Страница 85 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.9. Найдите степень одночлена:

1) $(\frac{2}{3} ab^2)^3;$ 2) $(\frac{3}{4} a^2b^3)^4;$ 3) $(\frac{4}{3} m^5n^2)^5;$

4) $(\frac{2}{9} m^{10}n^{13})^3;$ 5) $(-0,6a^3b^4)^4;$ 6) $(-1,3x^{10}y^4)^3;$

7) $(0,02m^3n^3)^2;$ 8) $(0,5x^3y^5)^3.$

1) Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Чтобы найти степень заданного одночлена, мы сначала должны возвести его в указанную степень, используя правило возведения в степень произведения и правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Упростим выражение $(\frac{2}{3}ab^2)^3$. Учтем, что $a = a^1$.
$(\frac{2}{3}ab^2)^3 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (a^1)^3 \cdot (b^2)^3 = \frac{8}{27}a^{1 \cdot 3}b^{2 \cdot 3} = \frac{8}{27}a^3b^6$.
Теперь найдем степень полученного одночлена, сложив показатели степеней переменных $a$ и $b$:
$3 + 6 = 9$.
Ответ: 9

2) Упростим выражение $(\frac{3}{4}a^2b^3)^4$.
$(\frac{3}{4}a^2b^3)^4 = (\frac{3}{4})^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^3)^4 = \frac{81}{256}a^{2 \cdot 4}b^{3 \cdot 4} = \frac{81}{256}a^8b^{12}$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$8 + 12 = 20$.
Ответ: 20

3) Упростим выражение $(\frac{4}{3}m^5n^2)^5$.
$(\frac{4}{3}m^5n^2)^5 = (\frac{4}{3})^5 \cdot (m^5)^5 \cdot (n^2)^5 = \frac{1024}{243}m^{5 \cdot 5}n^{2 \cdot 5} = \frac{1024}{243}m^{25}n^{10}$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$25 + 10 = 35$.
Ответ: 35

4) Упростим выражение $(\frac{2}{9}m^{10}n^{13})^3$.
$(\frac{2}{9}m^{10}n^{13})^3 = (\frac{2}{9})^3 \cdot (m^{10})^3 \cdot (n^{13})^3 = \frac{8}{729}m^{10 \cdot 3}n^{13 \cdot 3} = \frac{8}{729}m^{30}n^{39}$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$30 + 39 = 69$.
Ответ: 69

5) Упростим выражение $(-0,6a^3b^4)^4$.
$(-0,6a^3b^4)^4 = (-0,6)^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^4)^4 = 0,1296a^{3 \cdot 4}b^{4 \cdot 4} = 0,1296a^{12}b^{16}$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$12 + 16 = 28$.
Ответ: 28

6) Упростим выражение $(-1,3x^{10}y^4)^3$.
$(-1,3x^{10}y^4)^3 = (-1,3)^3 \cdot (x^{10})^3 \cdot (y^4)^3 = -2,197x^{10 \cdot 3}y^{4 \cdot 3} = -2,197x^{30}y^{12}$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$30 + 12 = 42$.
Ответ: 42

7) Упростим выражение $(0,02m^3n^3)^2$.
$(0,02m^3n^3)^2 = (0,02)^2 \cdot (m^3)^2 \cdot (n^3)^2 = 0,0004m^{3 \cdot 2}n^{3 \cdot 2} = 0,0004m^6n^6$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$6 + 6 = 12$.
Ответ: 12

8) Упростим выражение $(0,5x^3y^5)^3$.
$(0,5x^3y^5)^3 = (0,5)^3 \cdot (x^3)^3 \cdot (y^5)^3 = 0,125x^{3 \cdot 3}y^{5 \cdot 3} = 0,125x^9y^{15}$.
Степень полученного одночлена равна сумме показателей степеней его переменных:
$9 + 15 = 24$.
Ответ: 24

10.10. Выполните умножение одночленов и найдите значение полученного выражения:

1) $\frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{4}{5}b^2$ при $a=2, b=\frac{3}{5}$;

2) $0,4 ab \cdot 8b^2$ при $a=0,5, b=3$;

3) $0,5ab^3 \cdot 16a^2b$ при $a=-0,5, b=-2$;

4) $\frac{5}{18}a^3b^4 \cdot 3\frac{3}{5}a^4b^4$ при $a=-0,2, b=-5$.

