Страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.8. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) $ ( (n^3)^2 )^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10} $;

2) $ m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2 $;

3) $ ( (a^2)^2 )^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3 $;

4) $ -23 - b^{40} + (((b^5)^4)^2 $.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, необходимо его упростить. Для этого применим свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{mn}$, а при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Выполним преобразования по шагам:
$((n^3)^2)^4 : (n^7)^2 - 5 - n^{10} = (n^{3 \cdot 2})^4 : n^{7 \cdot 2} - 5 - n^{10} = (n^6)^4 : n^{14} - 5 - n^{10} = n^{6 \cdot 4} : n^{14} - 5 - n^{10} = n^{24} : n^{14} - 5 - n^{10}$.
Теперь выполним деление:
$n^{24-14} - 5 - n^{10} = n^{10} - 5 - n^{10}$.
Сократим подобные члены:
$(n^{10} - n^{10}) - 5 = 0 - 5 = -5$.
В результате мы получили число -5, которое не зависит от значения переменной $n$.
Ответ: -5.

2) Упростим данное выражение, используя те же свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Преобразуем выражение:
$m^{30} : ((m^3)^2)^3 + 17 - (m^6)^2 = m^{30} : (m^{3 \cdot 2})^3 + 17 - m^{6 \cdot 2} = m^{30} : (m^6)^3 + 17 - m^{12} = m^{30} : m^{6 \cdot 3} + 17 - m^{12} = m^{30} : m^{18} + 17 - m^{12}$.
Выполним деление:
$m^{30-18} + 17 - m^{12} = m^{12} + 17 - m^{12}$.
Сократим подобные члены:
$(m^{12} - m^{12}) + 17 = 0 + 17 = 17$.
Результат вычислений — число 17, которое не зависит от значения переменной $m$.
Ответ: 17.

3) Для упрощения этого выражения будем использовать свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(a^m)^n = a^{mn}$, а при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Преобразуем выражение:
$((a^2)^2)^2 \cdot a^4 + 19 - (a^4)^3 = (a^{2 \cdot 2})^2 \cdot a^4 + 19 - a^{4 \cdot 3} = (a^4)^2 \cdot a^4 + 19 - a^{12} = a^{4 \cdot 2} \cdot a^4 + 19 - a^{12} = a^8 \cdot a^4 + 19 - a^{12}$.
Теперь выполним умножение:
$a^{8+4} + 19 - a^{12} = a^{12} + 19 - a^{12}$.
Сократим подобные члены:
$(a^{12} - a^{12}) + 19 = 0 + 19 = 19$.
Значение выражения равно 19 и не зависит от переменной $a$.
Ответ: 19.

4) Упростим выражение, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.
Выполним преобразования:
$-23 - b^{40} + ((b^5)^4)^2 = -23 - b^{40} + (b^{5 \cdot 4})^2 = -23 - b^{40} + (b^{20})^2 = -23 - b^{40} + b^{20 \cdot 2} = -23 - b^{40} + b^{40}$.
Сократим подобные члены:
$-23 + (-b^{40} + b^{40}) = -23 + 0 = -23$.
Полученное значение -23 является константой и не зависит от переменной $b$.
Ответ: -23.

9.9. Упростите выражение:

1) $(0,25a^{-4}x^3) \cdot (5^2a^3 \cdot x^{-4})$;

2) $(2,25b^{-4}x^3) \cdot (5^2b^3 \cdot x^{-6})$;

3) $(5a^{-5}x^6) \cdot (5^2a^3 : x^7)$;

4) $(1,25a^{-4}x^7) : (5^2a^8 \cdot x^{-4})$.

1) Чтобы упростить выражение $(0,25a^{-4}x^3) \cdot (5^2a^3 \cdot x^{-4})$, нужно перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала вычислим числовые значения: $5^2 = 25$.
Теперь выполним умножение, сгруппировав числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(0,25a^{-4}x^3) \cdot (25a^3x^{-4}) = (0,25 \cdot 25) \cdot (a^{-4} \cdot a^3) \cdot (x^3 \cdot x^{-4})$
Применяем правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

• Произведение коэффициентов: $0,25 \cdot 25 = 6,25$.
• Произведение степеней с основанием $a$: $a^{-4} \cdot a^3 = a^{-4+3} = a^{-1}$.
• Произведение степеней с основанием $x$: $x^3 \cdot x^{-4} = x^{3+(-4)} = x^{-1}$.

