Номер 9.24, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.24. Докажите, что при $a = 1, b = -1$ значения выражений равны:

1) $(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1$ и $(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3;

2) $\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4$ и $\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6.$

1) Для доказательства равенства значений выражений при $a=1$ и $b=-1$, сначала упростим каждое выражение, а затем подставим в него заданные значения.

Первое выражение: $(a⁵ \cdot b⁶)⁷ : (a³³ \cdot b⁴⁰) + 1$.
Используем свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$(a⁵ \cdot b⁶)⁷ : (a³³ \cdot b⁴⁰) + 1 = (a^{5 \cdot 7} \cdot b^{6 \cdot 7}) : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1 = (a^{35}b^{42}) : (a^{33}b^{40}) + 1$
$= a^{35-33}b^{42-40} + 1 = a^2b^2 + 1$.
Подставим значения $a=1$ и $b=-1$ в упрощенное выражение:
$1^2 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$.

Второе выражение: $(a⁸b²)² : (a⁵b)³ + 3$.
Упростим его аналогичным образом:
$(a⁸b²)² : (a⁵b)³ + 3 = (a^{8 \cdot 2}b^{2 \cdot 2}) : (a^{5 \cdot 3}b^3) + 3 = (a^{16}b^4) : (a^{15}b^3) + 3$
$= a^{16-15}b^{4-3} + 3 = a^1b^1 + 3 = ab + 3$.
Подставим значения $a=1$ и $b=-1$:
$1 \cdot (-1) + 3 = -1 + 3 = 2$.

Значения обоих выражений равны 2. Таким образом, доказано, что при $a=1$ и $b=-1$ значения выражений равны.
Ответ: значения выражений равны 2.

2) Рассмотрим вторую пару выражений и докажем их равенство при $a=1$ и $b=-1$.

Первое выражение: $ \frac{(a⁴)³ \cdot (b¹⁰)²}{a⁸ \cdot (b⁵)³} - 4 $.
Упростим выражение, используя свойства степеней:
$ \frac{a^{4 \cdot 3} \cdot b^{10 \cdot 2}}{a⁸ \cdot b^{5 \cdot 3}} - 4 = \frac{a^{12}b^{20}}{a⁸b^{15}} - 4 = a^{12-8}b^{20-15} - 4 = a^4b^5 - 4 $.
Подставим $a=1$ и $b=-1$ в полученное выражение:
$1^4 \cdot (-1)^5 - 4 = 1 \cdot (-1) - 4 = -1 - 4 = -5$.

Второе выражение: $ \frac{(a⁷)⁴ \cdot (b⁹)²}{(a⁵)⁵ \cdot b¹⁶} - 6 $.
Упростим его:
$ \frac{a^{7 \cdot 4} \cdot b^{9 \cdot 2}}{a^{5 \cdot 5} \cdot b^{16}} - 6 = \frac{a^{28}b^{18}}{a^{25}b^{16}} - 6 = a^{28-25}b^{18-16} - 6 = a^3b^2 - 6 $.
Подставим значения $a=1$ и $b=-1$:
$1^3 \cdot (-1)^2 - 6 = 1 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 = -5$.

Значения обоих выражений равны -5. Равенство доказано.
Ответ: значения выражений равны -5.