1) Сначала выполним умножение одночленов:

$\frac{3}{4}a^2 \cdot \frac{4}{5}b^2 = (\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}) a^2 b^2 = \frac{12}{20} a^2 b^2 = \frac{3}{5} a^2 b^2$

Теперь подставим значения $a = 2$ и $b = \frac{3}{5}$ в полученное выражение:

$\frac{3}{5} \cdot (2)^2 \cdot (\frac{3}{5})^2 = \frac{3}{5} \cdot 4 \cdot \frac{9}{25} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 9}{5 \cdot 25} = \frac{108}{125}$

Ответ: $\frac{108}{125}$

2) Сначала выполним умножение одночленов:

$0,4ab \cdot 8b^2 = (0,4 \cdot 8) a (b \cdot b^2) = 3,2ab^3$

Теперь подставим значения $a = 0,5$ и $b = 3$ в полученное выражение:

$3,2 \cdot 0,5 \cdot 3^3 = 1,6 \cdot 27 = 43,2$

Ответ: $43,2$

3) Сначала выполним умножение одночленов:

$0,5ab^3 \cdot 16a^2b = (0,5 \cdot 16) (a \cdot a^2) (b^3 \cdot b) = 8a^3b^4$

Теперь подставим значения $a = -0,5$ и $b = -2$ в полученное выражение:

$8 \cdot (-0,5)^3 \cdot (-2)^4 = 8 \cdot (-0,125) \cdot 16 = -1 \cdot 16 = -16$

Ответ: $-16$

4) Сначала выполним умножение одночленов. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{5} = \frac{18}{5}$.

$\frac{5}{18}a^3b^4 \cdot \frac{18}{5}a^4b^4 = (\frac{5}{18} \cdot \frac{18}{5}) (a^3 \cdot a^4) (b^4 \cdot b^4) = 1 \cdot a^{3+4}b^{4+4} = a^7b^8$

Теперь подставим значения $a = -0,2$ и $b = -5$ в полученное выражение:

$(-0,2)^7 \cdot (-5)^8 = (-\frac{1}{5})^7 \cdot 5^8 = -\frac{1^7}{5^7} \cdot 5^8 = -\frac{5^8}{5^7} = -5^{8-7} = -5$

Ответ: $-5$

10.11. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{1}{2} a^2b^4x \cdot \frac{3}{4} $ при $ a = 2, b = 1, x = \frac{1}{2} $;

2) $ -4a^2b^2c^2 \cdot 6a^4c^3 $ при $ a = 1, b = \frac{1}{4}, c = 2 $;

3) $ \frac{2}{5} x^3y^2z \cdot 7,5xz^4 $ при $ x = -2, y = -1, z = -0,5 $;

4) $ -25n^2m^2 \cdot 0,16n^5m^7 $ при $ n = -0,1, m = 10 $.

1) Сначала упростим выражение, перемножив одночлены. Для этого сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$ \frac{1}{2}a^2b^4x \cdot \frac{3}{4} = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) a^2b^4x = \frac{3}{8}a^2b^4x $.
Теперь подставим в полученное выражение заданные значения переменных $a = 2$, $b = 1$, $x = \frac{1}{2}$:
$ \frac{3}{8} \cdot (2)^2 \cdot (1)^4 \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} \cdot 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 1}{8 \cdot 2} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} $.
Ответ: $ \frac{3}{4} $.

2) Упростим исходное выражение, выполнив умножение одночленов. Перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$ -4a^2b^2c^2 \cdot 6a^4c^3 = (-4 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a^4) \cdot b^2 \cdot (c^2 \cdot c^3) = -24a^{2+4}b^2c^{2+3} = -24a^6b^2c^5 $.
Теперь подставим значения переменных $a = 1$, $b = \frac{1}{4}$ и $c = 2$:
$ -24 \cdot (1)^6 \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (2)^5 = -24 \cdot 1 \cdot \frac{1}{16} \cdot 32 = -24 \cdot \frac{32}{16} = -24 \cdot 2 = -48 $.
Ответ: $ -48 $.