Собираем все части вместе, чтобы получить итоговое выражение:
$6,25a^{-1}x^{-1}$.
Ответ: $6,25a^{-1}x^{-1}$

2) Упростим выражение $(2,25b^{-4}x^3) \cdot (5^2b^3 \cdot x^{-6})$.
Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(2,25b^{-4}x^3) \cdot (25b^3x^{-6}) = (2,25 \cdot 25) \cdot (b^{-4} \cdot b^3) \cdot (x^3 \cdot x^{-6})$
Выполним вычисления для каждой группы:

• Произведение коэффициентов: $2,25 \cdot 25 = 56,25$.
• Произведение степеней с основанием $b$: $b^{-4} \cdot b^3 = b^{-4+3} = b^{-1}$.
• Произведение степеней с основанием $x$: $x^3 \cdot x^{-6} = x^{3+(-6)} = x^{-3}$.

Объединяем результаты:
$56,25b^{-1}x^{-3}$.
Ответ: $56,25b^{-1}x^{-3}$

3) Упростим выражение $(5a^{-5}x^6) \cdot (5^2a^3 : x^7)$.
Сначала упростим выражение во второй скобке. Операция деления $(:)$ на степень эквивалентна умножению на ту же степень с противоположным показателем: $5^2a^3 : x^7 = 25a^3x^{-7}$.
Теперь задача сводится к умножению двух одночленов:
$(5a^{-5}x^6) \cdot (25a^3x^{-7})$
Сгруппируем и перемножим соответствующие части:
$(5 \cdot 25) \cdot (a^{-5} \cdot a^3) \cdot (x^6 \cdot x^{-7})$

• Произведение коэффициентов: $5 \cdot 25 = 125$.
• Произведение степеней с основанием $a$: $a^{-5} \cdot a^3 = a^{-5+3} = a^{-2}$.
• Произведение степеней с основанием $x$: $x^6 \cdot x^{-7} = x^{6+(-7)} = x^{-1}$.

Итоговое выражение:
$125a^{-2}x^{-1}$.
Ответ: $125a^{-2}x^{-1}$

4) Упростим выражение $(1,25a^{-4}x^7) : (5^2a^8 \cdot x^{-4})$.
Эта операция является делением одного одночлена на другой. Запишем ее в виде дроби:
$\frac{1,25a^{-4}x^7}{5^2a^8x^{-4}} = \frac{1,25a^{-4}x^7}{25a^8x^{-4}}$
Теперь разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Применяем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

• Деление коэффициентов: $\frac{1,25}{25} = 0,05$.
• Деление степеней с основанием $a$: $\frac{a^{-4}}{a^8} = a^{-4-8} = a^{-12}$.
• Деление степеней с основанием $x$: $\frac{x^7}{x^{-4}} = x^{7 - (-4)} = x^{7+4} = x^{11}$.

Объединив полученные части, получаем окончательный результат:
$0,05a^{-12}x^{11}$.
Ответ: $0,05a^{-12}x^{11}$

9.10. Найдите значение выражения:

1) $\frac{17^7 \cdot 17^{-4}}{17^{-3}};

2) $\frac{0,7^7 \cdot 0,7^{-3}}{0,7^3} \cdot 3;

3) $\frac{0,5^4 \cdot 2^5}{4^2} : 8^2;

4) $1,33^{-5} \cdot 1,33^6 : p^0.$

1) Для решения используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Сначала упростим числитель дроби:

$17^7 \cdot 17^{-4} = 17^{7+(-4)} = 17^3$.

Теперь разделим полученный результат на знаменатель:

$\frac{17^3}{17^{-3}} = 17^{3 - (-3)} = 17^{3+3} = 17^6$.

Вычислим значение выражения:

$17^6 = (17^3)^2 = 4913^2 = 24137569$.

Ответ: $24137569$.

2) Упростим выражение, используя те же свойства степеней.

$\frac{0,7^7 \cdot 0,7^{-3}}{0,7^3} \cdot 3 = \frac{0,7^{7+(-3)}}{0,7^3} \cdot 3 = \frac{0,7^4}{0,7^3} \cdot 3$.

