Номер 9.25, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.25. Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней:

1) $\frac{(a^{-3} \cdot x^4)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2};$

2) $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1};$

3) $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(a^{-3} \cdot x^4)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2}$.

Сначала преобразуем дробь, используя свойства степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Числитель дроби: $(a^{-3} \cdot x^4)^2 = (a^{-3})^2 \cdot (x^4)^2 = a^{-3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2} = a^{-6}x^8$.

Знаменатель дроби: $(a^{-2})^2 \cdot x^{-7} = a^{-2 \cdot 2} \cdot x^{-7} = a^{-4}x^{-7}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{a^{-6}x^8}{a^{-4}x^{-7}} \cdot 2^{-2}$.

Упростим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{-6}}{a^{-4}} \cdot \frac{x^8}{x^{-7}} = a^{-6 - (-4)} \cdot x^{8 - (-7)} = a^{-6+4} \cdot x^{8+7} = a^{-2}x^{15}$.

Подставим результат обратно в выражение:

$a^{-2}x^{15} \cdot 2^{-2}$.

Чтобы избавиться от отрицательных показателей, воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{a^2} \cdot x^{15} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{x^{15}}{a^2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{x^{15}}{4a^2}$.

Ответ: $\frac{x^{15}}{4a^2}$.

2) Исходное выражение: $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби:

Числитель: $(b^3 \cdot y^{-3})^2 = (b^3)^2 \cdot (y^{-3})^2 = b^{6}y^{-6}$.

Знаменатель: $(b^2)^2 \cdot y^7 = b^{4}y^7$.

Дробь принимает вид: $\frac{b^6y^{-6}}{b^4y^7}$.

Упрощаем дробь: $\frac{b^6}{b^4} \cdot \frac{y^{-6}}{y^7} = b^{6-4} \cdot y^{-6-7} = b^2y^{-13}$.

Теперь умножим полученное выражение на $y^{-1}$:

$b^2y^{-13} \cdot y^{-1}$.

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$b^2y^{-13+(-1)} = b^2y^{-14}$.

Приведем выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей:

$b^2 \cdot \frac{1}{y^{14}} = \frac{b^2}{y^{14}}$.

Ответ: $\frac{b^2}{y^{14}}$.

3) Исходное выражение: $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}}$.

Числитель: $(3^3 \cdot x^4)^{-2} = (3^3)^{-2} \cdot (x^4)^{-2} = 3^{-6}x^{-8}$.

Знаменатель: $(3^2)^2 \cdot x^{-7} = 3^4x^{-7}$.

Первое слагаемое равно: $\frac{3^{-6}x^{-8}}{3^4x^{-7}} = 3^{-6-4} \cdot x^{-8-(-7)} = 3^{-10}x^{-1}$.

Второе слагаемое: $\frac{2}{x^{-3}}$. Используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, получаем: $2x^3$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые: $3^{-10}x^{-1} + 2x^3$.

Избавимся от отрицательных степеней: $\frac{1}{3^{10}x} + 2x^3$.

Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{59049x} + 2x^3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю, чтобы выполнить сложение:

$\frac{1}{59049x} + \frac{2x^3 \cdot 59049x}{59049x} = \frac{1 + 118098x^4}{59049x}$.

Ответ: $\frac{1 + 118098x^4}{59049x}$.