Страница 95 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.12. Докажите, что не зависит от значений переменных значение выражения:

1)

$ (50 - 120x + 76y) + (88x - 74y) - (2y - 32x); $

2)

$ (8,7a - 5,1b + 13) - (2,9a - 4,2b) + (0,9b - 5,8a). $

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, его необходимо упростить. Раскроем скобки в выражении $(50 - 120x + 76y) + (88x - 74y) - (2y - 32x)$. При раскрытии скобок, перед которыми стоит знак «+», знаки слагаемых сохраняются, а перед которыми стоит знак «−», знаки слагаемых внутри меняются на противоположные.
$50 - 120x + 76y + 88x - 74y - 2y + 32x$
Сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $x$, члены с переменной $y$, и свободные члены.
$(-120x + 88x + 32x) + (76y - 74y - 2y) + 50$
Выполним действия с коэффициентами при переменных:
Для $x$: $-120 + 88 + 32 = -120 + 120 = 0$.
Для $y$: $76 - 74 - 2 = 2 - 2 = 0$.
В результате все слагаемые с переменными взаимно уничтожаются, и остается только постоянный член:
$0 \cdot x + 0 \cdot y + 50 = 50$
Значение выражения равно 50, то есть является постоянным числом и не зависит от значений переменных $x$ и $y$, что и требовалось доказать.
Ответ: 50

2) Аналогично, упростим выражение $(8,7a - 5,1b + 13) - (2,9a - 4,2b) + (0,9b - 5,8a)$. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке, так как перед ней стоит минус.
$8,7a - 5,1b + 13 - 2,9a + 4,2b + 0,9b - 5,8a$
Сгруппируем подобные слагаемые: члены с переменной $a$, члены с переменной $b$, и свободные члены.
$(8,7a - 2,9a - 5,8a) + (-5,1b + 4,2b + 0,9b) + 13$
Выполним действия с коэффициентами при переменных:
Для $a$: $8,7 - 2,9 - 5,8 = 8,7 - (2,9 + 5,8) = 8,7 - 8,7 = 0$.
Для $b$: $-5,1 + 4,2 + 0,9 = -5,1 + (4,2 + 0,9) = -5,1 + 5,1 = 0$.
Все слагаемые с переменными взаимно уничтожаются, и в результате остается только постоянный член:
$0 \cdot a + 0 \cdot b + 13 = 13$
Значение выражения равно 13, является постоянным числом и не зависит от значений переменных $a$ и $b$, что и требовалось доказать.
Ответ: 13

12.13. Докажите тождество:

1) $(11a + 12b) - (20a - 34b) + (10a - 45b) = a + b;$

2) $(22.4x + 31.3y) + (4.9y - 30x) - (35.2y - 6.6x) = y - x.$

1) Для доказательства тождества $(11a + 12b) - (20a - 34b) + (10a - 45b) = a + b$ необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой.
Сначала раскроем скобки. Важно помнить, что если перед скобкой стоит знак «минус», то знаки всех слагаемых внутри скобки меняются на противоположные.
$(11a + 12b) - (20a - 34b) + (10a - 45b) = 11a + 12b - 20a + 34b + 10a - 45b$.
Теперь сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $a$ и члены с переменной $b$) и выполним действия с их коэффициентами.
$(11a - 20a + 10a) + (12b + 34b - 45b) = (11 - 20 + 10)a + (12 + 34 - 45)b = (21 - 20)a + (46 - 45)b = 1a + 1b = a + b$.
В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна $a + b$, что полностью совпадает с его правой частью.
$a + b = a + b$.
Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $(22,4x + 31,3y) + (4,9y - 30x) - (35,2y - 6,6x) = y - x$ также упростим его левую часть.
Раскроем скобки, учитывая знаки, стоящие перед ними.
$(22,4x + 31,3y) + (4,9y - 30x) - (35,2y - 6,6x) = 22,4x + 31,3y + 4,9y - 30x - 35,2y + 6,6x$.
Сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$) и произведем вычисления.
$(22,4x - 30x + 6,6x) + (31,3y + 4,9y - 35,2y) = (22,4 + 6,6 - 30)x + (31,3 + 4,9 - 35,2)y$.
Вычислим значения в скобках для коэффициентов:
Для $x$: $22,4 + 6,6 - 30 = 29 - 30 = -1$.
Для $y$: $31,3 + 4,9 - 35,2 = 36,2 - 35,2 = 1$.
В результате получаем: $-1x + 1y$, что можно записать как $y - x$.
Левая часть после упрощения стала равна $y - x$, что совпадает с правой частью исходного равенства.
$y - x = y - x$.
Таким образом, тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