3) Сначала упростим данное выражение. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $7,5$ в виде обыкновенной дроби: $7,5 = \frac{15}{2}$.
Перемножим одночлены:
$ \frac{2}{5}x^3y^2z \cdot \frac{15}{2}xz^4 = (\frac{2}{5} \cdot \frac{15}{2}) \cdot (x^3 \cdot x) \cdot y^2 \cdot (z \cdot z^4) = 3x^{3+1}y^2z^{1+4} = 3x^4y^2z^5 $.
Подставим в упрощенное выражение значения $x = -2$, $y = -1$ и $z = -0,5 = -\frac{1}{2}$:
$ 3 \cdot (-2)^4 \cdot (-1)^2 \cdot (-0,5)^5 = 3 \cdot 16 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{32}) = \frac{3 \cdot 16}{-32} = -\frac{48}{32} = -\frac{3}{2} = -1,5 $.
Ответ: $ -1,5 $.

4) Упростим выражение, перемножив числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$ -25n^2m^2 \cdot 0,16n^5m^7 = (-25 \cdot 0,16) \cdot (n^2 \cdot n^5) \cdot (m^2 \cdot m^7) $.
Вычислим произведение коэффициентов: $-25 \cdot 0,16 = -4$.
Сложим показатели степеней: $n^{2+5} = n^7$ и $m^{2+7} = m^9$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $ -4n^7m^9 $.
Теперь подставим значения $n = -0,1$ и $m = 10$:
$ -4 \cdot (-0,1)^7 \cdot (10)^9 = -4 \cdot (-(10^{-1})^7) \cdot 10^9 = 4 \cdot 10^{-7} \cdot 10^9 = 4 \cdot 10^{-7+9} = 4 \cdot 10^2 = 4 \cdot 100 = 400 $.
Ответ: $ 400 $.

10.12. Представьте в виде квадрата одночлен:

1) $16a^6$;

2) $100m^8n^4$;

3) $\frac{25}{81} x^6 y^{12}$;

4) $\frac{169}{225} a^{10} b^2$;

5) $3,24m^4p^{14}$;

6) $0,0289 \frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Чтобы представить одночлен в виде квадрата другого одночлена, нужно найти такой одночлен, который при возведении в квадрат даст исходный. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из числового коэффициента и разделить показатели степеней каждой переменной на 2, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) $16a^6$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{16} = 4$.

Делим показатель степени переменной $a$ на 2: $6 \div 2 = 3$.

Получаем одночлен $4a^3$.

Проверка: $(4a^3)^2 = 4^2 \cdot (a^3)^2 = 16a^{3 \cdot 2} = 16a^6$.

Ответ: $(4a^3)^2$.

2) $100m^8n^4$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{100} = 10$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $m$ получаем $8 \div 2 = 4$, для $n$ получаем $4 \div 2 = 2$.

Получаем одночлен $10m^4n^2$.

Проверка: $(10m^4n^2)^2 = 10^2 \cdot (m^4)^2 \cdot (n^2)^2 = 100m^{4 \cdot 2}n^{2 \cdot 2} = 100m^8n^4$.

Ответ: $(10m^4n^2)^2$.

3) $\frac{25}{81}x^6y^{12}$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{25}{81}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{81}} = \frac{5}{9}$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $x$ получаем $6 \div 2 = 3$, для $y$ получаем $12 \div 2 = 6$.

Получаем одночлен $\frac{5}{9}x^3y^6$.

Проверка: $(\frac{5}{9}x^3y^6)^2 = (\frac{5}{9})^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 = \frac{25}{81}x^{3 \cdot 2}y^{6 \cdot 2} = \frac{25}{81}x^6y^{12}$.

Ответ: $(\frac{5}{9}x^3y^6)^2$.

4) $\frac{169}{225}a^{10}b^2$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{169}{225}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{225}} = \frac{13}{15}$.

Делим показатели степеней переменных на 2: для $a$ получаем $10 \div 2 = 5$, для $b$ получаем $2 \div 2 = 1$.

Получаем одночлен $\frac{13}{15}a^5b$.

Проверка: $(\frac{13}{15}a^5b)^2 = (\frac{13}{15})^2 \cdot (a^5)^2 \cdot b^2 = \frac{169}{225}a^{5 \cdot 2}b^2 = \frac{169}{225}a^{10}b^2$.

Ответ: $(\frac{13}{15}a^5b)^2$.

5) $3,24m^4p^{14}$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{3,24} = 1,8$ (так как $18^2 = 324$).

Делим показатели степеней переменных на 2: для $m$ получаем $4 \div 2 = 2$, для $p$ получаем $14 \div 2 = 7$.

