Страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.17. Докажите тождество:

1) $x^3 : (x^{-1})^3 + \pi^0 = 1 + x^6;$

2) $(b^4 - b^3) : b^2 = b^2 - b;$

3) $\frac{2^4 : 4}{14^0 \cdot a^{-2}} a^2 = \frac{4}{a^{-4}}.$

1) Для доказательства тождества $x³ : (x⁻¹)³ + π⁰ = 1 + x⁶$ преобразуем его левую часть, приводя ее к виду правой части.
1. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(x⁻¹)³ = x^{-1 \cdot 3} = x⁻³$.
2. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$x³ : x⁻³ = x^{3 - (-3)} = x^{3+3} = x⁶$.
3. Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице, поэтому $π⁰ = 1$.
4. Подставим полученные значения обратно в левую часть выражения:
$x⁶ + 1$.
Левая часть $x⁶ + 1$ равна правой части $1 + x⁶$ в силу коммутативности (переместительности) сложения. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано, так как $x³ : (x⁻¹)³ + π⁰ = x⁶ + 1 = 1 + x⁶$.

2) Для доказательства тождества $(b⁴ - b³) : b² = b² - b$ преобразуем его левую часть.
1. Разделим каждый член многочлена в скобках на одночлен $b²$:
$(b⁴ - b³) : b² = (b⁴ : b²) - (b³ : b²)$.
2. Используем свойство деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$b⁴ : b² = b^{4-2} = b²$.
$b³ : b² = b^{3-2} = b¹ = b$.
3. В результате преобразования левая часть выражения принимает вид:
$b² - b$.
Левая часть $b² - b$ равна правой части $b² - b$. Тождество доказано.
Ответ: тождество доказано, так как $(b⁴ - b³) : b² = b² - b$.

3) Для доказательства тождества $\frac{2⁴ : 4}{14⁰ \cdot a⁻²} a² = \frac{4}{a⁻⁴}$ преобразуем обе его части и покажем, что они равны.
Преобразуем левую часть:
1. Вычислим числитель дроби: $2⁴ : 4 = 16 : 4 = 4$.
2. Вычислим знаменатель дроби: $14⁰ \cdot a⁻² = 1 \cdot a⁻² = a⁻²$.
3. Левая часть выражения теперь имеет вид: $\frac{4}{a⁻²} \cdot a²$.
4. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, преобразуем дробь: $\frac{4}{a⁻²} = 4 : (\frac{1}{a²}) = 4a²$.
5. Умножим результат на $a²$: $(4a²) \cdot a² = 4a^{2+2} = 4a⁴$.
Итак, левая часть равна $4a⁴$.
Преобразуем правую часть:
1. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{4}{a⁻⁴} = 4 : (\frac{1}{a⁴}) = 4a⁴$.
Итак, правая часть также равна $4a⁴$.
Поскольку после преобразований левая и правая части равны ($4a⁴ = 4a⁴$), тождество доказано.
Ответ: тождество доказано.

Упростите выражения (9.18–9.19):

$\frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}}$

$\frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5}$

$\frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}}$

$\frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2}$

1) Для упрощения выражения $ \frac{(b^5)^3 \cdot (b^7)^7}{b^{19} \cdot b^{38}} $ будем использовать свойства степеней.
Сначала воспользуемся свойством возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $ для числителя:
$ (b^5)^3 = b^{5 \cdot 3} = b^{15} $
$ (b^7)^7 = b^{7 \cdot 7} = b^{49} $
Теперь числитель равен $ b^{15} \cdot b^{49} $. Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ b^{15} \cdot b^{49} = b^{15+49} = b^{64} $
Упростим знаменатель, используя то же свойство умножения степеней:
$ b^{19} \cdot b^{38} = b^{19+38} = b^{57} $
Исходное выражение примет вид: $ \frac{b^{64}}{b^{57}} $
Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ b^{64-57} = b^7 $
Ответ: $ b^7 $

