Номер 9.7, страница 75 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.7. Докажите, что при любых значениях переменной равно единице значение выражения:

1) $(a^5)^6 \cdot (a^4b^2)^7 : (a^{29}b^7)^2;$

2) $(a^4b^5)^3 \cdot (a^8b^9) : (a^{10}b^{12})^2;$

3) $(c^8)^6 \cdot (d^{18})^3 : (c^8d^9)^6;$

4) $(x^{11}y^2)^4 \cdot (y^5)^2 : (x^{22}y^9)^2.$

1) Чтобы доказать, что значение выражения равно единице, упростим его, используя свойства степеней: $(a^m)^n = a^{mn}$, $(ab)^n = a^n b^n$, $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(a^5)^6 \cdot (a^4b^2)^7 : (a^{29}b^7)^2 = a^{5 \cdot 6} \cdot a^{4 \cdot 7}b^{2 \cdot 7} : a^{29 \cdot 2}b^{7 \cdot 2} = a^{30} \cdot a^{28}b^{14} : a^{58}b^{14}$.
Теперь выполним действия умножения и деления для степеней с одинаковыми основаниями:
$a^{30+28-58} \cdot b^{14-14} = a^{58-58} \cdot b^{0} = a^0 \cdot b^0 = 1 \cdot 1 = 1$.
Выражение равно 1 при любых значениях переменных, при которых оно определено (то есть $a \neq 0$ и $b \neq 0$).
Ответ: 1.

2) Упростим данное выражение, применяя те же свойства степеней.
$(a^4b^5)^3 \cdot (a^8b^9) : (a^{10}b^{12})^2 = (a^{4 \cdot 3}b^{5 \cdot 3}) \cdot (a^8b^9) : (a^{10 \cdot 2}b^{12 \cdot 2}) = a^{12}b^{15} \cdot a^8b^9 : a^{20}b^{24}$.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и выполним действия:
$(a^{12} \cdot a^8 : a^{20}) \cdot (b^{15} \cdot b^9 : b^{24}) = a^{12+8-20} \cdot b^{15+9-24} = a^{20-20} \cdot b^{24-24} = a^0 \cdot b^0 = 1$.
Ответ: 1.

3) Упростим выражение.
$(c^8)^6 \cdot (d^{18})^3 : (c^8d^9)^6 = c^{8 \cdot 6} \cdot d^{18 \cdot 3} : (c^{8 \cdot 6}d^{9 \cdot 6}) = c^{48} \cdot d^{54} : (c^{48}d^{54})$.
В данном случае мы делим выражение само на себя, что в результате дает единицу:
$\frac{c^{48}d^{54}}{c^{48}d^{54}} = 1$.
Также можно применить правило деления степеней:
$c^{48-48} \cdot d^{54-54} = c^0 \cdot d^0 = 1$.
Ответ: 1.

4) Упростим последнее выражение.
$(x^{11}y^2)^4 \cdot (y^5)^2 : (x^{22}y^9)^2 = (x^{11 \cdot 4}y^{2 \cdot 4}) \cdot y^{5 \cdot 2} : (x^{22 \cdot 2}y^{9 \cdot 2}) = x^{44}y^8 \cdot y^{10} : x^{44}y^{18}$.
Выполним умножение, а затем деление степеней с одинаковыми основаниями:
$(x^{44} : x^{44}) \cdot (y^8 \cdot y^{10} : y^{18}) = x^{44-44} \cdot y^{8+10-18} = x^0 \cdot y^{18-18} = x^0 \cdot y^0 = 1$.
Ответ: 1.