Номер 9.10, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.10. Найдите значение выражения:

1) $\frac{17^7 \cdot 17^{-4}}{17^{-3}};

2) $\frac{0,7^7 \cdot 0,7^{-3}}{0,7^3} \cdot 3;

3) $\frac{0,5^4 \cdot 2^5}{4^2} : 8^2;

4) $1,33^{-5} \cdot 1,33^6 : p^0.$

1) Для решения используем свойства степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Сначала упростим числитель дроби:

$17^7 \cdot 17^{-4} = 17^{7+(-4)} = 17^3$.

Теперь разделим полученный результат на знаменатель:

$\frac{17^3}{17^{-3}} = 17^{3 - (-3)} = 17^{3+3} = 17^6$.

Вычислим значение выражения:

$17^6 = (17^3)^2 = 4913^2 = 24137569$.

Ответ: $24137569$.

2) Упростим выражение, используя те же свойства степеней.

$\frac{0,7^7 \cdot 0,7^{-3}}{0,7^3} \cdot 3 = \frac{0,7^{7+(-3)}}{0,7^3} \cdot 3 = \frac{0,7^4}{0,7^3} \cdot 3$.

Выполним деление степеней:

$0,7^{4-3} \cdot 3 = 0,7^1 \cdot 3 = 0,7 \cdot 3$.

Вычислим конечное значение:

$0,7 \cdot 3 = 2,1$.

Ответ: $2,1$.

3) Для удобства вычислений представим все основания степеней как степени числа 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$, $4 = 2^2$, $8 = 2^3$. Деление на число равносильно умножению на его обратное, поэтому $a : b = \frac{a}{b}$.

$\frac{0,5^4 \cdot 2^5}{4^2} : 8^2 = \frac{(2^{-1})^4 \cdot 2^5}{(2^2)^2 \cdot (2^3)^2}$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{2^{-4} \cdot 2^5}{2^4 \cdot 2^6}$.

Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{2^{-4+5}}{2^{4+6}} = \frac{2^1}{2^{10}}$.

Применим свойство деления степеней:

$2^{1-10} = 2^{-9}$.

Вычислим значение: $2^{-9} = \frac{1}{2^9} = \frac{1}{512}$.

Ответ: $\frac{1}{512}$.

4) Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и свойство нулевой степени $a^0=1$ (при $a \neq 0$).

$1,33^{-5} \cdot 1,33^6 : p^0 = 1,33^{-5+6} : p^0 = 1,33^1 : p^0$.

Предполагая, что $p \neq 0$, имеем $p^0 = 1$.

Тогда выражение равно:

$1,33 : 1 = 1,33$.

Ответ: $1,33$.