2) Упростим выражение $ \frac{c^{50} \cdot c^{11}}{(c^{20})^2 \cdot (c^2)^5} $.
Упростим числитель по свойству умножения степеней $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ c^{50} \cdot c^{11} = c^{50+11} = c^{61} $
Упростим знаменатель. Сначала используем свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (c^{20})^2 = c^{20 \cdot 2} = c^{40} $
$ (c^2)^5 = c^{2 \cdot 5} = c^{10} $
Знаменатель равен $ c^{40} \cdot c^{10} $. Теперь применим свойство умножения степеней:
$ c^{40} \cdot c^{10} = c^{40+10} = c^{50} $
Получаем дробь: $ \frac{c^{61}}{c^{50}} $
Применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ c^{61-50} = c^{11} $
Ответ: $ c^{11} $

3) Упростим выражение $ \frac{(a^9)^3 \cdot (a^3)^4 \cdot a^{23}}{a^{40} \cdot a^{18}} $.
Упростим числитель. Сначала используем свойство возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^9)^3 = a^{9 \cdot 3} = a^{27} $
$ (a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12} $
Теперь числитель равен $ a^{27} \cdot a^{12} \cdot a^{23} $. Применим свойство умножения степеней $ x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k} $:
$ a^{27+12+23} = a^{62} $
Упростим знаменатель по свойству умножения степеней:
$ a^{40} \cdot a^{18} = a^{40+18} = a^{58} $
Получаем дробь: $ \frac{a^{62}}{a^{58}} $
Применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ a^{62-58} = a^4 $
Ответ: $ a^4 $

4) Упростим выражение $ \frac{d^{13} \cdot (d^8)^3 \cdot (d^7)^2}{(d^3)^{10} \cdot (d^6)^2} $.
Упростим числитель. По свойству $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (d^8)^3 = d^{8 \cdot 3} = d^{24} $
$ (d^7)^2 = d^{7 \cdot 2} = d^{14} $
Числитель становится $ d^{13} \cdot d^{24} \cdot d^{14} $. По свойству $ x^m \cdot x^n \cdot x^k = x^{m+n+k} $:
$ d^{13+24+14} = d^{51} $
Упростим знаменатель. По свойству $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (d^3)^{10} = d^{3 \cdot 10} = d^{30} $
$ (d^6)^2 = d^{6 \cdot 2} = d^{12} $
Знаменатель становится $ d^{30} \cdot d^{12} $. По свойству $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:
$ d^{30+12} = d^{42} $
Получаем дробь: $ \frac{d^{51}}{d^{42}} $
Применим свойство деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:
$ d^{51-42} = d^9 $
Ответ: $ d^9 $

9.19.

1) $(ab)^{10} : (a^9 \cdot b^8) \cdot a^2;$

2) $((x^5y^2)^3)^4 : ((x^{29})^2 \cdot (y^{12})^2);$

3) $((k^6)^7) \cdot (t^3)^9 : (((k^7 \cdot t^4)^3)^2);$

4) $((c^8d^{11})^5)^2 : ((c^{20}d^{25})^2)^2.$

1) Для упрощения выражения $(ab)^{10} : (a^9 \cdot b^8) \cdot a^2$ будем последовательно применять свойства степеней.
Сначала раскроем скобки в первом множителе, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^ny^n$:
$(ab)^{10} = a^{10}b^{10}$.
Теперь выражение выглядит так: $a^{10}b^{10} : (a^9b^8) \cdot a^2$.
Выполним деление, используя свойство частного степеней с одинаковыми основаниями $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:
$a^{10}b^{10} : (a^9b^8) = \frac{a^{10}b^{10}}{a^9b^8} = a^{10-9}b^{10-8} = a^1b^2 = ab^2$.
Наконец, умножим полученный результат на $a^2$, используя свойство произведения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$ab^2 \cdot a^2 = a^{1+2}b^2 = a^3b^2$.
Ответ: $a^3b^2$