Выполним деление степеней:

$0,7^{4-3} \cdot 3 = 0,7^1 \cdot 3 = 0,7 \cdot 3$.

Вычислим конечное значение:

$0,7 \cdot 3 = 2,1$.

Ответ: $2,1$.

3) Для удобства вычислений представим все основания степеней как степени числа 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$. Деление на число равносильно умножению на его обратное, поэтому $a : b = \frac{a}{b}$.

$\frac{0,5^4 \cdot 2^5}{4^2} : 8^2 = \frac{(2^{-1})^4 \cdot 2^5}{(2^2)^2 \cdot (2^3)^2}$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{2^{-4} \cdot 2^5}{2^4 \cdot 2^6}$.

Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{-4+5}}{2^{4+6}} = \frac{2^1}{2^{10}}$.

Применим свойство деления степеней:

$2^{1-10} = 2^{-9}$.

Вычислим значение: $2^{-9} = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $\frac{1}{512}$.

4) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и свойство нулевой степени $a^0=1$ (при $a \neq 0$).

$1,33^{-5} \cdot 1,33^6 : p^0 = 1,33^{-5+6} : p^0 = 1,33^1 : p^0$.

Предполагая, что $p \neq 0$, имеем $p^0 = 1$.

Тогда выражение равно:

$1,33 : 1 = 1,33$.

Ответ: $1,33$.

9.11. Упростите выражение:

1) $(\frac{a^3}{a^2}-a^2):a^2;$

2) $x^5:(x^{-1})^3+p^0;$

3) $(b^4-b^3):b^3.$

1) Чтобы упростить выражение $(\frac{a^3}{a^2} - a^2) : a^2$, сначала выполним действия в скобках. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a^1 = a$

Теперь выражение в скобках принимает вид $(a - a^2)$.

Далее разделим это выражение на $a^2$:

$(a - a^2) : a^2 = \frac{a}{a^2} - \frac{a^2}{a^2}$

Упростим каждое слагаемое:

$\frac{a}{a^2} = a^{1-2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

$\frac{a^2}{a^2} = 1$

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{a} - 1$

Ответ: $\frac{1}{a} - 1$

2) В выражении $x^5 : (x^{-1})^3 + p^0$ действия выполняются в следующем порядке: возведение в степень, деление, сложение. Предполагается, что $x \neq 0$ и $p \neq 0$.

1. Возведение в степень: $(x^{-1})^3 = x^{-1 \cdot 3} = x^{-3}$

2. Возведение в нулевую степень: $p^0 = 1$

Теперь выражение выглядит так: $x^5 : x^{-3} + 1$.

3. Деление степеней с одинаковым основанием (показатели вычитаются): $x^5 : x^{-3} = x^{5 - (-3)} = x^{5+3} = x^8$

4. Сложение: $x^8 + 1$

Ответ: $x^8 + 1$

3) Чтобы упростить выражение $(b^4 - b^3) : b^3$, можно разделить каждый член в скобках на $b^3$. Это возможно, так как деление дистрибутивно относительно вычитания.

$(b^4 - b^3) : b^3 = \frac{b^4}{b^3} - \frac{b^3}{b^3}$

Теперь упростим каждую дробь, используя свойство степеней $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$:

$\frac{b^4}{b^3} = b^{4-3} = b^1 = b$

$\frac{b^3}{b^3} = 1$

В результате получаем:

$b - 1$

Ответ: $b - 1$

9.12. Вместо звездочки запишите число, чтобы было верным равенство:

1) $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7;$

2) $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7;$

3) $5^5 \cdot 5^{-2} : * = 5^7.$

1) В равенстве $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot * = 2^7$ необходимо найти число, которое нужно подставить вместо звездочки. Обозначим это число через $x$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части:

$2^5 \cdot 2^{-2} = 2^{5+(-2)} = 2^3$.

Уравнение принимает вид: $2^3 \cdot x = 2^7$.

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на известное в левой части: $x = \frac{2^7}{2^3}$.

По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$x = 2^{7-3} = 2^4$.

Проверка: $2^5 \cdot 2^{-2} \cdot 2^4 = 2^{5-2+4} = 2^{7}$. Равенство верно.

Ответ: $2^4$

2) В равенстве $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot * = 4^7$ найдем неизвестный множитель. Обозначим его через $x$.

