Номер 18.6, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.6. Какие из следующих функций возрастающие, а какие убывающие:

1) зависимость длины стороны квадрата от его площади;

2) зависимость времени, затраченного на выполнение работы, от производительности.

1) зависимость длины стороны квадрата от его площади;
Пусть $a$ – длина стороны квадрата, а $S$ – его площадь. Связь между этими величинами выражается формулой $S = a^2$. В задаче рассматривается зависимость длины стороны от площади, то есть нам нужно выразить $a$ как функцию от $S$.
Поскольку длина стороны $a$ является положительной величиной ($a>0$), из формулы площади мы можем выразить $a$: $a = \sqrt{S}$
Таким образом, мы имеем функцию $a(S) = \sqrt{S}$. Область определения этой функции в контексте задачи – $S > 0$.
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения функции для двух произвольных точек $S_1$ и $S_2$ из области определения, таких что $S_1 < S_2$.
Соответствующие значения длины стороны равны $a_1 = \sqrt{S_1}$ и $a_2 = \sqrt{S_2}$.
Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей для всех $x \ge 0$. Следовательно, если $S_1 < S_2$, то и $\sqrt{S_1} < \sqrt{S_2}$, а значит $a_1 < a_2$.
Это означает, что большему значению площади соответствует большее значение длины стороны. Таким образом, данная функция является возрастающей.
Ответ: возрастающая.

2) зависимость времени, затраченного на выполнение работы, от производительности.
Пусть $t$ – время, затраченное на выполнение работы, $p$ – производительность (объем работы в единицу времени), а $A$ – общий объем работы, который является постоянной положительной величиной ($A = \text{const}, A > 0$).
Связь между этими величинами описывается формулой: $A = p \cdot t$.
В задаче рассматривается зависимость времени от производительности, то есть нам нужно выразить $t$ как функцию от $p$: $t(p) = \frac{A}{p}$
Область определения этой функции в контексте задачи – $p > 0$. Эта зависимость является обратной пропорциональностью.
Чтобы определить, является ли функция возрастающей или убывающей, сравним значения функции для двух произвольных точек $p_1$ и $p_2$ из области определения, таких что $p_1 < p_2$.
Соответствующие значения времени равны $t_1 = \frac{A}{p_1}$ и $t_2 = \frac{A}{p_2}$.
Поскольку $p_1, p_2$ и $A$ – положительные числа, и $p_1 < p_2$, то для обратных величин справедливо неравенство $\frac{1}{p_1} > \frac{1}{p_2}$.
Умножив обе части неравенства на положительное число $A$, получим $\frac{A}{p_1} > \frac{A}{p_2}$, то есть $t_1 > t_2$.
Это означает, что большей производительности соответствует меньшее время выполнения работы. Таким образом, данная функция является убывающей.
Ответ: убывающая.