2) Упростим выражение $((x^5y^2)^3)^4 : ((x^{29})^2 \cdot (y^{12})^2)$.
Сначала преобразуем делимое, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:
$((x^5y^2)^3)^4 = (x^5y^2)^{3 \cdot 4} = (x^5y^2)^{12} = (x^5)^{12}(y^2)^{12} = x^{5 \cdot 12}y^{2 \cdot 12} = x^{60}y^{24}$.
Теперь преобразуем делитель:
$(x^{29})^2 \cdot (y^{12})^2 = x^{29 \cdot 2} \cdot y^{12 \cdot 2} = x^{58}y^{24}$.
Выполним деление полученных выражений:
$x^{60}y^{24} : (x^{58}y^{24}) = \frac{x^{60}y^{24}}{x^{58}y^{24}} = x^{60-58}y^{24-24} = x^2y^0$.
Так как любое число в нулевой степени равно единице ($y^0=1$), получаем: $x^2 \cdot 1 = x^2$.
Ответ: $x^2$

3) Упростим выражение $((k^6)^7) \cdot ((t^3)^9) : (((k^7 \cdot t^4)^3)^2)$.
Сначала преобразуем множители в делимом:
$((k^6)^7) \cdot ((t^3)^9) = k^{6 \cdot 7} \cdot t^{3 \cdot 9} = k^{42}t^{27}$.
Теперь преобразуем делитель:
$(((k^7 \cdot t^4)^3)^2) = ((k^7t^4)^{3 \cdot 2}) = (k^7t^4)^6 = (k^7)^6(t^4)^6 = k^{7 \cdot 6}t^{4 \cdot 6} = k^{42}t^{24}$.
Выполним деление:
$(k^{42}t^{27}) : (k^{42}t^{24}) = \frac{k^{42}t^{27}}{k^{42}t^{24}} = k^{42-42}t^{27-24} = k^0t^3$.
Так как $k^0=1$, итоговый результат: $1 \cdot t^3 = t^3$.
Ответ: $t^3$

4) Упростим выражение $((c^8d^{11})^5)^2 : (((c^{20}d^{25})^2)^2)$.
Сначала преобразуем делимое:
$((c^8d^{11})^5)^2 = (c^8d^{11})^{5 \cdot 2} = (c^8d^{11})^{10} = (c^8)^{10}(d^{11})^{10} = c^{8 \cdot 10}d^{11 \cdot 10} = c^{80}d^{110}$.
Теперь преобразуем делитель:
$(((c^{20}d^{25})^2)^2) = ((c^{20}d^{25})^{2 \cdot 2}) = (c^{20}d^{25})^4 = (c^{20})^4(d^{25})^4 = c^{20 \cdot 4}d^{25 \cdot 4} = c^{80}d^{100}$.
Выполним деление:
$c^{80}d^{110} : c^{80}d^{100} = \frac{c^{80}d^{110}}{c^{80}d^{100}} = c^{80-80}d^{110-100} = c^0d^{10}$.
Так как $c^0=1$, итоговый результат: $1 \cdot d^{10} = d^{10}$.
Ответ: $d^{10}$

9.20. Упростите выражение:

1) $\frac{8^3}{14^0 \cdot a^{-2}} : 4 \cdot a^3$;

2) $\frac{(x^3 \cdot x)^2}{(-x^2)^3}$;

3) $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$;

4) $\frac{(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^2)^2 \cdot x^{12}}$

