Номер 9.27, страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.27. Докажите, что от n не зависит значение выражения:

1)

$\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$;

2)

$\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$;

3)

$\frac{0,2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0,04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $n$, необходимо упростить его и показать, что переменная $n$ сокращается.

Исходное выражение: $\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$.

Представим число $4$ в знаменателе как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда, используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем $4^{-n} = (2^2)^{-n} = 2^{-2n}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{2^{-2n} \cdot 3^{-1}}$

Сократим одинаковые множители $2^{-2n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3^{-2}}{3^{-1}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$3^{-2 - (-1)} = 3^{-2+1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Полученное значение $\frac{1}{3}$ является константой и не зависит от переменной $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от $n$.

Исходное выражение: $\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$.

Представим число $125$ в знаменателе как степень пятерки: $125 = 5^3$. Тогда $125^{-n} = (5^3)^{-n} = 5^{-3n}$.

Подставим полученное значение в выражение:

$\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{5^{-3n} \cdot 17^{-1}}$

Сократим общий множитель $5^{-3n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{34^{-2}}{17^{-1}}$

Теперь упростим оставшуюся часть. Используем свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$\frac{1 / 34^2}{1 / 17^1} = \frac{17}{34^2}$

Так как $34 = 2 \cdot 17$, то $34^2 = (2 \cdot 17)^2 = 2^2 \cdot 17^2 = 4 \cdot 17^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{17}{4 \cdot 17^2} = \frac{1}{4 \cdot 17} = \frac{1}{68}$

Результат $\frac{1}{68}$ является константой и не зависит от $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{68}$.

3) Для доказательства независимости значения выражения от $n$, упростим его.

Исходное выражение: $\frac{0.2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0.04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

Представим десятичные дроби в виде степеней с одинаковым основанием.

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(5^{-1})^{-2n} \cdot 13^{-2}}{(5^{-2})^{-n} \cdot 23^{-1}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$\frac{5^{-1 \cdot (-2n)} \cdot 13^{-2}}{5^{-2 \cdot (-n)} \cdot 23^{-1}} = \frac{5^{2n} \cdot 13^{-2}}{5^{2n} \cdot 23^{-1}}$

Сократим общий множитель $5^{2n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{13^{-2}}{23^{-1}}$

Используя свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, получим:

$\frac{1 / 13^2}{1 / 23^1} = \frac{23^1}{13^2} = \frac{23}{169}$

Полученное значение $\frac{23}{169}$ является константой и не зависит от $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{23}{169}$.