -0.1x - 10$;

8) $y = 0.1x - 10?$;

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значения функции являются положительными, необходимо для каждой функции решить неравенство $y > 0$.

1) $y = 2x + 8$

Составим и решим неравенство:

$2x + 8 > 0$

Перенесем 8 в правую часть, изменив знак:

$2x > -8$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x > -4$

Ответ: при $x > -4$.

2) $y = -2x + 8$

Составим и решим неравенство:

$-2x + 8 > 0$

Перенесем 8 в правую часть, изменив знак:

$-2x > -8$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 4$

Ответ: при $x < 4$.

3) $y = -2x - 8$

Составим и решим неравенство:

$-2x - 8 > 0$

Перенесем -8 в правую часть, изменив знак:

$-2x > 8$

Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -4$

Ответ: при $x < -4$.

4) $y = 2x - 8$

Составим и решим неравенство:

$2x - 8 > 0$

Перенесем -8 в правую часть, изменив знак:

$2x > 8$

Разделим обе части на 2:

$x > 4$

Ответ: при $x > 4$.

5) $y = 0,1x + 10$

Составим и решим неравенство:

$0,1x + 10 > 0$

Перенесем 10 в правую часть, изменив знак:

$0,1x > -10$

Разделим обе части на 0,1 (что эквивалентно умножению на 10):

$x > -100$

Ответ: при $x > -100$.

6) $y = -0,1x + 10$

Составим и решим неравенство:

$-0,1x + 10 > 0$

Перенесем 10 в правую часть, изменив знак:

$-0,1x > -10$

Разделим обе части на -0,1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 100$

Ответ: при $x < 100$.

7) $y = -0,1x - 10$

Составим и решим неравенство:

$-0,1x - 10 > 0$

Перенесем -10 в правую часть, изменив знак:

$-0,1x > 10$

Разделим обе части на -0,1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -100$

Ответ: при $x < -100$.

8) $y = 0,1x - 10$

Составим и решим неравенство:

$0,1x - 10 > 0$

Перенесем -10 в правую часть, изменив знак:

$0,1x > 10$

Разделим обе части на 0,1:

$x > 100$

Ответ: при $x > 100$.