Упростите выражения (12.14–12.16):

12.14. 1) $(a^3 - a^2 + 6) - (4a^3 + 8a^2 - 11);$

2) $(11x^4 + 21x^3 - 43) + (60 - 19x^3 - 7x^4);$

3) $(30b^5 - 15b + 16) - (17 + 17b + 44b^5);$

4) $(-73 + 17x + 19x^3) + (-18x^3 - 39x + 50).$

1) Чтобы упростить выражение $(a^3 - a^2 + 6) - (4a^3 + 8a^2 - 11)$, нужно раскрыть скобки. Поскольку перед вторыми скобками стоит знак минус, знаки всех членов внутри них меняются на противоположные:

$a^3 - a^2 + 6 - 4a^3 - 8a^2 + 11$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(a^3 - 4a^3) + (-a^2 - 8a^2) + (6 + 11) = -3a^3 - 9a^2 + 17$

Ответ: $-3a^3 - 9a^2 + 17$

2) Упростим выражение $(11x^4 + 21x^3 - 43) + (60 - 19x^3 - 7x^4)$. В этом случае мы складываем многочлены, поэтому при раскрытии скобок знаки членов не меняются:

$11x^4 + 21x^3 - 43 + 60 - 19x^3 - 7x^4$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(11x^4 - 7x^4) + (21x^3 - 19x^3) + (-43 + 60) = 4x^4 + 2x^3 + 17$

Ответ: $4x^4 + 2x^3 + 17$

3) Упростим выражение $(30b^5 - 15b + 16) - (17 + 17b + 44b^5)$. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому меняем знаки всех членов внутри них на противоположные:

$30b^5 - 15b + 16 - 17 - 17b - 44b^5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(30b^5 - 44b^5) + (-15b - 17b) + (16 - 17) = -14b^5 - 32b - 1$

Ответ: $-14b^5 - 32b - 1$

4) Упростим выражение $(-73 + 17x + 19x^3) + (-18x^3 - 39x + 50)$. Это сложение многочленов, поэтому знаки при раскрытии скобок сохраняются:

$-73 + 17x + 19x^3 - 18x^3 - 39x + 50$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(19x^3 - 18x^3) + (17x - 39x) + (-73 + 50) = x^3 - 22x - 23$

Ответ: $x^3 - 22x - 23$

12.15.

1) $(5a^2 - 4x + 25) + (-31 + 9a^2 - 3x);$

2) $(17y + 8b^2 - 11) - (70 - 9b^2 + 18y);$

3) $(2.3c - 9.1z^3 - 4) - (10z^3 - 3c + 5.9);$

4) $(0.8t^2 - 20m + 5) - (41 - 3m - 2.4t^2).$

1) Чтобы сложить многочлены $(5a^2 - 4x + 25)$ и $(-31 + 9a^2 - 3x)$, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед второй скобкой стоит знак плюс, знаки слагаемых в ней не меняются.

$(5a^2 - 4x + 25) + (-31 + 9a^2 - 3x) = 5a^2 - 4x + 25 - 31 + 9a^2 - 3x$

Сгруппируем подобные слагаемые (члены с одинаковой буквенной частью):

$(5a^2 + 9a^2) + (-4x - 3x) + (25 - 31)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$14a^2 - 7x - 6$

Ответ: $14a^2 - 7x - 6$.

2) Чтобы вычесть многочлен $(70 - 9b^2 + 18y)$ из многочлена $(17y + 8b^2 - 11)$, нужно раскрыть скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, все знаки слагаемых в ней меняются на противоположные.