Получаем одночлен $1,8m^2p^7$.

Проверка: $(1,8m^2p^7)^2 = (1,8)^2 \cdot (m^2)^2 \cdot (p^7)^2 = 3,24m^{2 \cdot 2}p^{7 \cdot 2} = 3,24m^4p^{14}$.

Ответ: $(1,8m^2p^7)^2$.

6) $0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$

Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{0,0289} = 0,17$ (так как $17^2 = 289$).

Делим показатели степеней переменных на 2: для $x$ в числителе получаем $20 \div 2 = 10$, для $y$ в знаменателе получаем $18 \div 2 = 9$.

Получаем выражение $0,17\frac{x^{10}}{y^9}$.

Проверка: $(0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2 = (0,17)^2 \cdot \frac{(x^{10})^2}{(y^9)^2} = 0,0289\frac{x^{20}}{y^{18}}$.

Ответ: $(0,17\frac{x^{10}}{y^9})^2$.

10.13. Выпишите выражения, которые можно представить в виде квадрата и в виде куба одночлена, содержащие степени с натуральным показателем:

1) $a^{13}b^{30}$;

2) $n^{6}m^{18}k^{9}$;

3) $x^{24}y^{16}z^{20}$;

4) $0,16a^{2}b^{6}$;

5) $216a^{6}b^{6}$;

6) $7,296a^{15}c^{9}$.

Для того чтобы выражение можно было представить одновременно и в виде квадрата, и в виде куба одночлена, оно должно удовлетворять двум условиям:

1. Числовой коэффициент должен быть одновременно точным квадратом и точным кубом некоторого рационального числа. Это равносильно тому, что коэффициент должен быть шестой степенью рационального числа (например, $64 = 8^2 = 4^3 = 2^6$).

2. Показатели степеней всех переменных в выражении должны быть кратны и 2, и 3 одновременно. Это означает, что все показатели степеней должны быть кратны наименьшему общему кратному чисел 2 и 3, то есть 6.

Проверим каждое из данных выражений на соответствие этим условиям.

1) $a^{13}b^{30}$
Коэффициент равен 1, что является шестой степенью ($1^6 = 1$), поэтому условие для коэффициента выполнено. Проверим показатели степеней: 13 и 30. Показатель 13 не делится на 6 (так как не делится ни на 2, ни на 3). Следовательно, выражение не удовлетворяет второму условию.
Ответ: не подходит.

2) $n^6m^{18}k^9$
Коэффициент равен 1, условие для коэффициента выполнено. Проверим показатели степеней: 6, 18 и 9. Показатели 6 и 18 делятся на 6. Однако показатель 9 не делится на 6 (так как 9 не делится на 2). Следовательно, выражение не удовлетворяет второму условию.
Ответ: не подходит.

3) $x^{24}y^{16}z^{20}$
Коэффициент равен 1, условие для коэффициента выполнено. Проверим показатели степеней: 24, 16 и 20. Показатель 24 делится на 6. Однако показатели 16 и 20 не делятся на 6 (так как не делятся на 3). Следовательно, выражение не удовлетворяет второму условию.
Ответ: не подходит.

4) $0,16a^2b^6$
Проверим коэффициент 0,16. $0,16 = 0,4^2$, то есть является квадратом. Однако $0,16$ не является кубом рационального числа, так как $\sqrt[3]{0,16}$ – иррациональное число. Следовательно, выражение не удовлетворяет первому условию.
Ответ: не подходит.

5) $216a^6b^6$
Проверим коэффициент 216. $216 = 6^3$, то есть является кубом. Однако $216$ не является квадратом рационального числа, так как $\sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ – иррациональное число. Следовательно, выражение не удовлетворяет первому условию.
Ответ: не подходит.

6) $7,296a^{15}c^9$
Проверим коэффициент 7,296. Это число не является ни точным квадратом, ни точным кубом рационального числа. Кроме того, показатели степеней 15 и 9 не делятся на 2. Следовательно, выражение не удовлетворяет ни первому, ни второму условию.
Ответ: не подходит.

Таким образом, после анализа всех выражений выясняется, что ни одно из них не может быть представлено одновременно в виде квадрата и в виде куба одночлена.

Ответ: Среди предложенных выражений нет таких, которые можно представить в виде квадрата и в виде куба одночлена.