Страница 91 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.16. Докажите, что равны значения многочленов:

1)

$11\frac{1}{9}ab^2 - 18\frac{2}{3}ab^2 + 5\frac{1}{6}ab^2 + \frac{8}{9}ab^2 + 26,6$ и $47,8a^2b - 6,3a^2b - 40,5a^2b - \frac{6}{7}a^2b$

при $a = 0,7, b = 5$;

2)

$2,2c^3d^2 - 2\frac{1}{3}c^3d^2 + \frac{7}{15}c^3d^2$ и $2\frac{2}{9}c^4d - 2,5c^4d + \frac{1}{18}c^4d$

при $c = 3, d = -2$.

1)

Чтобы доказать, что значения многочленов равны при заданных $a=0,7$ и $b=5$, мы сначала упростим каждый многочлен, а затем подставим в них значения переменных.

Упростим первый многочлен: $11\frac{1}{9}ab^2 - 18\frac{2}{3}ab^2 + 5\frac{1}{6}ab^2 + \frac{8}{9}ab^2 + 26,6$.

Все слагаемые, кроме последнего, являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(11\frac{1}{9} - 18\frac{2}{3} + 5\frac{1}{6} + \frac{8}{9})ab^2 + 26,6$.

Для вычисления суммы коэффициентов переведем смешанные числа и десятичные дроби в обыкновенные:

$11\frac{1}{9} = \frac{100}{9}$; $18\frac{2}{3} = \frac{56}{3}$; $5\frac{1}{6} = \frac{31}{6}$.

Сумма коэффициентов равна: $\frac{100}{9} - \frac{56}{3} + \frac{31}{6} + \frac{8}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{100 \cdot 2}{18} - \frac{56 \cdot 6}{18} + \frac{31 \cdot 3}{18} + \frac{8 \cdot 2}{18} = \frac{200 - 336 + 93 + 16}{18} = \frac{309 - 336}{18} = \frac{-27}{18} = -\frac{3}{2} = -1,5$.

Таким образом, первый многочлен упрощается до вида: $-1,5ab^2 + 26,6$.

Теперь подставим значения $a = 0,7$ и $b = 5$:

$-1,5 \cdot (0,7) \cdot 5^2 + 26,6 = -1,5 \cdot 0,7 \cdot 25 + 26,6 = -26,25 + 26,6 = 0,35$.

Теперь упростим второй многочлен: $47,8a^2b - 6,3a^2b - 40,5a^2b - \frac{6}{7}a^2b$.

Все слагаемые являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(47,8 - 6,3 - 40,5 - \frac{6}{7})a^2b$.

Вычислим сумму десятичных дробей: $47,8 - 6,3 - 40,5 = 41,5 - 40,5 = 1$.

Теперь вычтем дробь: $1 - \frac{6}{7} = \frac{7}{7} - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$.

Таким образом, второй многочлен упрощается до вида: $\frac{1}{7}a^2b$.

Подставим значения $a = 0,7$ и $b = 5$:

$\frac{1}{7} \cdot (0,7)^2 \cdot 5 = \frac{1}{7} \cdot 0,49 \cdot 5 = 0,07 \cdot 5 = 0,35$.

Значения обоих многочленов равны 0,35. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: значения многочленов равны.

2)

Чтобы доказать, что значения многочленов равны при заданных $c=3$ и $d=-2$, мы сначала упростим каждый многочлен, а затем подставим в них значения переменных.

Упростим первый многочлен: $2,2c^3d^2 - 2\frac{1}{3}c^3d^2 + \frac{7}{15}c^3d^2$.

Все слагаемые являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(2,2 - 2\frac{1}{3} + \frac{7}{15})c^3d^2$.

Для вычисления суммы коэффициентов переведем все числа в обыкновенные дроби:

$2,2 = \frac{22}{10} = \frac{11}{5}$; $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Сумма коэффициентов равна: $\frac{11}{5} - \frac{7}{3} + \frac{7}{15}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 15:

$\frac{11 \cdot 3}{15} - \frac{7 \cdot 5}{15} + \frac{7}{15} = \frac{33 - 35 + 7}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Таким образом, первый многочлен упрощается до вида: $\frac{1}{3}c^3d^2$.

Теперь подставим значения $c = 3$ и $d = -2$:

$\frac{1}{3} \cdot 3^3 \cdot (-2)^2 = \frac{1}{3} \cdot 27 \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$.

Теперь упростим второй многочлен: $2\frac{2}{9}c^4d - 2,5c^4d + \frac{1}{18}c^4d$.

Все слагаемые являются подобными. Сгруппируем их и сложим коэффициенты:

$(2\frac{2}{9} - 2,5 + \frac{1}{18})c^4d$.

