Вопросы, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Что означает "задать функцию"? Как можно задать функцию?

1. Почему с помощью формулы можно задать функцию?

2. В каком случае формула задает функцию?

3. В каком случае формула не задает функцию?

4. Как с помощью формулы, задающей функцию, найти ее область определения?

5. Что нужно сделать, чтобы по заданному значению функции найти соответствующее значение аргумента?

Что означает "задать функцию"? Как можно задать функцию?
"Задать функцию" — это значит определить правило или закон, согласно которому каждому значению независимой переменной (аргумента) из некоторого множества, называемого областью определения, ставится в соответствие одно-единственное значение зависимой переменной (функции).
Существует несколько основных способов задания функции:
1. Аналитический способ (с помощью формулы). Например, $y = x^2$. Это самый распространенный и точный способ.
2. Табличный способ. Создается таблица, где для ряда значений аргумента приводятся соответствующие значения функции. Удобен для конечного набора данных.
3. Графический способ. Строится график — множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты — соответствующими значениями функции. Обеспечивает наглядность.
4. Словесный способ. Правило зависимости описывается словами. Например, "каждому числу ставится в соответствие его модуль".
Ответ: Задать функцию — значит установить правило соответствия между аргументом и значением функции. Основные способы: аналитический (формула), табличный, графический и словесный.

1. Почему с помощью формулы можно задать функцию?
Формула представляет собой точное правило (алгоритм) вычислений. Когда мы подставляем в формулу любое допустимое значение аргумента (независимой переменной $x$), мы по этому правилу выполняем операции и получаем единственный результат — значение функции (зависимой переменной $y$). Такое однозначное соответствие между $x$ и $y$ и является определением функции.
Ответ: Потому что формула задает однозначное правило, по которому для каждого значения аргумента можно вычислить единственное значение функции.

2. В каком случае формула задает функцию?
Формула задает функцию, если для любого значения независимой переменной $x$ из области определения по этой формуле можно вычислить одно и только одно значение зависимой переменной $y$. Например, формула $y = 3x - 7$ задает функцию, так как любому $x$ соответствует единственный $y$.
Ответ: Формула задает функцию, если каждому допустимому значению аргумента она ставит в соответствие единственное значение функции.

3. В каком случае формула не задает функцию?
Формула не задает функцию, если для хотя бы одного значения аргумента $x$ из рассматриваемого множества ей соответствует более одного значения $y$ или не соответствует ни одного. Например, соотношение $y^2 = x$ не задает функцию $y$ от $x$ для $x > 0$, так как одному значению $x$ (например, $x=4$) соответствуют два значения $y$ ($y=2$ и $y=-2$).
Ответ: Формула не задает функцию, если для какого-либо значения аргумента по ней нельзя найти значение функции или можно найти более одного значения.

4. Как с помощью формулы, задающей функцию, найти ее область определения?
Область определения функции, заданной формулой, — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение в формуле имеет смысл (т.е. все математические операции выполнимы). Для ее нахождения нужно исключить значения $x$, которые приводят к недопустимым операциям:
- Деление на ноль: знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
- Извлечение корня четной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).
- Логарифмирование: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.
Если в формуле нет таких ограничений (например, $y = 5x^2 - 1$), то область определения — все действительные числа ($x \in R$).
Ответ: Нужно найти все значения аргумента, при которых выполнимы все математические операции, указанные в формуле, исключив деление на ноль, извлечение корня четной степени из отрицательного числа и т.д.

5. Что нужно сделать, чтобы по заданному значению функции найти соответствующее значение аргумента?
Чтобы найти значение аргумента $x$ по известному значению функции $y_0$, необходимо подставить это значение $y_0$ в формулу функции вместо $y$. В результате получится уравнение относительно переменной $x$. Решив это уравнение, мы найдем искомые значения аргумента. Например, для функции $y = 4x + 1$ и заданного значения $y_0 = 9$, мы решаем уравнение $9 = 4x + 1$, откуда $4x = 8$ и $x = 2$.
Ответ: Нужно подставить заданное значение функции в ее формулу и решить получившееся уравнение относительно аргумента.