Номер 9.16, страница 76 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.16. Докажите, что значение выражения является положительным числом:

1) $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$

2) $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$

3) $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}$

1) Чтобы доказать, что значение выражения $21^0 - 3^{-2} - 4^{-2}$ является положительным числом, необходимо вычислить его значение. Для этого воспользуемся свойствами степени: любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0 = 1$), а число в отрицательной степени равно обратной величине этого числа в положительной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).

Вычислим каждый член выражения:

$21^0 = 1$

$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:

$1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 16 равен их произведению, так как у них нет общих делителей: $9 \cdot 16 = 144$.

$1 - \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{144}{144} - \frac{1 \cdot 16}{144} - \frac{1 \cdot 9}{144} = \frac{144 - 16 - 9}{144} = \frac{128 - 9}{144} = \frac{119}{144}$

Полученное число $\frac{119}{144}$ является положительным, так как и числитель (119), и знаменатель (144) — положительные числа. Таким образом, мы доказали, что значение выражения положительно.

Ответ: значение выражения равно $\frac{119}{144}$, что является положительным числом.

2) Рассмотрим выражение $2^{-3} + 3^{-1} + (-4)^2$. Вычислим значение каждого слагаемого.

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

$(-4)^2 = (-4) \cdot (-4) = 16$

Исходное выражение представляет собой сумму трех чисел: $\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16$.

Все три слагаемых ($\frac{1}{8}$, $\frac{1}{3}$ и $16$) являются положительными числами. Сумма положительных чисел всегда является положительным числом. Следовательно, значение всего выражения положительно.

Для полноты решения найдем точное значение выражения, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{1}{8} + \frac{1}{3} + 16 = \frac{1 \cdot 3}{24} + \frac{1 \cdot 8}{24} + \frac{16 \cdot 24}{24} = \frac{3 + 8 + 384}{24} = \frac{395}{24}$

Результат $\frac{395}{24}$ (или $16\frac{11}{24}$) очевидно является положительным числом.

Ответ: значение выражения равно $\frac{395}{24}$, что является положительным числом.

3) Проанализируем выражение $9^{-1} - \frac{(-3)^2}{(-5^2)}$.

Сначала вычислим значение каждого компонента выражения.

$9^{-1} = \frac{1}{9}$

Далее вычислим значение дроби. Сначала числитель:

$(-3)^2 = 9$

Теперь знаменатель. Важно обратить внимание на порядок действий: сначала возведение в степень, потом унарный минус.

$(-5^2) = -(5^2) = -25$

Теперь найдем значение всей дроби:

$\frac{(-3)^2}{(-5^2)} = \frac{9}{-25} = -\frac{9}{25}$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$9^{-1} - (-\frac{9}{25}) = \frac{1}{9} + \frac{9}{25}$

Мы получили сумму двух положительных дробей. Сумма положительных чисел всегда положительна. Найдем ее точное значение, приведя к общему знаменателю $9 \cdot 25 = 225$.

$\frac{1}{9} + \frac{9}{25} = \frac{1 \cdot 25}{225} + \frac{9 \cdot 9}{225} = \frac{25 + 81}{225} = \frac{106}{225}$

Число $\frac{106}{225}$ является положительным.

Ответ: значение выражения равно $\frac{106}{225}$, что является положительным числом.