Для вычисления суммы коэффициентов переведем все числа в обыкновенные дроби:

$2\frac{2}{9} = \frac{20}{9}$; $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Сумма коэффициентов равна: $\frac{20}{9} - \frac{5}{2} + \frac{1}{18}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{20 \cdot 2}{18} - \frac{5 \cdot 9}{18} + \frac{1}{18} = \frac{40 - 45 + 1}{18} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$.

Таким образом, второй многочлен упрощается до вида: $-\frac{2}{9}c^4d$.

Подставим значения $c = 3$ и $d = -2$:

$-\frac{2}{9} \cdot 3^4 \cdot (-2) = -\frac{2}{9} \cdot 81 \cdot (-2) = -2 \cdot 9 \cdot (-2) = 36$.

Значения обоих многочленов равны 36. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: значения многочленов равны.

11.17. Даны одночлены: $17ya^3$; $-8ya^3$; $3a^2n^3$; $4$; $12xy^5$; $a^2n^3$; $-5xy^5$.

Назовите одночлены, отличающиеся коэффициентами.

Чтобы найти одночлены, которые отличаются только коэффициентами, необходимо найти одночлены с одинаковой буквенной частью. Такие одночлены также называют подобными. Буквенная часть одночлена — это произведение переменных в соответствующих степенях, а коэффициент — это числовой множитель перед буквенной частью.

Рассмотрим данные одночлены: $17ya^3$, $-8ya^3$, $3a^2n^3$, $4$, $12xy^5$, $a^2n^3$, $-5xy^5$.

Сгруппируем их по буквенной части:

1. Первая группа имеет буквенную часть $ya^3$ (или, в стандартном виде, $a^3y$). В эту группу входят два одночлена:
- $17ya^3$, где коэффициент равен $17$.
- $-8ya^3$, где коэффициент равен $-8$.
Поскольку у них одинаковая буквенная часть и разные коэффициенты, они образуют первую искомую пару.

2. Вторая группа имеет буквенную часть $a^2n^3$. В эту группу входят:
- $3a^2n^3$, где коэффициент равен $3$.
- $a^2n^3$, где коэффициент, который обычно не пишется, равен $1$.
Эти одночлены имеют одинаковую буквенную часть и разные коэффициенты, следовательно, они образуют вторую пару.

3. Третья группа имеет буквенную часть $xy^5$. В эту группу входят:
- $12xy^5$, где коэффициент равен $12$.
- $-5xy^5$, где коэффициент равен $-5$.
Эти одночлены также имеют одинаковую буквенную часть при разных коэффициентах и образуют третью пару.

4. Одночлен $4$ является константой и не имеет буквенной части. В данном списке у него нет пары.

Таким образом, мы нашли три группы одночленов, которые отличаются только коэффициентами.

Ответ: Существуют три группы одночленов, отличающихся только коэффициентами:
1) $17ya^3$ и $-8ya^3$;
2) $3a^2n^3$ и $a^2n^3$;
3) $12xy^5$ и $-5xy^5$.

11.18. Запишите многочлен, противоположный многочлену:

1) $x^2 - 3x + 5a,$

2) $y - 2x + 3,$

3) $-y^2 - 3a^3 - 5,$

4) $8a^4 - 3a + 5.$

1) Чтобы найти многочлен, противоположный данному многочлену, необходимо изменить знак каждого его члена на противоположный. Это эквивалентно умножению всего многочлена на $-1$.
Исходный многочлен: $x^2 - 3x + 5a$.
Возьмем его в скобки и поставим перед ними знак «минус»:
$-(x^2 - 3x + 5a)$
Теперь раскроем скобки, меняя знак каждого слагаемого:
$-x^2 - (-3x) - (+5a) = -x^2 + 3x - 5a$
Ответ: $-x^2 + 3x - 5a$.

2) Исходный многочлен: $y - 2x + 3$.
Чтобы найти противоположный многочлен, изменим знак каждого его члена на противоположный:
$-(y - 2x + 3) = -y - (-2x) - (+3) = -y + 2x - 3$.
Ответ: $-y + 2x - 3$.

3) Исходный многочлен: $-y^2 - 3a^3 - 5$.
Противоположный многочлен получается путем изменения знаков всех его членов:
$-(-y^2 - 3a^3 - 5) = -(-y^2) - (-3a^3) - (-5) = y^2 + 3a^3 + 5$.
Ответ: $y^2 + 3a^3 + 5$.

4) Исходный многочлен: $8a^4 - 3a + 5$.
Для получения противоположного многочлена, умножим данный многочлен на $-1$ и раскроем скобки:
$-(8a^4 - 3a + 5) = -8a^4 - (-3a) - (+5) = -8a^4 + 3a - 5$.
Ответ: $-8a^4 + 3a - 5$.