1) Упростим выражение $ \frac{8^3}{14^0 \cdot a^{-2}} : \frac{4}{a^3} $.
Сначала преобразуем первую дробь. Мы знаем, что любое число в нулевой степени равно 1 (кроме 0), поэтому $14^0 = 1$. Также, по определению степени с отрицательным показателем, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.
Получаем: $ \frac{8^3}{14^0 \cdot a^{-2}} = \frac{8^3}{1 \cdot \frac{1}{a^2}} = \frac{8^3}{\frac{1}{a^2}} = 8^3 \cdot a^2 $.
Теперь вспомним, что деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь: $ : \frac{4}{a^3} $ то же самое, что $ \cdot \frac{a^3}{4} $.
Выражение принимает вид: $ (8^3 \cdot a^2) \cdot \frac{a^3}{4} = \frac{8^3 \cdot a^2 \cdot a^3}{4} $.
Используем свойства степеней для переменной $a$: $ a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5 $.
Представим числа как степени двойки: $8 = 2^3$, поэтому $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$. И $4 = 2^2$.
Подставляем в выражение: $ \frac{2^9 \cdot a^5}{2^2} $.
Сокращаем степени двойки: $ \frac{2^9}{2^2} = 2^{9-2} = 2^7 $.
Вычисляем $2^7 = 128$.
Итоговый результат: $128a^5$.
Ответ: $128a^5$

2) Упростим выражение $ \frac{(x^3 \cdot x)^2}{(-x^2)^3} $.
Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^3 \cdot x = x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.
Затем возводим результат в квадрат. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(x^4)^2 = x^{4 \cdot 2} = x^8$.
Теперь упростим знаменатель. Возводим в куб произведение $(-1)$ и $x^2$: $(-x^2)^3 = (-1)^3 \cdot (x^2)^3$.
$(-1)^3 = -1$, а $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$.
Знаменатель равен $-x^6$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $ \frac{x^8}{-x^6} = - \frac{x^8}{x^6} $.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $-x^{8-6} = -x^2$.
Ответ: $-x^2$

3) Упростим выражение $ \frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7} $.
Раскроем скобки в числителе, используя правило возведения произведения в степень: $(a^3 \cdot x^4)^2 = (a^3)^2 \cdot (x^4)^2$.
Далее используем правило возведения степени в степень: $a^{3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2} = a^6x^8$.
Теперь упростим знаменатель. Возведем в степень $(a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$.
Знаменатель равен $a^4 \cdot x^7$.
Получаем дробь: $ \frac{a^6x^8}{a^4x^7} $.
Разделим степени с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели: $a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2 \cdot x^1 = a^2x$.
Ответ: $a^2x$

4) Упростим выражение $ \frac{(b^3 \cdot x^4)^3}{(-2b^2)^2 \cdot x^{12}} $.
Упростим числитель, возводя произведение в степень: $(b^3 \cdot x^4)^3 = (b^3)^3 \cdot (x^4)^3 = b^{3 \cdot 3} \cdot x^{4 \cdot 3} = b^9x^{12}$.
Теперь упростим знаменатель. Сначала раскроем скобки: $(-2b^2)^2 = (-2)^2 \cdot (b^2)^2 = 4 \cdot b^{2 \cdot 2} = 4b^4$.
Весь знаменатель имеет вид $4b^4 \cdot x^{12}$.
Запишем полученную дробь: $ \frac{b^9x^{12}}{4b^4x^{12}} $.
Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $ \frac{1}{4} \cdot \frac{b^9}{b^4} \cdot \frac{x^{12}}{x^{12}} $.
Выполним деление степеней: $ \frac{b^9}{b^4} = b^{9-4} = b^5 $ и $ \frac{x^{12}}{x^{12}} = x^{12-12} = x^0 = 1 $ (при $x \ne 0$).
Собираем все вместе: $ \frac{1}{4} \cdot b^5 \cdot 1 = \frac{1}{4}b^5 $.
Ответ: $\frac{1}{4}b^5$

9.21. Найдите значение выражения:

1) $\frac{\left(\frac{1}{9}\right)^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3}$;

2) $45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2}$;

3) $\frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2$.

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Исходное выражение: $ \frac{(\frac{1}{9})^{-3} \cdot \frac{1}{9}}{3^3} $.