Основания степеней 4 и 8 различны. Приведем их к общему основанию 2, так как $4=2^2$ и $8=2^3$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$

$8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$

$4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$

Подставим полученные выражения в исходное равенство:

$2^{10} \cdot 2^{-6} \cdot x = 2^{14}$.

Упростим левую часть: $2^{10+(-6)} \cdot x = 2^{14}$, что дает $2^4 \cdot x = 2^{14}$.

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{2^{14}}{2^4} = 2^{14-4} = 2^{10}$.

Проверка: $4^5 \cdot 8^{-2} \cdot 2^{10} = (2^2)^5 \cdot (2^3)^{-2} \cdot 2^{10} = 2^{10} \cdot 2^{-6} \cdot 2^{10} = 2^{10-6+10} = 2^{14}$. Правая часть $4^7 = (2^2)^7 = 2^{14}$. Равенство верно.

Ответ: $2^{10}$

3) В равенстве $5^5 \cdot 5^{-2} : * = 5^7$ необходимо найти делитель. Обозначим его через $x$.

Равенство можно записать в виде дроби: $\frac{5^5 \cdot 5^{-2}}{x} = 5^7$.

Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней: $5^5 \cdot 5^{-2} = 5^{5+(-2)} = 5^3$.

Получаем уравнение: $\frac{5^3}{x} = 5^7$.

Чтобы найти делитель $x$, нужно делимое ($5^3$) разделить на частное ($5^7$):

$x = \frac{5^3}{5^7}$.

По свойству деления степеней, $x = 5^{3-7} = 5^{-4}$.

Проверка: $5^5 \cdot 5^{-2} : 5^{-4} = 5^{3} : 5^{-4} = 5^{3-(-4)} = 5^{3+4} = 5^7$. Равенство верно.

Ответ: $5^{-4}$

9.13. Расположите в порядке возрастания числа:

$3^{-1}$; $3^3$; $9^2$; $27^{-2}$; $81^0$; $-3^2$; $-9^{-1}$.

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сначала вычислить значение каждого из них, используя свойства степеней.

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

$27^{-2} = \frac{1}{27^2} = \frac{1}{729}$

$81^0 = 1$ (любое ненулевое число в нулевой степени равно 1)

$-3^2 = -(3 \cdot 3) = -9$ (возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала вычисляется $3^2$, а затем применяется знак минус)

$-9^{-1} = -(\frac{1}{9^1}) = -\frac{1}{9}$

Теперь у нас есть следующий ряд значений: $\frac{1}{3}, 27, 81, \frac{1}{729}, 1, -9, -\frac{1}{9}$.

Сравним эти значения и расположим их в порядке от наименьшего к наибольшему.

1. Сначала идут отрицательные числа. Сравниваем $-9$ и $-\frac{1}{9}$. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Так как $|-9| > |-\frac{1}{9}|$, то $-9 < -\frac{1}{9}$.

2. Затем идут положительные числа. Сравним дроби $\frac{1}{729}$ и $\frac{1}{3}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше, следовательно $\frac{1}{729} < \frac{1}{3}$.

В результате получаем следующий упорядоченный ряд значений: $-9, -\frac{1}{9}, \frac{1}{729}, \frac{1}{3}, 1, 27, 81$.

Теперь заменим вычисленные значения на их исходные выражения, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ: $-3^2, -9^{-1}, 27^{-2}, 3^{-1}, 81^0, 3^3, 9^2$.

9.14. Расположите в порядке убывания числа:

$5^{-1}$; $5^3$; $25^2$; $27^{-2}$; $521^0$; $-8^2$; $-4^{-2}$.

Для того чтобы расположить числа в порядке убывания, необходимо вычислить значение каждого выражения.

$5^{-1}$: согласно свойству степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), имеем $5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2$.

$5^3$: это возведение 5 в третью степень, что равно $5 \times 5 \times 5 = 125$.

$25^2$: это возведение 25 во вторую степень, что равно $25 \times 25 = 625$.

$27^{-2}$: применяя свойство степени с отрицательным показателем, получаем $27^{-2} = \frac{1}{27^2} = \frac{1}{729}$.

$521^0$: любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице. Таким образом, $521^0 = 1$.

$-8^2$: следует помнить, что операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляется $8^2$, а затем к результату применяется знак минус: $-8^2 = -(8^2) = -64$.

