Номер 9.23, страница 77 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.23.

1) $ \frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2 b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2; $

2) $ \frac{(c^8 \cdot d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9 d? $

1) Чтобы проверить верность равенства $\frac{(a^5)^6 \cdot (b^9)^4 \cdot (a^2b^2)^3}{(b^4)^{10} \cdot (a^7)^5} = ab^2$, упростим его левую часть. Сначала раскроем скобки, используя свойства степеней: $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n=x^ny^n$.В числителе:$(a^5)^6 = a^{5 \cdot 6} = a^{30}$;$(b^9)^4 = b^{9 \cdot 4} = b^{36}$;$(a^2b^2)^3 = (a^2)^3(b^2)^3 = a^{2 \cdot 3}b^{2 \cdot 3} = a^6b^6$.В знаменателе:$(b^4)^{10} = b^{4 \cdot 10} = b^{40}$;$(a^7)^5 = a^{7 \cdot 5} = a^{35}$.Подставив эти значения, получим дробь $\frac{a^{30} \cdot b^{36} \cdot a^6 b^6}{b^{40} \cdot a^{35}}$.Теперь, используя свойство умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, объединим степени с одинаковыми основаниями в числителе: $a^{30} \cdot a^6 = a^{30+6} = a^{36}$ и $b^{36} \cdot b^6 = b^{36+6} = b^{42}$.Выражение примет вид $\frac{a^{36}b^{42}}{a^{35}b^{40}}$.Наконец, применим свойство деления степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$\frac{a^{36}}{a^{35}} = a^{36-35} = a^1 = a$;$\frac{b^{42}}{b^{40}} = b^{42-40} = b^2$.В результате упрощения левая часть равна $ab^2$, что совпадает с правой частью $ab^2$. Таким образом, равенство является верным.Ответ: равенство верно.

2) Чтобы найти выражение, которое должно стоять в правой части равенства $\frac{(c^8 \cdot d^5)^{11} \cdot (c^7)^3 \cdot (d^4)^2}{(d^{31})^2 \cdot (c^{25})^4} = c^9d?$, упростим его левую часть.Сначала раскроем скобки, используя свойства $(x^m)^n = x^{mn}$ и $(xy)^n=x^ny^n$.В числителе:$(c^8 d^5)^{11} = c^{8 \cdot 11}d^{5 \cdot 11} = c^{88}d^{55}$;$(c^7)^3 = c^{7 \cdot 3} = c^{21}$;$(d^4)^2 = d^{4 \cdot 2} = d^8$.В знаменателе:$(d^{31})^2 = d^{31 \cdot 2} = d^{62}$;$(c^{25})^4 = c^{25 \cdot 4} = c^{100}$.Подставим упрощенные части в дробь: $\frac{c^{88}d^{55} \cdot c^{21} \cdot d^8}{d^{62} \cdot c^{100}}$.Далее, перемножим степени с одинаковыми основаниями в числителе, используя $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $c^{88} \cdot c^{21} = c^{88+21} = c^{109}$ и $d^{55} \cdot d^8 = d^{55+8} = d^{63}$.Дробь примет вид $\frac{c^{109}d^{63}}{c^{100}d^{62}}$.Наконец, разделим степени, используя $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:$\frac{c^{109}}{c^{100}} = c^{109-100} = c^9$;$\frac{d^{63}}{d^{62}} = d^{63-62} = d^1 = d$.Результат упрощения левой части равен $c^9d$. Следовательно, в правой части равенства на месте знака вопроса должно стоять $d$. Искомое выражение — $c^9d$.Ответ: $c^9d$.