Номер 9.9, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.9. Упростите выражение:

1) $(0,25a^{-4}x^3) \cdot (5^2a^3 \cdot x^{-4})$;

2) $(2,25b^{-4}x^3) \cdot (5^2b^3 \cdot x^{-6})$;

3) $(5a^{-5}x^6) \cdot (5^2a^3 : x^7)$;

4) $(1,25a^{-4}x^7) : (5^2a^8 \cdot x^{-4})$.

1) Чтобы упростить выражение $(0,25a^{-4}x^3) \cdot (5^2a^3 \cdot x^{-4})$, нужно перемножить коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Сначала вычислим числовые значения: $5^2 = 25$.
Теперь выполним умножение, сгруппировав числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(0,25a^{-4}x^3) \cdot (25a^3x^{-4}) = (0,25 \cdot 25) \cdot (a^{-4} \cdot a^3) \cdot (x^3 \cdot x^{-4})$
Применяем правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

• Произведение коэффициентов: $0,25 \cdot 25 = 6,25$.
• Произведение степеней с основанием $a$: $a^{-4} \cdot a^3 = a^{-4+3} = a^{-1}$.
• Произведение степеней с основанием $x$: $x^3 \cdot x^{-4} = x^{3+(-4)} = x^{-1}$.

Собираем все части вместе, чтобы получить итоговое выражение:
$6,25a^{-1}x^{-1}$.
Ответ: $6,25a^{-1}x^{-1}$

2) Упростим выражение $(2,25b^{-4}x^3) \cdot (5^2b^3 \cdot x^{-6})$.
Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(2,25b^{-4}x^3) \cdot (25b^3x^{-6}) = (2,25 \cdot 25) \cdot (b^{-4} \cdot b^3) \cdot (x^3 \cdot x^{-6})$
Выполним вычисления для каждой группы:

• Произведение коэффициентов: $2,25 \cdot 25 = 56,25$.
• Произведение степеней с основанием $b$: $b^{-4} \cdot b^3 = b^{-4+3} = b^{-1}$.
• Произведение степеней с основанием $x$: $x^3 \cdot x^{-6} = x^{3+(-6)} = x^{-3}$.

Объединяем результаты:
$56,25b^{-1}x^{-3}$.
Ответ: $56,25b^{-1}x^{-3}$

3) Упростим выражение $(5a^{-5}x^6) \cdot (5^2a^3 : x^7)$.
Сначала упростим выражение во второй скобке. Операция деления $(:)$ на степень эквивалентна умножению на ту же степень с противоположным показателем: $5^2a^3 : x^7 = 25a^3x^{-7}$.
Теперь задача сводится к умножению двух одночленов:
$(5a^{-5}x^6) \cdot (25a^3x^{-7})$
Сгруппируем и перемножим соответствующие части:
$(5 \cdot 25) \cdot (a^{-5} \cdot a^3) \cdot (x^6 \cdot x^{-7})$

• Произведение коэффициентов: $5 \cdot 25 = 125$.
• Произведение степеней с основанием $a$: $a^{-5} \cdot a^3 = a^{-5+3} = a^{-2}$.
• Произведение степеней с основанием $x$: $x^6 \cdot x^{-7} = x^{6+(-7)} = x^{-1}$.

Итоговое выражение:
$125a^{-2}x^{-1}$.
Ответ: $125a^{-2}x^{-1}$

4) Упростим выражение $(1,25a^{-4}x^7) : (5^2a^8 \cdot x^{-4})$.
Эта операция является делением одного одночлена на другой. Запишем ее в виде дроби:
$\frac{1,25a^{-4}x^7}{5^2a^8x^{-4}} = \frac{1,25a^{-4}x^7}{25a^8x^{-4}}$
Теперь разделим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Применяем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

• Деление коэффициентов: $\frac{1,25}{25} = 0,05$.
• Деление степеней с основанием $a$: $\frac{a^{-4}}{a^8} = a^{-4-8} = a^{-12}$.
• Деление степеней с основанием $x$: $\frac{x^7}{x^{-4}} = x^{7 - (-4)} = x^{7+4} = x^{11}$.

Объединив полученные части, получаем окончательный результат:
$0,05a^{-12}x^{11}$.
Ответ: $0,05a^{-12}x^{11}$