Номер 9.21, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.21. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3}$;

2) $45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2}$;

3) $\frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{9})^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3} $.

Сначала упростим числитель. Преобразуем первый множитель, используя свойство степени с отрицательным показателем для дроби:

$(\frac{1}{9})^{-3} = (\frac{9}{1})^3 = 9^3$.

Теперь числитель имеет вид: $9^3 \cdot \frac{1}{9}$. Так как $\frac{1}{9} = 9^{-1}$, то

$9^3 \cdot 9^{-1} = 9^{3-1} = 9^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{9^2}{3^3}$.

Чтобы упростить дробь, приведем степени к одному основанию. Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Тогда $9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{3^4}{3^3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

2) Рассмотрим выражение: $ 45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} $.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$45 \cdot \frac{\frac{1}{25}}{9^2} = 45 \cdot \frac{1}{25 \cdot 9^2} = \frac{45}{25 \cdot 81}$.

Теперь сократим полученную дробь. Разложим числа на множители:

$45 = 5 \cdot 9$

$25 = 5^2$

$81 = 9^2$

$\frac{5 \cdot 9}{5^2 \cdot 9^2} = \frac{1}{5^{2-1} \cdot 9^{2-1}} = \frac{1}{5 \cdot 9} = \frac{1}{45}$.

Ответ: $\frac{1}{45}$

3) Рассмотрим выражение: $ \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2 $.

Для упрощения выражения разложим основания степеней на множители. Заметим, что $34 = 17 \cdot 2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{(17 \cdot 2)^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot (2^3)^2$.

Применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{17^3 \cdot 2^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^{3 \cdot 2} = \frac{17^3 \cdot 2^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^6$.

Объединим все множители в одну дробь:

$\frac{17^3 \cdot 2^3 \cdot 2^6}{17^2 \cdot 2^4}$.

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим числитель:

$\frac{17^3 \cdot 2^{3+6}}{17^2 \cdot 2^4} = \frac{17^3 \cdot 2^9}{17^2 \cdot 2^4}$.

Теперь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, сократим дробь по каждому основанию отдельно:

$17^{3-2} \cdot 2^{9-4} = 17^1 \cdot 2^5$.

Вычислим конечный результат:

$17 \cdot 2^5 = 17 \cdot 32 = 544$.

Ответ: 544