$-4^{-2}$: аналогично предыдущему случаю, сначала вычисляем степень, а затем применяем минус: $-4^{-2} = -(4^{-2}) = -(\frac{1}{4^2}) = -\frac{1}{16}$.

Теперь мы имеем следующий набор значений: $0.2$; $125$; $625$; $\frac{1}{729}$; $1$; $-64$; $-\frac{1}{16}$.

Расположим эти значения в порядке убывания, то есть от наибольшего к наименьшему:
1. Наибольшее значение — $625$ (это $25^2$).
2. Следующее по величине — $125$ (это $5^3$).
3. Далее идет $1$ (это $521^0$).
4. Теперь сравним положительные дроби $0.2$, что равно $\frac{1}{5}$, и $\frac{1}{729}$. Из двух дробей с одинаковым числителем больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $5 < 729$, то $\frac{1}{5} > \frac{1}{729}$. Значит, следующее число — $0.2$ (это $5^{-1}$).
5. За ним следует $\frac{1}{729}$ (это $27^{-2}$).
6. Остались отрицательные числа: $-\frac{1}{16}$ и $-64$. Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю (т.е. модуль которого меньше). Так как $|-\frac{1}{16}| < |-64|$, то $-\frac{1}{16} > -64$. Значит, следующее число — $-\frac{1}{16}$ (это $-4^{-2}$).
7. Самое маленькое число — $-64$ (это $-8^2$).

Таким образом, итоговый ряд чисел в порядке убывания, записанный с помощью исходных выражений, выглядит так: $25^2$; $5^3$; $521^0$; $5^{-1}$; $27^{-2}$; $-4^{-2}$; $-8^2$.

Ответ: $25^2$; $5^3$; $521^0$; $5^{-1}$; $27^{-2}$; $-4^{-2}$; $-8^2$.

9.15. Докажите, что отрицательным числом является значение выражения:

1) $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$;

2) $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$;

3) $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2}$ является отрицательным числом, определим знаки числителя и знаменателя.

Числитель состоит из двух множителей: $(-3)^3$ и $9^{-2}$.

Первый множитель $(-3)^3$ — это отрицательное число, возведенное в нечетную степень, поэтому результат будет отрицательным: $(-3)^3 = -27$.

Второй множитель $9^{-2}$ — это положительное число, так как $9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.

Произведение отрицательного и положительного чисел отрицательно, следовательно, числитель $(-3)^3 \cdot 9^{-2}$ является отрицательным числом.

Знаменатель $(-81)^2$ — это отрицательное число, возведенное в четную степень, поэтому результат будет положительным: $(-81)^2 = 81^2 > 0$.

Вся дробь представляет собой частное от деления отрицательного числителя на положительный знаменатель. Результат такого деления всегда является отрицательным числом.

Для подтверждения вычислим точное значение выражения, приведя степени к основанию 3:

$\frac{(-3)^3 \cdot 9^{-2}}{(-81)^2} = \frac{-3^3 \cdot (3^2)^{-2}}{(-(3^4))^2} = \frac{-3^3 \cdot 3^{-4}}{(3^4)^2} = \frac{-3^{3-4}}{3^8} = \frac{-3^{-1}}{3^8} = -3^{-1-8} = -3^{-9} = -\frac{1}{3^9}$.

Значение выражения равно $-\frac{1}{19683}$, что является отрицательным числом.

Ответ: значение выражения отрицательно, так как представляет собой частное от деления отрицательного числителя $(-3^3 \cdot 3^{-4} = -3^{-1})$ на положительный знаменатель $(3^8)$.

2) Рассмотрим выражение $\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2}$.

Определим знак числителя. Множитель $(-4)^4$ — это отрицательное число в четной степени, результат положителен: $(-4)^4 = 4^4 = 256$. Множитель $9^{-2}$ также положителен: $9^{-2} = \frac{1}{81}$. Произведение двух положительных чисел положительно, значит, числитель положителен.

Определим знак знаменателя. Выражение $-11^2$ равно $-(11^2)$, так как возведение в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Таким образом, $-11^2 = -121$, что является отрицательным числом.

Вся дробь представляет собой частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель. Результат такого деления всегда отрицателен.