Сначала упростим числитель. Преобразуем первый множитель, используя свойство степени с отрицательным показателем для дроби:

$(\frac{1}{9})^{-3} = (\frac{9}{1})^3 = 9^3$.

Теперь числитель имеет вид: $9^3 \cdot \frac{1}{9}$. Так как $\frac{1}{9} = 9^{-1}$, то

$9^3 \cdot 9^{-1} = 9^{3-1} = 9^2$.

Выражение принимает вид: $\frac{9^2}{3^3}$.

Чтобы упростить дробь, приведем степени к одному основанию. Представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

Тогда $9^2 = (3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{3^4}{3^3} = 3^{4-3} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

2) Рассмотрим выражение: $ 45 \cdot \frac{5^{-2}}{9^2} $.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$45 \cdot \frac{\frac{1}{25}}{9^2} = 45 \cdot \frac{1}{25 \cdot 9^2} = \frac{45}{25 \cdot 81}$.

Теперь сократим полученную дробь. Разложим числа на множители:

$45 = 5 \cdot 9$

$25 = 5^2$

$81 = 9^2$

$\frac{5 \cdot 9}{5^2 \cdot 9^2} = \frac{1}{5^{2-1} \cdot 9^{2-1}} = \frac{1}{5 \cdot 9} = \frac{1}{45}$.

Ответ: $\frac{1}{45}$

3) Рассмотрим выражение: $ \frac{34^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 8^2 $.

Для упрощения выражения разложим основания степеней на множители. Заметим, что $34 = 17 \cdot 2$ и $8 = 2^3$.

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$\frac{(17 \cdot 2)^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot (2^3)^2$.

Применим свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{17^3 \cdot 2^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^{3 \cdot 2} = \frac{17^3 \cdot 2^3}{17^2 \cdot 2^4} \cdot 2^6$.

Объединим все множители в одну дробь:

$\frac{17^3 \cdot 2^3 \cdot 2^6}{17^2 \cdot 2^4}$.

Используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим числитель:

$\frac{17^3 \cdot 2^{3+6}}{17^2 \cdot 2^4} = \frac{17^3 \cdot 2^9}{17^2 \cdot 2^4}$.

Теперь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, сократим дробь по каждому основанию отдельно:

$17^{3-2} \cdot 2^{9-4} = 17^1 \cdot 2^5$.

Вычислим конечный результат:

$17 \cdot 2^5 = 17 \cdot 32 = 544$.

Ответ: 544

Верны ли равенства (9.22–9.23):

9.22. 1) $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2;$

2) $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68?$;

1) Чтобы проверить верность равенства $\frac{(2^4)^6 \cdot 4^5}{16^3 \cdot 8^7} = 2$, упростим его левую часть. Для этого представим все числа в виде степени с основанием 2.

Знаем, что $4 = 2^2$, $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$. Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(2^4)^6 \cdot (2^2)^5}{(2^4)^3 \cdot (2^3)^7}$

Теперь воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{2^{4 \cdot 6} \cdot 2^{2 \cdot 5}}{2^{4 \cdot 3} \cdot 2^{3 \cdot 7}} = \frac{2^{24} \cdot 2^{10}}{2^{12} \cdot 2^{21}}$

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{24+10}}{2^{12+21}} = \frac{2^{34}}{2^{33}}$

И, наконец, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{34-33} = 2^1 = 2$

Полученное значение совпадает с правой частью равенства ($2 = 2$).

Ответ: равенство верно.

2) Чтобы проверить верность равенства $\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot 16^5}{17^{22} \cdot 289 \cdot 8^6} = 68$, упростим его левую часть. Для этого представим числа в виде степеней простых чисел.

