Номер 9.19, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.19.

1) $(ab)^{10} : (a^9 \cdot b^8) \cdot a^2;$

2) $((x^5y^2)^3)^4 : ((x^{29})^2 \cdot (y^{12})^2);$

3) $((k^6)^7) \cdot (t^3)^9 : (((k^7 \cdot t^4)^3)^2);$

4) $((c^8d^{11})^5)^2 : ((c^{20}d^{25})^2)^2.$

1) Для упрощения выражения $(ab)^{10} : (a^9 \cdot b^8) \cdot a^2$ будем последовательно применять свойства степеней.
Сначала раскроем скобки в первом множителе, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^ny^n$:
$(ab)^{10} = a^{10}b^{10}$.
Теперь выражение выглядит так: $a^{10}b^{10} : (a^9b^8) \cdot a^2$.
Выполним деление, используя свойство частного степеней с одинаковыми основаниями $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$a^{10}b^{10} : (a^9b^8) = \frac{a^{10}b^{10}}{a^9b^8} = a^{10-9}b^{10-8} = a^1b^2 = ab^2$.
Наконец, умножим полученный результат на $a^2$, используя свойство произведения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$ab^2 \cdot a^2 = a^{1+2}b^2 = a^3b^2$.
Ответ: $a^3b^2$

2) Упростим выражение $((x^5y^2)^3)^4 : ((x^{29})^2 \cdot (y^{12})^2)$.
Сначала преобразуем делимое, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:
$((x^5y^2)^3)^4 = (x^5y^2)^{3 \cdot 4} = (x^5y^2)^{12} = (x^5)^{12}(y^2)^{12} = x^{5 \cdot 12}y^{2 \cdot 12} = x^{60}y^{24}$.
Теперь преобразуем делитель:
$(x^{29})^2 \cdot (y^{12})^2 = x^{29 \cdot 2} \cdot y^{12 \cdot 2} = x^{58}y^{24}$.
Выполним деление полученных выражений:
$x^{60}y^{24} : (x^{58}y^{24}) = \frac{x^{60}y^{24}}{x^{58}y^{24}} = x^{60-58}y^{24-24} = x^2y^0$.
Так как любое число в нулевой степени равно единице ($y^0=1$), получаем: $x^2 \cdot 1 = x^2$.
Ответ: $x^2$

3) Упростим выражение $((k^6)^7) \cdot ((t^3)^9) : (((k^7 \cdot t^4)^3)^2)$.
Сначала преобразуем множители в делимом:
$((k^6)^7) \cdot ((t^3)^9) = k^{6 \cdot 7} \cdot t^{3 \cdot 9} = k^{42}t^{27}$.
Теперь преобразуем делитель:
$(((k^7 \cdot t^4)^3)^2) = ((k^7t^4)^{3 \cdot 2}) = (k^7t^4)^6 = (k^7)^6(t^4)^6 = k^{7 \cdot 6}t^{4 \cdot 6} = k^{42}t^{24}$.
Выполним деление:
$(k^{42}t^{27}) : (k^{42}t^{24}) = \frac{k^{42}t^{27}}{k^{42}t^{24}} = k^{42-42}t^{27-24} = k^0t^3$.
Так как $k^0=1$, итоговый результат: $1 \cdot t^3 = t^3$.
Ответ: $t^3$

4) Упростим выражение $((c^8d^{11})^5)^2 : (((c^{20}d^{25})^2)^2)$.
Сначала преобразуем делимое:
$((c^8d^{11})^5)^2 = (c^8d^{11})^{5 \cdot 2} = (c^8d^{11})^{10} = (c^8)^{10}(d^{11})^{10} = c^{8 \cdot 10}d^{11 \cdot 10} = c^{80}d^{110}$.
Теперь преобразуем делитель:
$(((c^{20}d^{25})^2)^2) = ((c^{20}d^{25})^{2 \cdot 2}) = (c^{20}d^{25})^4 = (c^{20})^4(d^{25})^4 = c^{20 \cdot 4}d^{25 \cdot 4} = c^{80}d^{100}$.
Выполним деление:
$c^{80}d^{110} : c^{80}d^{100} = \frac{c^{80}d^{110}}{c^{80}d^{100}} = c^{80-80}d^{110-100} = c^0d^{10}$.
Так как $c^0=1$, итоговый результат: $1 \cdot d^{10} = d^{10}$.
Ответ: $d^{10}$