$(17y + 8b^2 - 11) - (70 - 9b^2 + 18y) = 17y + 8b^2 - 11 - 70 + 9b^2 - 18y$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(8b^2 + 9b^2) + (17y - 18y) + (-11 - 70)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$17b^2 - y - 81$

Ответ: $17b^2 - y - 81$.

3) Чтобы вычесть многочлен $(10z^3 - 3c + 5,9)$ из многочлена $(2,3c - 9,1z^3 - 4)$, нужно раскрыть скобки. Перед второй скобкой стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$(2,3c - 9,1z^3 - 4) - (10z^3 - 3c + 5,9) = 2,3c - 9,1z^3 - 4 - 10z^3 + 3c - 5,9$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(-9,1z^3 - 10z^3) + (2,3c + 3c) + (-4 - 5,9)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$-19,1z^3 + 5,3c - 9,9$

Ответ: $-19,1z^3 + 5,3c - 9,9$.

4) Чтобы вычесть многочлен $(41 - 3m - 2,4t^2)$ из многочлена $(0,8t^2 - 20m + 5)$, нужно раскрыть скобки, изменив знаки слагаемых во втором многочлене на противоположные.

$(0,8t^2 - 20m + 5) - (41 - 3m - 2,4t^2) = 0,8t^2 - 20m + 5 - 41 + 3m + 2,4t^2$

Сгруппируем подобные слагаемые:

$(0,8t^2 + 2,4t^2) + (-20m + 3m) + (5 - 41)$

Выполним сложение и вычитание в каждой группе:

$3,2t^2 - 17m - 36$

Ответ: $3,2t^2 - 17m - 36$.

12.16.

1) $(xy + 6a) + (6a - z) - (8z + 10xy);$

2) $(4b - 3cd) - (11b + 20k) + (23k - 19cd);$

3) $(2t - mn) + (8nm - 9k) - (-10k + 15z);$

4) $(1.8a - bc) + (7.7bc - d) - (10.1d - a).$

1) Для того чтобы упростить выражение $(xy + 6a) + (6a - z) - (8z + 10xy)$, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.

Раскрываем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых в скобках не меняются. Если стоит знак «−», знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$(xy + 6a) + (6a - z) - (8z + 10xy) = xy + 6a + 6a - z - 8z - 10xy$.

Теперь сгруппируем подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые с одинаковой буквенной частью.

$(xy - 10xy) + (6a + 6a) + (-z - 8z)$.

Выполним действия с коэффициентами подобных слагаемых:

$1xy - 10xy = -9xy$

$6a + 6a = 12a$

$-z - 8z = -1z - 8z = -9z$

Результат: $-9xy + 12a - 9z$.

Ответ: $-9xy + 12a - 9z$.

2) Упростим выражение $(4b - 3cd) - (11b + 20k) + (23k - 19cd)$.

Раскрываем скобки, меняя знаки во второй скобке, так как перед ней стоит знак «−».

$(4b - 3cd) - (11b + 20k) + (23k - 19cd) = 4b - 3cd - 11b - 20k + 23k - 19cd$.

Группируем подобные слагаемые:

$(4b - 11b) + (-3cd - 19cd) + (-20k + 23k)$.

Приводим подобные слагаемые:

$4b - 11b = -7b$

$-3cd - 19cd = -22cd$

$-20k + 23k = 3k$

Результат: $-7b - 22cd + 3k$.

Ответ: $-7b - 22cd + 3k$.

3) Упростим выражение $(2t - mn) + (8nm - 9k) - (-10k + 15z)$.

Раскрываем скобки. Обратите внимание, что $mn$ и $nm$ — это одно и то же произведение. В последней скобке меняем знаки на противоположные.

$(2t - mn) + (8nm - 9k) - (-10k + 15z) = 2t - mn + 8mn - 9k + 10k - 15z$.

Группируем подобные слагаемые:

$2t + (-mn + 8mn) + (-9k + 10k) - 15z$.

Приводим подобные слагаемые:

$-mn + 8mn = 7mn$

$-9k + 10k = k$

Результат: $2t + 7mn + k - 15z$.

Ответ: $2t + 7mn + k - 15z$.

4) Упростим выражение $(1,8a - bc) + (7,7bc - d) - (10,1d - a)$.

