Номер 9.2, страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.2.

1) $$(x^2y)^6 : (x^5y^3)^2 \cdot xy;$$

2) $$(xy^3)^7 \cdot (x^6y^4)^3 : (x^{24}y^{32});$$

3) $$(\frac{x}{y})^8 : (\frac{x^2}{y})^4 \cdot xy^5;$$

4) $$x^5y^8 \cdot (xy)^5 : (x^5y^3)^2.$$

1) Упростим выражения в скобках, используя свойства степени $(a^m)^n=a^{mn}$ и $(ab)^n=a^nb^n$: $(x^2y)^6 = x^{2 \cdot 6}y^6 = x^{12}y^6$ и $(x^5y^3)^2 = x^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = x^{10}y^6$. Подставим полученные выражения в исходное: $x^{12}y^6 : x^{10}y^6 \cdot xy$. Выполним действия по порядку. Сначала деление, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $x^{12}y^6 : x^{10}y^6 = x^{12-10}y^{6-6} = x^2y^0 = x^2$. Затем умножение: $x^2 \cdot xy = x^{2+1}y^1 = x^3y$.
Ответ: $x^3y$.

2) Раскроем скобки: $(xy^3)^7 = x^7y^{3 \cdot 7} = x^7y^{21}$ и $(x^6y^4)^3 = x^{6 \cdot 3}y^{4 \cdot 3} = x^{18}y^{12}$. Выражение примет вид: $x^7y^{21} \cdot x^{18}y^{12} : (x^{24}y^{32})$. Выполним умножение, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $x^7y^{21} \cdot x^{18}y^{12} = x^{7+18}y^{21+12} = x^{25}y^{33}$. Теперь выполним деление: $x^{25}y^{33} : x^{24}y^{32} = x^{25-24}y^{33-32} = x^1y^1 = xy$.
Ответ: $xy$.

3) Упростим выражения в скобках, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$: $(\frac{x}{y})^8 = \frac{x^8}{y^8}$ и $(\frac{x^2}{y})^4 = \frac{(x^2)^4}{y^4} = \frac{x^8}{y^4}$. Подставим в исходное выражение: $\frac{x^8}{y^8} : \frac{x^8}{y^4} \cdot xy^5$. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь: $\frac{x^8}{y^8} \cdot \frac{y^4}{x^8} = \frac{x^8y^4}{y^8x^8} = \frac{y^4}{y^8} = y^{4-8} = y^{-4}$. Теперь выполним умножение: $y^{-4} \cdot xy^5 = x \cdot y^{-4+5} = x \cdot y^1 = xy$.
Ответ: $xy$.

4) Раскроем скобки: $(xy)^5 = x^5y^5$ и $(x^5y^3)^2 = x^{5 \cdot 2}y^{3 \cdot 2} = x^{10}y^6$. Исходное выражение станет: $x^5y^8 \cdot x^5y^5 : x^{10}y^6$. Выполним умножение: $x^5y^8 \cdot x^5y^5 = x^{5+5}y^{8+5} = x^{10}y^{13}$. Теперь выполним деление: $x^{10}y^{13} : x^{10}y^6 = x^{10-10}y^{13-6} = x^0y^7 = 1 \cdot y^7 = y^7$.
Ответ: $y^7$.