Вычислим значение выражения:

$\frac{(-4)^4 \cdot 9^{-2}}{-11^2} = \frac{256 \cdot \frac{1}{81}}{-121} = \frac{\frac{256}{81}}{-121} = -\frac{256}{81 \cdot 121} = -\frac{256}{9801}$.

Полученное число является отрицательным.

Ответ: значение выражения отрицательно, так как представляет собой частное от деления положительного числителя $(256 \cdot \frac{1}{81})$ на отрицательный знаменатель $(-121)$.

3) Рассмотрим выражение $\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2}$.

Определим знак числителя. Множитель $(-3)^3$ отрицателен, так как это отрицательное число в нечетной степени: $(-3)^3 = -27$. Множитель $(-9^{-2})$ также отрицателен: $-9^{-2} = -(9^{-2}) = -\frac{1}{81}$. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число, значит, числитель положителен.

Определим знак знаменателя. Выражение $-8^2$ равно $-(8^2)$, то есть $-64$. Это отрицательное число.

Вся дробь представляет собой частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель. Результат такого деления всегда отрицателен.

Вычислим значение выражения:

$\frac{(-3)^3 \cdot (-9^{-2})}{-8^2} = \frac{(-27) \cdot (-\frac{1}{81})}{-64} = \frac{\frac{27}{81}}{-64} = \frac{\frac{1}{3}}{-64} = -\frac{1}{3 \cdot 64} = -\frac{1}{192}$.

Полученное число является отрицательным.

Ответ: значение выражения отрицательно, так как представляет собой частное от деления положительного числителя $(\frac{1}{3})$ на отрицательный знаменатель $(-64)$.

9.16. Докажите, что значение выражения является положительным числом:

1) $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$

2) $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$

3) $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$ является положительным числом, необходимо вычислить его значение. Для этого воспользуемся свойствами степени: любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$), а число в отрицательной степени равно обратной величине этого числа в положительной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).

Вычислим каждый член выражения:

$21^0 = 1$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 16 равен их произведению, так как у них нет общих делителей: $9 \cdot 16 = 144$.

$1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{144}{144} - \frac{1 \cdot 16}{144} - \frac{1 \cdot 9}{144} = \frac{144 - 16 - 9}{144} = \frac{128 - 9}{144} = \frac{119}{144}$

Полученное число $\frac{119}{144}$ является положительным, так как и числитель (119), и знаменатель (144) — положительные числа. Таким образом, мы доказали, что значение выражения положительно.

Ответ: значение выражения равно $\frac{119}{144}$, что является положительным числом.

2) Рассмотрим выражение $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$. Вычислим значение каждого слагаемого.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$

Исходное выражение представляет собой сумму трех чисел: $\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16$.

Все три слагаемых ($\frac{1}{8}$, $\frac{1}{3}$ и $16$) являются положительными числами. Сумма положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, значение всего выражения положительно.

Для полноты решения найдем точное значение выражения, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16 = \frac{1 \cdot 3}{24} + \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{16 \cdot 24}{24} = \frac{3 + 8 + 384}{24} = \frac{395}{24}$

Результат $\frac{395}{24}$ (или $16\frac{11}{24}$) очевидно является положительным числом.

Ответ: значение выражения равно $\frac{395}{24}$, что является положительным числом.

3) Проанализируем выражение $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}$.

Сначала вычислим значение каждого компонента выражения.

$9^{-1} = \frac{1}{9}$

Далее вычислим значение дроби. Сначала числитель:

$(-3)^2 = 9$

Теперь знаменатель. Важно обратить внимание на порядок действий: сначала возведение в степень, потом унарный минус.

$(-5^2) = -(5^2) = -25$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{(-3)^2}{(-5^2)} = \frac{9}{-25} = -\frac{9}{25}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$9^{-1} - (-\frac{9}{25}) = \frac{1}{9} + \frac{9}{25}$

Мы получили сумму двух положительных дробей. Сумма положительных чисел всегда положительна. Найдем ее точное значение, приведя к общему знаменателю $9 \cdot 25 = 225$.

$\frac{1}{9} + \frac{9}{25} = \frac{1 \cdot 25}{225} + \frac{9 \cdot 9}{225} = \frac{25 + 81}{225} = \frac{106}{225}$

Число $\frac{106}{225}$ является положительным.

Ответ: значение выражения равно $\frac{106}{225}$, что является положительным числом.