Номер 19.2, страница 127 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.2. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{3}x;$

2) $y = \frac{x}{2};$

3) $y = \frac{x}{2} + 5;$

4) $y = 5 \cdot (x + 2);$

5) $y = \frac{3}{x + 2};$

6) $y = \frac{x(x - 2)}{2}.$

1) Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$, при которых функция определена. Данная функция $y = \frac{1}{3}x$ является линейной. Выражение $\frac{1}{3}x$ представляет собой произведение числа и переменной $x$. Эта операция определена для любого действительного числа $x$. Ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, нет. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

2) Функция $y = \frac{x}{2}$ также является линейной, её можно записать как $y = \frac{1}{2}x$. Деление в данном выражении производится на константу 2, а не на переменную. Поэтому выражение $\frac{x}{2}$ имеет смысл при любом значении $x$. Никаких ограничений на значения переменной $x$ не накладывается. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

3) Функция $y = \frac{x}{2} + 5$ является линейной. Она состоит из двух слагаемых: $\frac{x}{2}$ и 5. Как мы установили в предыдущем пункте, выражение $\frac{x}{2}$ определено для всех действительных чисел. Сложение с константой 5 также не вводит никаких ограничений. Следовательно, вся функция определена для любого действительного значения $x$.
Ответ: все действительные числа.

4) Функция $y = 5 \cdot (x + 2)$ является линейной. Если раскрыть скобки, получим $y = 5x + 10$. Это выражение является многочленом (полиномом) первой степени. Многочлены определены для всех действительных значений аргумента, так как для их вычисления используются только операции сложения, вычитания и умножения, которые всегда выполнимы для действительных чисел. Поэтому область определения — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.

5) Функция $y = \frac{3}{x + 2}$ является дробно-рациональной. В выражении присутствует деление на переменную. Основное ограничение для таких функций — знаменатель дроби не должен равняться нулю, так как деление на ноль не определено. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + 2 = 0$. Решая это уравнение, получаем $x = -2$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x = -2$.
Ответ: все числа, кроме -2.

6) Функция $y = \frac{x(x-2)}{2}$. Выражение в числителе $x(x-2) = x^2 - 2x$ является многочленом. Деление производится на константу 2. Так как делитель — число, не равное нулю, никаких ограничений на переменную $x$ не возникает. Функцию можно представить в виде многочлена второй степени: $y = \frac{1}{2}x^2 - x$. Многочлены определены для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
Ответ: все действительные числа.