Номер 9.20, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.20. Упростите выражение:

1) $\frac{8^3}{14^0 \cdot a^{-2}} : 4 \cdot a^3$;

2) $\frac{(x^3 \cdot x)^2}{(-x^2)^3}$;

3) $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$;

4) $\frac{(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^2)^2 \cdot x^{12}}$

1) Упростим выражение $ \frac{8^3}{14^0 \cdot a^{-2}} : \frac{4}{a^3} $.
Сначала преобразуем первую дробь. Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0), поэтому $14^0 = 1$. Также, по определению степени с отрицательным показателем, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.
Получаем: $ \frac{8^3}{14^0 \cdot a^{-2}} = \frac{8^3}{1 \cdot \frac{1}{a^2}} = \frac{8^3}{\frac{1}{a^2}} = 8^3 \cdot a^2 $.
Теперь вспомним, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь: $ : \frac{4}{a^3} $ то же самое, что $ \cdot \frac{a^3}{4} $.
Выражение принимает вид: $ (8^3 \cdot a^2) \cdot \frac{a^3}{4} = \frac{8^3 \cdot a^2 \cdot a^3}{4} $.
Используем свойства степеней для переменной $a$: $ a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5 $.
Представим числа как степени двойки: $8 = 2^3$, поэтому $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$. И $4 = 2^2$.
Подставляем в выражение: $ \frac{2^9 \cdot a^5}{2^2} $.
Сокращаем степени двойки: $ \frac{2^9}{2^2} = 2^{9-2} = 2^7 $.
Вычисляем $2^7 = 128$.
Итоговый результат: $128a^5$.
Ответ: $128a^5$

2) Упростим выражение $ \frac{(x^3 \cdot x)^2}{(-x^2)^3} $.
Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^3 \cdot x = x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.
Затем возводим результат в квадрат. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.
Теперь упростим знаменатель. Возводим в куб произведение $(-1)$ и $x^2$: $(-x^2)^3 = (-1)^3 \cdot (x^2)^3$.
$(-1)^3 = -1$, а $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.
Знаменатель равен $-x^6$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{x^8}{-x^6} = - \frac{x^8}{x^6} $.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $-x^{8-6} = -x^2$.
Ответ: $-x^2$

3) Упростим выражение $ \frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7} $.
Раскроем скобки в числителе, используя правило возведения произведения в степень: $(a^3 \cdot x^4)^2 = (a^3)^2 \cdot (x^4)^2$.
Далее используем правило возведения степени в степень: $a^{3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2} = a^6x^8$.
Теперь упростим знаменатель. Возведем в степень $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.
Знаменатель равен $a^4 \cdot x^7$.
Получаем дробь: $ \frac{a^6x^8}{a^4x^7} $.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели: $a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2 \cdot x^1 = a^2x$.
Ответ: $a^2x$

4) Упростим выражение $ \frac{(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^2)^2 \cdot x^{12}} $.
Упростим числитель, возводя произведение в степень: $(b^3 \cdot x^4)^3 = (b^3)^3 \cdot (x^4)^3 = b^{3 \cdot 3} \cdot x^{4 \cdot 3} = b^9x^{12}$.
Теперь упростим знаменатель. Сначала раскроем скобки: $(-2b^2)^2 = (-2)^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot b^{2 \cdot 2} = 4b^4$.
Весь знаменатель имеет вид $4b^4 \cdot x^{12}$.
Запишем полученную дробь: $ \frac{b^9x^{12}}{4b^4x^{12}} $.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{b^9}{b^4} \cdot \frac{x^{12}}{x^{12}} $.
Выполним деление степеней: $ \frac{b^9}{b^4} = b^{9-4} = b^5 $ и $ \frac{x^{12}}{x^{12}} = x^{12-12} = x^0 = 1 $ (при $x \ne 0$).
Собираем все вместе: $ \frac{1}{4} \cdot b^5 \cdot 1 = \frac{1}{4}b^5 $.
Ответ: $\frac{1}{4}b^5$