Номер 9.17, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.17. Докажите тождество:

1) $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = 1 + x^6;$

2) $(b^4 - b^3) : b^2 = b^2 - b;$

3) $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} a^2 = \frac{4}{a^{-4}}.$

1) Для доказательства тождества $x³ : (x⁻¹)³ + π⁰ = 1 + x⁶$ преобразуем его левую часть, приводя ее к виду правой части.
1. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x⁻¹)³ = x^{-1 \cdot 3} = x⁻³$.
2. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$x³ : x⁻³ = x^{3 - (-3)} = x^{3+3} = x⁶$.
3. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, поэтому $π⁰ = 1$.
4. Подставим полученные значения обратно в левую часть выражения:
$x⁶ + 1$.
Левая часть $x⁶ + 1$ равна правой части $1 + x⁶$ в силу коммутативности (переместительности) сложения. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано, так как $x³ : (x⁻¹)³ + π⁰ = x⁶ + 1 = 1 + x⁶$.

2) Для доказательства тождества $(b⁴ - b³) : b² = b² - b$ преобразуем его левую часть.
1. Разделим каждый член многочлена в скобках на одночлен $b²$:
$(b⁴ - b³) : b² = (b⁴ : b²) - (b³ : b²)$.
2. Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$b⁴ : b² = b^{4-2} = b²$.
$b³ : b² = b^{3-2} = b¹ = b$.
3. В результате преобразования левая часть выражения принимает вид:
$b² - b$.
Левая часть $b² - b$ равна правой части $b² - b$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано, так как $(b⁴ - b³) : b² = b² - b$.

3) Для доказательства тождества $\frac{2⁴ : 4}{14⁰ \cdot a⁻²} a² = \frac{4}{a⁻⁴}$ преобразуем обе его части и покажем, что они равны.
Преобразуем левую часть:
1. Вычислим числитель дроби: $2⁴ : 4 = 16 : 4 = 4$.
2. Вычислим знаменатель дроби: $14⁰ \cdot a⁻² = 1 \cdot a⁻² = a⁻²$.
3. Левая часть выражения теперь имеет вид: $\frac{4}{a⁻²} \cdot a²$.
4. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем дробь: $\frac{4}{a⁻²} = 4 : (\frac{1}{a²}) = 4a²$.
5. Умножим результат на $a²$: $(4a²) \cdot a² = 4a^{2+2} = 4a⁴$.
Итак, левая часть равна $4a⁴$.
Преобразуем правую часть:
1. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{4}{a⁻⁴} = 4 : (\frac{1}{a⁴}) = 4a⁴$.
Итак, правая часть также равна $4a⁴$.
Поскольку после преобразований левая и правая части равны ($4a⁴ = 4a⁴$), тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.