Страница 128 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

19.7. Для каких значений аргумента $x$ являются отрицательными значения функции:

1) $y = 100x + 4;$

2) $y = 4x + 100;$

3) $y = 20x + 80;$

4) $y = 5x + 80;$

5) $y = -2x + 8;$

6) $y = 2x - 8;$

7) $y = -2x - 8;$

8) $y = 2x + 8?$

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значения функции являются отрицательными, необходимо для каждой функции решить неравенство $y < 0$.

1) $y = 100x + 4$

Составим и решим неравенство:

$100x + 4 < 0$

$100x < -4$

$x < -\frac{4}{100}$

$x < -0.04$

Ответ: при $x < -0.04$.

2) $y = 4x + 100$

Составим и решим неравенство:

$4x + 100 < 0$

$4x < -100$

$x < -\frac{100}{4}$

$x < -25$

Ответ: при $x < -25$.

3) $y = 20x + 80$

Составим и решим неравенство:

$20x + 80 < 0$

$20x < -80$

$x < -\frac{80}{20}$

$x < -4$

Ответ: при $x < -4$.

4) $y = 5x + 80$

Составим и решим неравенство:

$5x + 80 < 0$

$5x < -80$

$x < -\frac{80}{5}$

$x < -16$

Ответ: при $x < -16$.

5) $y = -2x + 8$

Составим и решим неравенство:

$-2x + 8 < 0$

$-2x < -8$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{-8}{-2}$

$x > 4$

Ответ: при $x > 4$.

6) $y = 2x - 8$

Составим и решим неравенство:

$2x - 8 < 0$

$2x < 8$

$x < \frac{8}{2}$

$x < 4$

Ответ: при $x < 4$.

7) $y = -2x - 8$

Составим и решим неравенство:

$-2x - 8 < 0$

$-2x < 8$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x > \frac{8}{-2}$

$x > -4$

Ответ: при $x > -4$.

8) $y = 2x + 8$

Составим и решим неравенство:

$2x + 8 < 0$

$2x < -8$

$x < \frac{-8}{2}$

$x < -4$

Ответ: при $x < -4$.

19.8. Для каких значений аргумента x являются неотрицательными значения функции:

1) $y=-3.5x+4\frac{2}{3}$;

2) $y=\frac{5}{9}x-14\frac{7}{18}$;

3) $y=-\frac{7}{8}x+4\frac{4}{7}$;

4) $y=-1\frac{2}{3}x-12.5$?

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых значения функции являются неотрицательными, необходимо для каждой функции решить неравенство $y \ge 0$.

1) Для функции $y = -3,5x + 4\frac{2}{3}$ решаем неравенство:

$-3,5x + 4\frac{2}{3} \ge 0$

Сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$

Подставим эти значения в неравенство:

$-\frac{7}{2}x + \frac{14}{3} \ge 0$

Перенесем свободный член в правую часть неравенства:

$-\frac{7}{2}x \ge -\frac{14}{3}$

Умножим обе части неравенства на $-\frac{2}{7}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le (-\frac{14}{3}) \cdot (-\frac{2}{7})$

$x \le \frac{14 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{2 \cdot 2}{3} = \frac{4}{3}$

Таким образом, значения функции неотрицательны при $x \le \frac{4}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{3}]$.

2) Для функции $y = \frac{5}{9}x - 14\frac{7}{18}$ решаем неравенство:

$\frac{5}{9}x - 14\frac{7}{18} \ge 0$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$14\frac{7}{18} = \frac{14 \cdot 18 + 7}{18} = \frac{252 + 7}{18} = \frac{259}{18}$

Получаем неравенство:

$\frac{5}{9}x - \frac{259}{18} \ge 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$\frac{5}{9}x \ge \frac{259}{18}$

Умножим обе части на $\frac{9}{5}$ (знак неравенства не меняется, так как множитель положительный):

$x \ge \frac{259}{18} \cdot \frac{9}{5}$

$x \ge \frac{259}{2 \cdot 5} = \frac{259}{10} = 25,9$

Таким образом, значения функции неотрицательны при $x \ge 25,9$.

Ответ: $x \in [25,9; +\infty)$.

3) Для функции $y = -\frac{7}{8}x + 4\frac{4}{7}$ решаем неравенство:

$-\frac{7}{8}x + 4\frac{4}{7} \ge 0$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$4\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{32}{7}$

Получаем неравенство:

$-\frac{7}{8}x + \frac{32}{7} \ge 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-\frac{7}{8}x \ge -\frac{32}{7}$

Умножим обе части на $-\frac{8}{7}$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x \le (-\frac{32}{7}) \cdot (-\frac{8}{7})$

$x \le \frac{32 \cdot 8}{7 \cdot 7} = \frac{256}{49}$

Таким образом, значения функции неотрицательны при $x \le \frac{256}{49}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{256}{49}]$.

