Страница 79 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Вычислите: $2^{10} \cdot 2^{12} : 2^{21}$;

A. 4;

B. 2;

C. 1;

D. 8.

2. Упростите: $a^{35} \cdot a^{19} : (a^{52} \cdot a^2)$:

A. $a$;

B. $a^4$;

C. 1;

D. $a^2$.

3. Упростите выражение $\frac{x^{10} y^8}{x^9 y^6}$ и найдите его значение при $x = 2$, $y = 3$:

A. 24;

B. 12;

C. 6;

D. 18.

4. Вычислите $0,2 \cdot (-5)^2 - 3^3$:

A. -32;

B. -22;

C. -2;

D. 52.

5. Упростите: $\frac{(m^3)^5 \cdot (n^4)^3}{(m^3)^4 \cdot (n^5)^2}$:

A. $m^{23}n^{22}$;

B. $m^7n^{22}$;

C. $m^3n^2$;

D. $m^7n^2$.

6. Представьте в виде произведения степеней выражение $\frac{x^4}{y^6}$:

A. $x^4y^6$;

B. $x^{-4}y^6$;

C. $x^{-4}y^{-6}$;

D. $x^4y^{-6}$.

7. Упростите: $5^{-3} \cdot 25^2$:

A. 5;

B. $\frac{1}{5}$;

C. 25;

D. $\frac{1}{25}$.

8. Представьте в виде произведения степеней выражение $\frac{a^2}{b^3 c^{-4}}$:

A. $a^2b^3c^{-4}$;

B. $a^2b^{-3}c^4$;

C. $a^{-2}b^{-3}c^{-4}$;

D. $a^{-2}b^3c^4$.

9. Упростите выражение $\frac{5a^9 - 3a^7}{4a^8}$ и найдите его значение при $a = -1$:

A. $\frac{1}{2}$;

B. $-\frac{1}{2}$;

C. 2;

D. -2.

10. Найдите пятую степень числа, если его куб равен $-\frac{1}{8}$:

A. $\frac{1}{32}$;

B. $-0,5$;

C. $-\frac{1}{32}$;

D. -32.

1. Вычислите: $2^{10} \cdot 2^{12} : 2^{21}$
Для решения используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$2^{10} \cdot 2^{12} : 2^{21} = 2^{10+12} : 2^{21} = 2^{22} : 2^{21} = 2^{22-21} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2.

2. Упростите: $a^{35} \cdot a^{19} : (a^{52} \cdot a^2)$
Сначала выполним действие в скобках, используя правило умножения степеней: $a^{52} \cdot a^2 = a^{52+2} = a^{54}$.
Затем выполним оставшиеся действия по порядку, используя правила умножения и деления степеней: $a^{35} \cdot a^{19} : a^{54} = a^{35+19} : a^{54} = a^{54} : a^{54} = a^{54-54} = a^0 = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).
Ответ: 1.

3. Упростите выражение $\frac{x^{10} y^8}{x^9 y^6}$ и найдите его значение при $x=2, y=3$
Сначала упростим выражение, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{x^{10} y^8}{x^9 y^6} = x^{10-9} y^{8-6} = x^1 y^2 = xy^2$.
Теперь подставим значения $x=2$ и $y=3$ в упрощенное выражение:
$2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.
Ответ: 18.

4. Вычислите $0,2 \cdot (-5)^2 - 3^3$
Выполним действия в соответствии с порядком операций: сначала возведение в степень, затем умножение, и в конце вычитание.
1. Возведение в степень: $(-5)^2 = 25$ и $3^3 = 27$.
2. Умножение: $0,2 \cdot 25 = 5$.
3. Вычитание: $5 - 27 = -22$.
Ответ: -22.

5. Упростите: $\frac{(m^3)^5 \cdot (n^4)^3}{(m^3)^4 \cdot (n^5)^2}$
Используем правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а затем правила умножения и деления степеней.
Упростим числитель: $(m^3)^5 \cdot (n^4)^3 = m^{3 \cdot 5} \cdot n^{4 \cdot 3} = m^{15}n^{12}$.
Упростим знаменатель: $(m^3)^4 \cdot (n^5)^2 = m^{3 \cdot 4} \cdot n^{5 \cdot 2} = m^{12}n^{10}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$\frac{m^{15}n^{12}}{m^{12}n^{10}} = m^{15-12}n^{12-10} = m^3n^2$.
Ответ: $m^3n^2$.

6. Представьте в виде произведения степеней выражение $\frac{x^4}{y^6}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$.
$\frac{x^4}{y^6} = x^4 \cdot \frac{1}{y^6} = x^4 y^{-6}$.
Ответ: $x^4y^{-6}$.

7. Упростите: $5^{-3} \cdot 25^2$
Представим $25$ как степень числа $5$: $25 = 5^2$.
Выражение примет вид: $5^{-3} \cdot (5^2)^2$.
По правилу возведения степени в степень ($(a^m)^n=a^{mn}$): $(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$.
Теперь, по правилу умножения степеней: $5^{-3} \cdot 5^4 = 5^{-3+4} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.

8. Представьте в виде произведения степеней выражение $\frac{a^2}{b^3 c^{-4}}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем ($\frac{1}{a^n} = a^{-n}$ и $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$) для перемещения множителей из знаменателя в числитель.
$\frac{a^2}{b^3 c^{-4}} = a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot \frac{1}{c^{-4}} = a^2 \cdot b^{-3} \cdot c^4 = a^2b^{-3}c^4$.
Ответ: $a^2b^{-3}c^4$.

9. Упростите выражение $\frac{5a^9 - 3a^7}{4a^8}$ и найдите его значение при $a=-1$
Сначала упростим выражение. Можно вынести за скобки в числителе общий множитель $a^7$:
$\frac{a^7(5a^2 - 3)}{4a^8}$.
Сократим дробь на $a^7$ (при $a \neq 0$):
$\frac{5a^2 - 3}{4a}$.
Теперь подставим значение $a=-1$ в упрощенное выражение:
$\frac{5(-1)^2 - 3}{4(-1)} = \frac{5 \cdot 1 - 3}{-4} = \frac{5-3}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

10. Найдите пятую степень числа, если его куб равен $-\frac{1}{8}$
Пусть искомое число - это $x$. По условию, его куб равен $-\frac{1}{8}$, то есть $x^3 = -\frac{1}{8}$.
Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$x = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{(-\frac{1}{2})^3} = -\frac{1}{2}$.
Теперь найдем пятую степень этого числа, то есть $x^5$:
$x^5 = (-\frac{1}{2})^5 = \frac{(-1)^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$.
Ответ: $-\frac{1}{32}$.