Номер 18.4, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18.4. Докажите, что зависимость является функцией:

1) периметра пятиугольника, у которого все стороны равны, от длины его стороны;

2) массы пяти одинаковых ящиков с фруктами от массы фруктов, находящихся в одном ящике;

3) стоимости десяти одинаковых карандашей от стоимости одного карандаша;

4) количества учебников у учащихся от количества учащихся.

Для того чтобы доказать, что зависимость является функцией, необходимо показать, что каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует только одно, единственное значение зависимой переменной.

1) зависимость периметра пятиугольника, у которого все стороны равны, от длины его стороны

Пусть $a$ — это длина стороны пятиугольника. Это независимая переменная.
Пусть $P$ — это периметр пятиугольника. Это зависимая переменная.
Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Поскольку в условии сказано, что у пятиугольника все стороны равны, его периметр будет равен произведению количества сторон на длину одной стороны. Для пятиугольника это выражается формулой:
$P = 5 \cdot a$
Эта формула задает правило, по которому для любого заданного значения длины стороны $a$ (где $a > 0$) можно вычислить соответствующее значение периметра $P$. Причем это значение будет единственным. Например, если сторона $a = 10$ см, то периметр $P$ однозначно равен $5 \cdot 10 = 50$ см.
Поскольку каждому значению независимой переменной $a$ соответствует единственное значение зависимой переменной $P$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Зависимость является функцией, так как каждому значению длины стороны $a$ соответствует единственное значение периметра $P$, вычисляемое по формуле $P = 5a$.

2) зависимость массы пяти одинаковых ящиков с фруктами от массы фруктов, находящихся в одном ящике

Пусть $x$ — масса фруктов в одном ящике. Это независимая переменная.
Пусть $M$ — общая масса пяти одинаковых ящиков с фруктами. Это зависимая переменная.
В условии сказано, что ящики одинаковые. Это означает, что масса каждого пустого ящика является постоянной величиной. Обозначим массу одного пустого ящика как $m_{ящика}$.
Тогда масса одного ящика с фруктами равна сумме массы фруктов и массы ящика: $x + m_{ящика}$.
Общая масса пяти таких ящиков будет в 5 раз больше:
$M = 5 \cdot (x + m_{ящика}) = 5x + 5m_{ящика}$
Для любого заданного значения массы фруктов $x$ (где $x \ge 0$), общая масса $M$ определяется однозначно, так как $m_{ящика}$ — это константа. Например, если масса фруктов в ящике $x = 10$ кг, а масса пустого ящика $m_{ящика} = 2$ кг, то общая масса $M$ будет равна $5 \cdot (10 + 2) = 60$ кг.
Поскольку каждому значению независимой переменной $x$ соответствует единственное значение зависимой переменной $M$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Зависимость является функцией, так как для каждой массы фруктов в одном ящике $x$ существует единственное значение общей массы пяти ящиков с фруктами $M$, определяемое по формуле $M = 5(x + m_{ящика})$, где $m_{ящика}$ — постоянная масса одного ящика.

3) зависимость стоимости десяти одинаковых карандашей от стоимости одного карандаша

Пусть $c$ — стоимость одного карандаша. Это независимая переменная.
Пусть $C$ — общая стоимость десяти одинаковых карандашей. Это зависимая переменная.
Поскольку карандаши одинаковые, их стоимость также одинакова. Общая стоимость десяти карандашей находится умножением стоимости одного карандаша на их количество:
$C = 10 \cdot c$
Эта формула показывает, что для любой стоимости одного карандаша $c$ (где $c > 0$) общая стоимость $C$ определяется однозначно. Например, если один карандаш стоит $c = 15$ рублей, то десять таких карандашей будут стоить $C = 10 \cdot 15 = 150$ рублей.
Поскольку каждому значению независимой переменной $c$ соответствует единственное значение зависимой переменной $C$, данная зависимость является функцией.
Ответ: Зависимость является функцией, так как каждой стоимости одного карандаша $c$ соответствует единственная общая стоимость десяти карандашей $C$, вычисляемая по формуле $C = 10c$.

4) зависимость количества учебников у учащихся от количества учащихся

Пусть $n$ — количество учащихся. Это независимая переменная.
Пусть $T$ — общее количество учебников у этих учащихся. Это зависимая переменная.
В общем случае эта зависимость не является функцией, так как разное количество учеников может иметь разное количество учебников. Однако, поскольку в задании требуется доказать, что это функция, мы должны сделать предположение, которое обеспечивает однозначность. Таким предположением является то, что каждый учащийся имеет одинаковое, фиксированное количество учебников. Обозначим это количество как $k$. Величина $k$ является константой.
При этом условии общее количество учебников $T$ у $n$ учащихся можно вычислить по формуле:
$T = k \cdot n$
Эта формула для любого заданного количества учащихся $n$ (где $n$ — целое неотрицательное число) и постоянного $k$ дает единственное значение для общего числа учебников $T$. Например, если каждый ученик получает $k = 12$ учебников, то для класса из $n = 25$ учеников общее количество учебников будет $T = 12 \cdot 25 = 300$.
При сделанном допущении каждому значению независимой переменной $n$ соответствует единственное значение зависимой переменной $T$.
Ответ: Зависимость является функцией при условии, что каждый учащийся имеет одинаковое фиксированное количество учебников $k$. В этом случае каждому количеству учащихся $n$ соответствует единственное общее количество учебников $T$, определяемое по формуле $T = k \cdot n$.