Раскрываем скобки, меняя знаки в последней скобке.

$(1.8a - bc) + (7.7bc - d) - (10.1d - a) = 1.8a - bc + 7.7bc - d - 10.1d + a$.

Группируем подобные слагаемые:

$(1.8a + a) + (-bc + 7.7bc) + (-d - 10.1d)$.

Приводим подобные слагаемые:

$1.8a + 1a = 2.8a$

$-1bc + 7.7bc = 6.7bc$

$-1d - 10.1d = -11.1d$

Результат: $2.8a + 6.7bc - 11.1d$.

Ответ: $2.8a + 6.7bc - 11.1d$.

12.17. Выполните действия с многочленами А, В и С. Полученные многочлены запишите в таблицу 12.3, если $A = 1,8a^2b^3 - 25a^3b^3$; $B = 20a^3b^2 - 0,7a^2b^3$ и $C = 1,9a^2b^3 + 23a^3b^2$.

Таблица 12.3

$A + B + C$

$A - B + C$

$A - B - C$

$C - A - B$

A + B + C
Для выполнения этого действия необходимо сложить три многочлена. Подставим значения A, B и C в выражение:
$A + B + C = (1,8a^2b^3 - 25a^3b^3) + (20a^3b^2 - 0,7a^2b^3) + (1,9a^2b^3 + 23a^3b^2)$
Раскроем скобки. Так как все многочлены складываются, знаки их членов не меняются:
$1,8a^2b^3 - 25a^3b^3 + 20a^3b^2 - 0,7a^2b^3 + 1,9a^2b^3 + 23a^3b^2$
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются слагаемые с одинаковой буквенной частью. В данном случае это $a^2b^3$, $a^3b^3$ и $a^3b^2$.
$(1,8a^2b^3 - 0,7a^2b^3 + 1,9a^2b^3) + (-25a^3b^3) + (20a^3b^2 + 23a^3b^2)$
Выполним действия с коэффициентами:
$(1,8 - 0,7 + 1,9)a^2b^3 - 25a^3b^3 + (20 + 23)a^3b^2$
$3a^2b^3 - 25a^3b^3 + 43a^3b^2$
Запишем результат в стандартном виде многочлена, упорядочив члены по убыванию степеней, например, переменной $a$:
$43a^3b^2 - 25a^3b^3 + 3a^2b^3$
Ответ: $43a^3b^2 - 25a^3b^3 + 3a^2b^3$

A - B + C
Подставим значения многочленов в выражение:
$A - B + C = (1,8a^2b^3 - 25a^3b^3) - (20a^3b^2 - 0,7a^2b^3) + (1,9a^2b^3 + 23a^3b^2)$
Раскроем скобки. При вычитании многочлена B знаки его членов меняются на противоположные:
$1,8a^2b^3 - 25a^3b^3 - 20a^3b^2 + 0,7a^2b^3 + 1,9a^2b^3 + 23a^3b^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,8a^2b^3 + 0,7a^2b^3 + 1,9a^2b^3) + (-25a^3b^3) + (-20a^3b^2 + 23a^3b^2)$
Выполним действия с коэффициентами:
$(1,8 + 0,7 + 1,9)a^2b^3 - 25a^3b^3 + (-20 + 23)a^3b^2$
$4,4a^2b^3 - 25a^3b^3 + 3a^3b^2$
Запишем результат в стандартном виде:
$3a^3b^2 - 25a^3b^3 + 4,4a^2b^3$
Ответ: $3a^3b^2 - 25a^3b^3 + 4,4a^2b^3$

A - B - C
Подставим значения многочленов в выражение:
$A - B - C = (1,8a^2b^3 - 25a^3b^3) - (20a^3b^2 - 0,7a^2b^3) - (1,9a^2b^3 + 23a^3b^2)$
Раскроем скобки. При вычитании многочленов B и C знаки их членов меняются на противоположные:
$1,8a^2b^3 - 25a^3b^3 - 20a^3b^2 + 0,7a^2b^3 - 1,9a^2b^3 - 23a^3b^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,8a^2b^3 + 0,7a^2b^3 - 1,9a^2b^3) + (-25a^3b^3) + (-20a^3b^2 - 23a^3b^2)$
Выполним действия с коэффициентами:
$(1,8 + 0,7 - 1,9)a^2b^3 - 25a^3b^3 + (-20 - 23)a^3b^2$
$0,6a^2b^3 - 25a^3b^3 - 43a^3b^2$
Запишем результат в стандартном виде:
$-43a^3b^2 - 25a^3b^3 + 0,6a^2b^3$
Ответ: $-43a^3b^2 - 25a^3b^3 + 0,6a^2b^3$