Знаем, что $289 = 17^2$, $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$. Подставим эти значения в выражение:

$\frac{(17^8)^2 \cdot (17^3)^3 \cdot (2^4)^5}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot (2^3)^6}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{17^{8 \cdot 2} \cdot 17^{3 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 5}}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot 2^{3 \cdot 6}} = \frac{17^{16} \cdot 17^9 \cdot 2^{20}}{17^{22} \cdot 17^2 \cdot 2^{18}}$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{17^{16+9} \cdot 2^{20}}{17^{22+2} \cdot 2^{18}} = \frac{17^{25} \cdot 2^{20}}{17^{24} \cdot 2^{18}}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{17^{25}}{17^{24}} \cdot \frac{2^{20}}{2^{18}} = 17^{25-24} \cdot 2^{20-18} = 17^1 \cdot 2^2 = 17 \cdot 4 = 68$

Полученное значение совпадает с правой частью равенства ($68 = 68$).

Ответ: равенство верно.

9.23.

1) $ \frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2 b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2; $

2) $ \frac{(c^8 \cdot d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9 d? $

1) Чтобы проверить верность равенства $\frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2$, упростим его левую часть. Сначала раскроем скобки, используя свойства степеней: $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n=x^ny^n$.В числителе:$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$;$(b^9)^4 = b^{9 \cdot 4} = b^{36}$;$(a^2b^2)^3 = (a^2)^3(b^2)^3 = a^{2 \cdot 3}b^{2 \cdot 3} = a^6b^6$.В знаменателе:$(b^4)^{10} = b^{4 \cdot 10} = b^{40}$;$(a^7)^5 = a^{7 \cdot 5} = a^{35}$.Подставив эти значения, получим дробь $\frac{a^{30} \cdot b^{36} \cdot a^6 b^6}{b^{40} \cdot a^{35}}$.Теперь, используя свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, объединим степени с одинаковыми основаниями в числителе: $a^{30} \cdot a^6 = a^{30+6} = a^{36}$ и $b^{36} \cdot b^6 = b^{36+6} = b^{42}$.Выражение примет вид $\frac{a^{36}b^{42}}{a^{35}b^{40}}$.Наконец, применим свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$\frac{a^{36}}{a^{35}} = a^{36-35} = a^1 = a$;$\frac{b^{42}}{b^{40}} = b^{42-40} = b^2$.В результате упрощения левая часть равна $ab^2$, что совпадает с правой частью $ab^2$. Таким образом, равенство является верным.Ответ: равенство верно.

2) Чтобы найти выражение, которое должно стоять в правой части равенства $\frac{(c^8 \cdot d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9d?$, упростим его левую часть.Сначала раскроем скобки, используя свойства $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n=x^ny^n$.В числителе:$(c^8 d^5)^{11} = c^{8 \cdot 11}d^{5 \cdot 11} = c^{88}d^{55}$;$(c^7)^3 = c^{7 \cdot 3} = c^{21}$;$(d^4)^2 = d^{4 \cdot 2} = d^8$.В знаменателе:$(d^{31})^2 = d^{31 \cdot 2} = d^{62}$;$(c^{25})^4 = c^{25 \cdot 4} = c^{100}$.Подставим упрощенные части в дробь: $\frac{c^{88}d^{55} \cdot c^{21} \cdot d^8}{d^{62} \cdot c^{100}}$.Далее, перемножим степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $c^{88} \cdot c^{21} = c^{88+21} = c^{109}$ и $d^{55} \cdot d^8 = d^{55+8} = d^{63}$.Дробь примет вид $\frac{c^{109}d^{63}}{c^{100}d^{62}}$.Наконец, разделим степени, используя $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$\frac{c^{109}}{c^{100}} = c^{109-100} = c^9$;$\frac{d^{63}}{d^{62}} = d^{63-62} = d^1 = d$.Результат упрощения левой части равен $c^9d$. Следовательно, в правой части равенства на месте знака вопроса должно стоять $d$. Искомое выражение — $c^9d$.Ответ: $c^9d$.