Страница 71 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Как применять свойства степеней для упрощения выражений?

1. Какие свойства степени были использованы при доказательстве тождества в примере 4?

2. Объясните, как получили равенство $\frac{2^{-22}}{2^{-22}}=1$ в примере 5.

Для упрощения выражений со степенями необходимо применять их свойства. Основные свойства позволяют преобразовывать произведения, частные и степени степеней, что приводит к сокращению и упрощению выражений. Ключевые свойства (для $a \neq 0, b \neq 0$ и целых $m, n$):
- Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- Деление степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- Степень произведения: $(ab)^n = a^n b^n$
- Степень частного: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$
- Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- Степень с нулевым показателем: $a^0 = 1$

Поскольку сам пример 4 не предоставлен, можно перечислить свойства, которые чаще всего используются при доказательстве подобных тождеств. Обычно это комбинация нескольких правил:
- Умножение и деление степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
- Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
- Степень с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
- Степень произведения и частного: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
При доказательстве тождества, как правило, преобразуют одну или обе его части с помощью этих свойств, пока они не станут идентичными. Ответ: Вероятнее всего, была использована комбинация свойств умножения/деления степеней, возведения степени в степень и свойства степени с отрицательным показателем.

Равенство $\frac{2^{-22}}{2^{-22}} = 1$ можно объяснить двумя основными способами.
Способ 1: Деление выражения на само себя.
Любое ненулевое число или выражение, разделенное на само себя, равно 1. Так как числитель $2^{-22}$ и знаменатель $2^{-22}$ равны и не равны нулю, их частное равно 1.
Способ 2: Применение свойств степеней.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
В данном случае $a=2$, $m=-22$, $n=-22$.
$\frac{2^{-22}}{2^{-22}} = 2^{-22 - (-22)} = 2^{-22 + 22} = 2^0$.
Затем используем свойство степени с нулевым показателем: $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$).
Следовательно, $2^0 = 1$.
Оба подхода доказывают, что исходное выражение равно 1. Ответ: Равенство получено либо в результате деления выражения на само себя, либо путем последовательного применения свойств деления степеней и степени с нулевым показателем.