C - A - B
Подставим значения многочленов в выражение:
$C - A - B = (1,9a^2b^3 + 23a^3b^2) - (1,8a^2b^3 - 25a^3b^3) - (20a^3b^2 - 0,7a^2b^3)$
Раскроем скобки. При вычитании многочленов A и B знаки их членов меняются на противоположные:
$1,9a^2b^3 + 23a^3b^2 - 1,8a^2b^3 + 25a^3b^3 - 20a^3b^2 + 0,7a^2b^3$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(1,9a^2b^3 - 1,8a^2b^3 + 0,7a^2b^3) + (25a^3b^3) + (23a^3b^2 - 20a^3b^2)$
Выполним действия с коэффициентами:
$(1,9 - 1,8 + 0,7)a^2b^3 + 25a^3b^3 + (23 - 20)a^3b^2$
$0,8a^2b^3 + 25a^3b^3 + 3a^3b^2$
Запишем результат в стандартном виде:
$3a^3b^2 + 25a^3b^3 + 0,8a^2b^3$
Ответ: $3a^3b^2 + 25a^3b^3 + 0,8a^2b^3$

12.18. Используя данные из упражнения 12.17, найдите:

1) $B - A + C$;

2) $C - A + B$;

3) $B - A - C$.

Для решения этой задачи необходимо использовать данные из упражнения 12.17, которые в условии не приведены. Обычно в таких заданиях A, B и C являются многочленами. Чтобы продемонстрировать решение, предположим, что в упражнении 12.17 были даны следующие многочлены:

$A = 2x^2 + 3xy - y^2$

$B = -x^2 - xy + 2y^2$

$C = x^2 - xy + y^2$

Теперь выполним требуемые действия с этими многочленами.

1) B − A + C;

Подставим многочлены A, B и C в данное выражение:

$B - A + C = (-x^2 - xy + 2y^2) - (2x^2 + 3xy - y^2) + (x^2 - xy + y^2)$

Раскроем скобки. Перед первыми скобками (для многочлена B) знака нет, поэтому их можно просто убрать. Перед вторыми скобками (для A) стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри них меняются на противоположные. Перед третьими скобками (для C) стоит знак плюс, поэтому знаки слагаемых не меняются.

$= -x^2 - xy + 2y^2 - 2x^2 - 3xy + y^2 + x^2 - xy + y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (-x^2 - 2x^2 + x^2) + (-xy - 3xy - xy) + (2y^2 + y^2 + y^2)$

Выполним вычисления для коэффициентов при каждой группе подобных слагаемых:

$= (-1 - 2 + 1)x^2 + (-1 - 3 - 1)xy + (2 + 1 + 1)y^2$

$= -2x^2 - 5xy + 4y^2$

Ответ: $-2x^2 - 5xy + 4y^2$.

2) C − A + B;

Это выражение отличается от предыдущего только порядком слагаемых B и C. Согласно переместительному свойству сложения ($B + C = C + B$), результат должен быть таким же. Проверим это путем прямого вычисления.

Подставим многочлены в выражение:

$C - A + B = (x^2 - xy + y^2) - (2x^2 + 3xy - y^2) + (-x^2 - xy + 2y^2)$

Раскроем скобки:

$= x^2 - xy + y^2 - 2x^2 - 3xy + y^2 - x^2 - xy + 2y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (x^2 - 2x^2 - x^2) + (-xy - 3xy - xy) + (y^2 + y^2 + 2y^2)$

Выполним вычисления:

$= (1 - 2 - 1)x^2 + (-1 - 3 - 1)xy + (1 + 1 + 2)y^2$

$= -2x^2 - 5xy + 4y^2$

Результат совпал с результатом первого пункта.