4) Для функции $y = -1\frac{2}{3}x - 12,5$ решаем неравенство:

$-1\frac{2}{3}x - 12,5 \ge 0$

Преобразуем смешанное число и десятичную дробь в обыкновенные дроби:

$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

$12,5 = \frac{125}{10} = \frac{25}{2}$

Получаем неравенство:

$-\frac{5}{3}x - \frac{25}{2} \ge 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-\frac{5}{3}x \ge \frac{25}{2}$

Умножим обе части на $-\frac{3}{5}$, сменив знак неравенства на противоположный:

$x \le \frac{25}{2} \cdot (-\frac{3}{5})$

$x \le -\frac{5 \cdot 3}{2} = -\frac{15}{2} = -7,5$

Таким образом, значения функции неотрицательны при $x \le -7,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,5]$.

19.9. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{x+6}{5-x}$;

2) $y = \frac{x+3}{8,9+2x}$;

3) $y = \frac{x(x-4)}{x-4}$;

4) $y = \frac{x^2}{x^2-7x}$.

1)

Данная функция $y = \frac{x+6}{5-x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все значения переменной $x$, при которых знаменатель дроби не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$5 - x = 0$

$x = 5$

Следовательно, это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=5$.

Ответ: $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$

2)

Данная функция $y = \frac{x+3}{8,9+2x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все значения переменной $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$8,9 + 2x = 0$

$2x = -8,9$

$x = -4,45$

Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=-4,45$.

Ответ: $(-\infty; -4,45) \cup (-4,45; +\infty)$

3)

Данная функция $y = \frac{x(x-4)}{x-4}$ является дробно-рациональной. Область определения функции находится по ее исходному виду, до возможных сокращений. Условием существования функции является неравенство знаменателя нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x - 4 = 0$

$x = 4$

Значение $x=4$ необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=4$.

Ответ: $(-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$

4)

Данная функция $y = \frac{x^2}{x^2-7x}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — это все значения переменной $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 - 7x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x = 0$ или $x - 7 = 0$

Отсюда получаем два значения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Эти два значения необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x=0$ и $x=7$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 7) \cup (7; +\infty)$

19.10. Вычислите значение $y$. Заполните таблицу 19.1, если $y = 2.2x$.

Таблица 19.1

Для вычисления значений y необходимо подставить заданные значения x в формулу $y = 2,2x$. Выполним расчеты для каждого значения x из таблицы.

Для x = 5

Подставляем значение $x=5$ в формулу:

$y = 2,2 \cdot 5 = 11$

Ответ: 11.

Для x = -3

Подставляем значение $x=-3$ в формулу:

$y = 2,2 \cdot (-3) = -6,6$

Ответ: -6,6.

Для x = 27

Подставляем значение $x=27$ в формулу:

$y = 2,2 \cdot 27 = 59,4$

Ответ: 59,4.

Для x = -1 1/3

Для удобства вычислений представим десятичную дробь и смешанное число в виде неправильных дробей.

Представим $2,2$ в виде дроби: $2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$.

Представим $x = -1\frac{1}{3}$ в виде дроби: $-1\frac{1}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = -\frac{4}{3}$.

Теперь выполним умножение дробей:

$y = \frac{11}{5} \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 3} = -\frac{44}{15}$

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$-\frac{44}{15} = -2\frac{14}{15}$

Ответ: $-2\frac{14}{15}$.

Итоговая таблица 19.1

19.11. Заполните таблицу 19.2.

Таблица 19.2

$x$: —, —, $\frac{1}{3}$, $1\frac{1}{6}$, —, —
$y=3x-2$: 4, —, —, —, 2,5, -5

Для заполнения таблицы необходимо для каждого столбца либо найти значение $y$ по известному $x$, либо найти значение $x$ по известному $y$, используя формулу $y = 3x - 2$.

Подставим значение $y=4$ в уравнение функции и решим его относительно $x$:
$4 = 3x - 2$
$3x = 4 + 2$
$3x = 6$
$x = \frac{6}{3}$
$x = 2$
Ответ: 2.

Подставим значение $x=\frac{1}{3}$ в уравнение функции:
$y = 3 \cdot \frac{1}{3} - 2$
$y = 1 - 2$
$y = -1$
Ответ: -1.

Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.
Теперь подставим значение $x=\frac{7}{6}$ в уравнение функции:
$y = 3 \cdot \frac{7}{6} - 2$
$y = \frac{21}{6} - 2$
Сократим дробь и выполним вычитание:
$y = \frac{7}{2} - 2 = 3,5 - 2 = 1,5$
Ответ: 1,5.

Подставим значение $y=2,5$ в уравнение функции и решим его относительно $x$:
$2,5 = 3x - 2$
$3x = 2,5 + 2$
$3x = 4,5$
$x = \frac{4,5}{3}$
$x = 1,5$
Ответ: 1,5.

Подставим значение $y=-5$ в уравнение функции и решим его относительно $x$:
$-5 = 3x - 2$
$3x = -5 + 2$
$3x = -3$
$x = \frac{-3}{3}$
$x = -1$
Ответ: -1.