Страница 105 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как разложить многочлен на множители?

1. Что значит "разложить многочлен на множители"?

2. Каким может быть общий множитель членов многочлена (только числом, одночленом и т. п.)?

1. Что значит "разложить многочлен на множители"?

Разложить многочлен на множители — это значит представить его в виде произведения двух или нескольких сомножителей (одночленов или многочленов). Это тождественное преобразование, обратное операции умножения. В результате разложения получается выражение, значение которого равно значению исходного многочлена при любых значениях переменных.

Например, умножая одночлен $2x$ на многочлен $(x+3y)$, мы получаем $2x(x+3y) = 2x^2 + 6xy$.
Соответственно, разложить многочлен $2x^2 + 6xy$ на множители — значит выполнить обратное действие и представить его в виде произведения $2x(x+3y)$.

Основной способ разложения на множители — вынесение общего множителя за скобки. Алгоритм этого метода:
1. Найти наибольший общий делитель (НОД) для всех числовых коэффициентов членов многочлена.
2. Найти общие переменные, входящие в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший показатель степени.
3. Произведение НОД коэффициентов и общих переменных в наименьших степенях и будет общим множителем, который выносится за скобки.
4. В скобках останется результат деления каждого члена исходного многочлена на общий множитель.

Пример: Разложим на множители многочлен $15x^3y^2 - 25xy^4$.
- НОД(15, 25) = 5.
- Общие переменные: $x$ (наименьшая степень 1) и $y$ (наименьшая степень 2).
- Общий множитель: $5xy^2$.
- Выносим его за скобки: $15x^3y^2 - 25xy^4 = 5xy^2(3x^2 - 5y^2)$.

Ответ: Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения более простых сомножителей (чисел, одночленов, многочленов).

2. Каким может быть общий множитель членов многочлена (только числом, одночленом и т. п.)?

Общий множитель членов многочлена — это наибольшее выражение (число, одночлен или многочлен), на которое делится каждый член исходного многочлена без остатка. В зависимости от структуры многочлена, общий множитель может быть:

1. Числом. Это происходит, когда все числовые коэффициенты членов многочлена имеют общий делитель, больший 1, но общих переменных во всех членах нет.
Пример: В многочлене $9a - 18b + 27$ коэффициенты 9, -18, 27 делятся на 9. Общий множитель — число 9.
$9a - 18b + 27 = 9(a - 2b + 3)$.

2. Одночленом. Это самый распространенный случай. Общий множитель является произведением наибольшего общего делителя коэффициентов и общих переменных, взятых с наименьшим показателем степени.
Пример: В многочлене $14x^4y^2 - 21x^2y^3$ НОД(14, 21) = 7. Общая переменная $x$ в наименьшей степени — $x^2$. Общая переменная $y$ в наименьшей степени — $y^2$. Общий множитель — одночлен $7x^2y^2$.
$14x^4y^2 - 21x^2y^3 = 7x^2y^2(2x^2 - 3y)$.

3. Многочленом. Иногда общим множителем для нескольких групп слагаемых является не одночлен, а целый многочлен (чаще всего двучлен или трехчлен). Это основа метода группировки.
Пример: В выражении $x(y-5) + z(y-5)$ оба слагаемых $x(y-5)$ и $z(y-5)$ содержат общий множитель — многочлен $(y-5)$.
$x(y-5) + z(y-5) = (y-5)(x+z)$.

Ответ: Общий множитель членов многочлена может быть числом, одночленом или многочленом.