Номер 9.18, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения (9.18–9.19):

$\frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}}$

$\frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5}$

$\frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}}$

$\frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2}$

1) Для упрощения выражения $ \frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}} $ будем использовать свойства степеней.
Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $ для числителя:
$ (b^5)^3 = b^{5 \cdot 3} = b^{15} $
$ (b^7)^7 = b^{7 \cdot 7} = b^{49} $
Теперь числитель равен $ b^{15} \cdot b^{49} $. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ b^{15} \cdot b^{49} = b^{15+49} = b^{64} $
Упростим знаменатель, используя то же свойство умножения степеней:
$ b^{19} \cdot b^{38} = b^{19+38} = b^{57} $
Исходное выражение примет вид: $ \frac{b^{64}}{b^{57}} $
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ b^{64-57} = b^7 $
Ответ: $ b^7 $

2) Упростим выражение $ \frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5} $.
Упростим числитель по свойству умножения степеней $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ c^{50} \cdot c^{11} = c^{50+11} = c^{61} $
Упростим знаменатель. Сначала используем свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (c^{20})^2 = c^{20 \cdot 2} = c^{40} $
$ (c^2)^5 = c^{2 \cdot 5} = c^{10} $
Знаменатель равен $ c^{40} \cdot c^{10} $. Теперь применим свойство умножения степеней:
$ c^{40} \cdot c^{10} = c^{40+10} = c^{50} $
Получаем дробь: $ \frac{c^{61}}{c^{50}} $
Применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ c^{61-50} = c^{11} $
Ответ: $ c^{11} $

3) Упростим выражение $ \frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}} $.
Упростим числитель. Сначала используем свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^9)^3 = a^{9 \cdot 3} = a^{27} $
$ (a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12} $
Теперь числитель равен $ a^{27} \cdot a^{12} \cdot a^{23} $. Применим свойство умножения степеней $ x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k} $:
$ a^{27+12+23} = a^{62} $
Упростим знаменатель по свойству умножения степеней:
$ a^{40} \cdot a^{18} = a^{40+18} = a^{58} $
Получаем дробь: $ \frac{a^{62}}{a^{58}} $
Применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ a^{62-58} = a^4 $
Ответ: $ a^4 $

4) Упростим выражение $ \frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2} $.
Упростим числитель. По свойству $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (d^8)^3 = d^{8 \cdot 3} = d^{24} $
$ (d^7)^2 = d^{7 \cdot 2} = d^{14} $
Числитель становится $ d^{13} \cdot d^{24} \cdot d^{14} $. По свойству $ x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k} $:
$ d^{13+24+14} = d^{51} $
Упростим знаменатель. По свойству $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (d^3)^{10} = d^{3 \cdot 10} = d^{30} $
$ (d^6)^2 = d^{6 \cdot 2} = d^{12} $
Знаменатель становится $ d^{30} \cdot d^{12} $. По свойству $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ d^{30+12} = d^{42} $
Получаем дробь: $ \frac{d^{51}}{d^{42}} $
Применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ d^{51-42} = d^9 $
Ответ: $ d^9 $