Ответ: $-2x^2 - 5xy + 4y^2$.

3) B − A − C.

Подставим многочлены в выражение:

$B - A - C = (-x^2 - xy + 2y^2) - (2x^2 + 3xy - y^2) - (x^2 - xy + y^2)$

Раскроем скобки. Перед вторыми и третьими скобками стоит знак минус, поэтому знаки всех слагаемых внутри этих скобок меняются на противоположные.

$= -x^2 - xy + 2y^2 - 2x^2 - 3xy + y^2 - x^2 + xy - y^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$= (-x^2 - 2x^2 - x^2) + (-xy - 3xy + xy) + (2y^2 + y^2 - y^2)$

Выполним вычисления:

$= (-1 - 2 - 1)x^2 + (-1 - 3 + 1)xy + (2 + 1 - 1)y^2$

$= -4x^2 - 3xy + 2y^2$

Ответ: $-4x^2 - 3xy + 2y^2$.

12.19. Верно ли равенство:

1) $(a^2b^2z^4 - 0,3a^4b^3c^2) - (a^2b^3z^4 - 9,3a^4b^3c^2) = 9a^4b^3c^2;$

2) $(7x^3y^2z - 8,1xy^2z^3) + (7,1xy^2z^3 - 7x^3y^2z) = -xy^2z^3?$

1) Чтобы проверить верность равенства $(a^2b^2z^4 - 0,3a^4b^3c^2) - (a^2b^3z^4 - 9,3a^4b^3c^2) = 9a^4b^3c^2$, упростим его левую часть.

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки слагаемых в ней меняются на противоположные:

$(a^2b^2z^4 - 0,3a^4b^3c^2) - (a^2b^3z^4 - 9,3a^4b^3c^2) = a^2b^2z^4 - 0,3a^4b^3c^2 - a^2b^3z^4 + 9,3a^4b^3c^2$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном выражении подобными являются $-0,3a^4b^3c^2$ и $9,3a^4b^3c^2$.

$a^2b^2z^4 - a^2b^3z^4 + (-0,3a^4b^3c^2 + 9,3a^4b^3c^2) = a^2b^2z^4 - a^2b^3z^4 + (-0,3 + 9,3)a^4b^3c^2 = a^2b^2z^4 - a^2b^3z^4 + 9a^4b^3c^2$.

Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:

$a^2b^2z^4 - a^2b^3z^4 + 9a^4b^3c^2 \neq 9a^4b^3c^2$.

Левая часть не равна правой, так как содержит дополнительные слагаемые $a^2b^2z^4$ и $-a^2b^3z^4$, которые не сокращаются. Следовательно, равенство неверно.

Ответ: равенство неверно.

2) Чтобы проверить верность равенства $(7x^3y^2z - 8,1xy^2z^3) + (7,1xy^2z^3 - 7x^3y^2z) = -xy^2z^3$, упростим его левую часть.

Раскроем скобки. Так как между скобками стоит знак плюс, знаки слагаемых во второй скобке не меняются:

$(7x^3y^2z - 8,1xy^2z^3) + (7,1xy^2z^3 - 7x^3y^2z) = 7x^3y^2z - 8,1xy^2z^3 + 7,1xy^2z^3 - 7x^3y^2z$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются пары слагаемых $7x^3y^2z$ и $-7x^3y^2z$, а также $-8,1xy^2z^3$ и $7,1xy^2z^3$.

$(7x^3y^2z - 7x^3y^2z) + (-8,1xy^2z^3 + 7,1xy^2z^3) = (7-7)x^3y^2z + (-8,1+7,1)xy^2z^3 = 0 \cdot x^3y^2z - 1 \cdot xy^2z^3 = -xy^2z^3$.

Сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства:

$-xy^2z^3 = -xy^2z^3$.

