Номер 15.2, страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15.2. 1) $3ab + 9ac + 27ad$; 2) $4xy + 8xz - 16x$;

3) $0,2mn - 0,8mk + 1,6m$; 4) $9tk - 18tx + 27t$;

5) $0,75at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$; 6) $-\frac{2}{3}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d$.

1) Для разложения на множители выражения $3ab + 9ac + 27ad$ необходимо найти общий множитель для всех его членов.
Коэффициенты 3, 9, 27 имеют наибольший общий делитель (НОД) равный 3.
Каждый член выражения содержит переменную $a$.
Следовательно, общий множитель для всего выражения — это $3a$.
Вынесем $3a$ за скобки, разделив каждый член исходного многочлена на $3a$:
$3ab + 9ac + 27ad = 3a \cdot (\frac{3ab}{3a}) + 3a \cdot (\frac{9ac}{3a}) + 3a \cdot (\frac{27ad}{3a}) = 3a(b + 3c + 9d)$.
Ответ: $3a(b + 3c + 9d)$.

2) В выражении $4xy + 8xz - 16x$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 4, 8, -16 равен 4.
Общая переменная для всех членов — $x$.
Таким образом, общий множитель равен $4x$.
Вынесем $4x$ за скобки:
$4xy + 8xz - 16x = 4x \cdot (\frac{4xy}{4x}) + 4x \cdot (\frac{8xz}{4x}) - 4x \cdot (\frac{16x}{4x}) = 4x(y + 2z - 4)$.
Ответ: $4x(y + 2z - 4)$.

3) Рассмотрим выражение $0,2mn - 0,8mk + 1,6m$.
Общий множитель для десятичных коэффициентов 0,2, -0,8, 1,6 равен 0,2.
Общая переменная для всех членов — $m$.
Значит, общий множитель — $0,2m$.
Вынесем его за скобки:
$0,2mn - 0,8mk + 1,6m = 0,2m(\frac{0,2mn}{0,2m} - \frac{0,8mk}{0,2m} + \frac{1,6m}{0,2m}) = 0,2m(n - 4k + 8)$.
Проверка: $0,2m \cdot n = 0,2mn$; $0,2m \cdot (-4k) = -0,8mk$; $0,2m \cdot 8 = 1,6m$.
Ответ: $0,2m(n - 4k + 8)$.

4) В выражении $9tk - 18tx + 27t$ найдем общий множитель.
НОД для коэффициентов 9, -18, 27 равен 9.
Общая переменная для всех членов — $t$.
Общий множитель равен $9t$.
Вынесем $9t$ за скобки:
$9tk - 18tx + 27t = 9t(\frac{9tk}{9t} - \frac{18tx}{9t} + \frac{27t}{9t}) = 9t(k - 2x + 3)$.
Проверка: $9t \cdot k = 9tk$; $9t \cdot (-2x) = -18tx$; $9t \cdot 3 = 27t$.
Ответ: $9t(k - 2x + 3)$.

5) Рассмотрим выражение $0,75at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$.
Для удобства представим все коэффициенты в виде обыкновенных дробей. $0,75 = \frac{3}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{3}{4}at + \frac{3}{4}ax - \frac{9}{16}a$.
Найдем общий множитель. Общая переменная — $a$. Для нахождения общего множителя коэффициентов $\frac{3}{4}$, $\frac{3}{4}$ и $-\frac{9}{16}$ найдем наибольший общий делитель этих дробей. НОД числителей (3, 3, 9) равен 3. Наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей (4, 4, 16) равно 16. Тогда общий числовой множитель равен $\frac{НОД(3,3,9)}{НОК(4,4,16)} = \frac{3}{16}$.
Общий множитель всего выражения: $\frac{3}{16}a$.
Вынесем его за скобки:
$\frac{3}{16}a \cdot (\frac{\frac{3}{4}at}{\frac{3}{16}a} + \frac{\frac{3}{4}ax}{\frac{3}{16}a} - \frac{\frac{9}{16}a}{\frac{3}{16}a}) = \frac{3}{16}a (\frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3}t + \frac{3}{4} \cdot \frac{16}{3}x - \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{3}) = \frac{3}{16}a(4t + 4x - 3)$.
Ответ: $\frac{3}{16}a(4t + 4x - 3)$.

6) В выражении $-\frac{2}{3}dx + \frac{4}{9}dy - \frac{8}{9}d$ найдем общий множитель.
Общая переменная — $d$.
Найдем общий множитель для коэффициентов $-\frac{2}{3}$, $\frac{4}{9}$ и $-\frac{8}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 9: $-\frac{6}{9}$, $\frac{4}{9}$, $-\frac{8}{9}$.
НОД для модулей числителей (6, 4, 8) равен 2. Общий знаменатель 9. Таким образом, общий числовой множитель $\frac{2}{9}$. Удобно вынести за скобку $-\frac{2}{9}$, чтобы первый член в скобках был положительным.
Общий множитель всего выражения: $-\frac{2}{9}d$.
Вынесем его за скобки:
$-\frac{2}{9}d \cdot (\frac{-\frac{2}{3}dx}{-\frac{2}{9}d} + \frac{\frac{4}{9}dy}{-\frac{2}{9}d} - \frac{\frac{8}{9}d}{-\frac{2}{9}d}) = -\frac{2}{9}d (\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{2}x - \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{2}y + \frac{8}{9} \cdot \frac{9}{2}) = -\frac{2}{9}d(3x - 2y + 4)$.
Ответ: $-\frac{2}{9}d(3x - 2y + 4)$.