Левая часть тождественно равна правой. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

12.20. При каких значениях переменных значение алгебраической суммы равно 1:

1) $(47.5x^4y - 28.9xy^4) - (19.6x^4y - 28.9xy^4) + (2.7x - 27.9x^4y);$

2) $(8\frac{3}{16} a^2b^2 - 18\frac{8}{15} a^2b^2) + (20.6a^2b^2 - 8\frac{3}{16} a^2b^2) - (2\frac{1}{15} a^2b^2 - 3.1a)?$

1) Чтобы найти значения переменных, при которых значение алгебраической суммы равно 1, необходимо приравнять данное выражение к 1 и решить полученное уравнение.
Исходное выражение: $(47,5x^4y - 28,9xy^4) - (19,6x^4y - 28,9xy^4) + (2,7x - 27,9x^4y)$.
Составим уравнение:
$(47,5x^4y - 28,9xy^4) - (19,6x^4y - 28,9xy^4) + (2,7x - 27,9x^4y) = 1$.
Раскроем скобки. Обращаем внимание, что знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.
$47,5x^4y - 28,9xy^4 - 19,6x^4y + 28,9xy^4 + 2,7x - 27,9x^4y = 1$.
Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(47,5x^4y - 19,6x^4y - 27,9x^4y) + (-28,9xy^4 + 28,9xy^4) + 2,7x = 1$.
Выполним действия с коэффициентами:
Для $x^4y$: $47,5 - 19,6 - 27,9 = 27,9 - 27,9 = 0$.
Для $xy^4$: $-28,9 + 28,9 = 0$.
После упрощения все слагаемые, содержащие переменную $y$, взаимно уничтожаются. Уравнение принимает вид:
$0 \cdot x^4y + 0 \cdot xy^4 + 2,7x = 1$
$2,7x = 1$.
Из этого уравнения находим значение $x$:
$x = \frac{1}{2,7} = \frac{10}{27}$.
Поскольку значение выражения не зависит от переменной $y$, она может принимать любое значение.
Ответ: $x = \frac{10}{27}$, $y$ — любое число.

2) Аналогично первому пункту, приравняем данное выражение к 1 и упростим его.
Исходное выражение: $(8\frac{3}{16}a^2b^2 - 18\frac{8}{15}a^2b^2) + (20,6a^2b^2 - 8\frac{3}{16}a^2b^2) - (2\frac{1}{15}a^2b^2 - 3,1a)$.
Составим уравнение:
$(8\frac{3}{16}a^2b^2 - 18\frac{8}{15}a^2b^2) + (20,6a^2b^2 - 8\frac{3}{16}a^2b^2) - (2\frac{1}{15}a^2b^2 - 3,1a) = 1$.
Раскроем скобки:
$8\frac{3}{16}a^2b^2 - 18\frac{8}{15}a^2b^2 + 20,6a^2b^2 - 8\frac{3}{16}a^2b^2 - 2\frac{1}{15}a^2b^2 + 3,1a = 1$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Удобно сначала сгруппировать слагаемые с одинаковыми знаменателями и противоположными знаками.
$(8\frac{3}{16}a^2b^2 - 8\frac{3}{16}a^2b^2) + (-18\frac{8}{15}a^2b^2 - 2\frac{1}{15}a^2b^2) + 20,6a^2b^2 + 3,1a = 1$.
Вычислим коэффициенты:
$8\frac{3}{16} - 8\frac{3}{16} = 0$.
$-18\frac{8}{15} - 2\frac{1}{15} = -(18 + 2 + \frac{8}{15} + \frac{1}{15}) = -(20 + \frac{9}{15}) = -20\frac{9}{15}$.
Сократим дробь $\frac{9}{15}$ на 3, получим $\frac{3}{5}$. Тогда коэффициент равен $-20\frac{3}{5}$.
Переведем смешанное число в десятичную дробь: $-20\frac{3}{5} = -20,6$.
Сумма коэффициентов при $a^2b^2$ равна: $0 - 20,6 + 20,6 = 0$.
После упрощения уравнение принимает вид:
$0 \cdot a^2b^2 + 3,1a = 1$
$3,1a = 1$.
Находим значение $a$:
$a = \frac{1}{3,1} = \frac{10}{31}$.
Так как переменная $b$ сократилась, значение выражения от нее не зависит, и $b$ может быть любым числом.
Ответ: $a = \frac{10}{31}$, $b$ — любое число.