Страница 78 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9.24. Докажите, что при $a = 1, b = -1$ значения выражений равны:

1) $(a^5 \cdot b^6)^7 : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1$ и $(a^8b^2)^2 : (a^5b)^3 + 3;

2) $\frac{(a^4)^3 \cdot (b^{10})^2}{a^8 \cdot (b^5)^3} - 4$ и $\frac{(a^7)^4 \cdot (b^9)^2}{(a^5)^5 \cdot b^{16}} - 6.$

1) Для доказательства равенства значений выражений при $a=1$ и $b=-1$, сначала упростим каждое выражение, а затем подставим в него заданные значения.

Первое выражение: $(a⁵ \cdot b⁶)⁷ : (a³³ \cdot b⁴⁰) + 1$.
Используем свойства степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$(a⁵ \cdot b⁶)⁷ : (a³³ \cdot b⁴⁰) + 1 = (a^{5 \cdot 7} \cdot b^{6 \cdot 7}) : (a^{33} \cdot b^{40}) + 1 = (a^{35}b^{42}) : (a^{33}b^{40}) + 1$
$= a^{35-33}b^{42-40} + 1 = a^2b^2 + 1$.
Подставим значения $a=1$ и $b=-1$ в упрощенное выражение:
$1^2 \cdot (-1)^2 + 1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$.

Второе выражение: $(a⁸b²)² : (a⁵b)³ + 3$.
Упростим его аналогичным образом:
$(a⁸b²)² : (a⁵b)³ + 3 = (a^{8 \cdot 2}b^{2 \cdot 2}) : (a^{5 \cdot 3}b^3) + 3 = (a^{16}b^4) : (a^{15}b^3) + 3$
$= a^{16-15}b^{4-3} + 3 = a^1b^1 + 3 = ab + 3$.
Подставим значения $a=1$ и $b=-1$:
$1 \cdot (-1) + 3 = -1 + 3 = 2$.

Значения обоих выражений равны 2. Таким образом, доказано, что при $a=1$ и $b=-1$ значения выражений равны.
Ответ: значения выражений равны 2.

2) Рассмотрим вторую пару выражений и докажем их равенство при $a=1$ и $b=-1$.

Первое выражение: $ \frac{(a⁴)³ \cdot (b¹⁰)²}{a⁸ \cdot (b⁵)³} - 4 $.
Упростим выражение, используя свойства степеней:
$ \frac{a^{4 \cdot 3} \cdot b^{10 \cdot 2}}{a⁸ \cdot b^{5 \cdot 3}} - 4 = \frac{a^{12}b^{20}}{a⁸b^{15}} - 4 = a^{12-8}b^{20-15} - 4 = a^4b^5 - 4 $.
Подставим $a=1$ и $b=-1$ в полученное выражение:
$1^4 \cdot (-1)^5 - 4 = 1 \cdot (-1) - 4 = -1 - 4 = -5$.

Второе выражение: $ \frac{(a⁷)⁴ \cdot (b⁹)²}{(a⁵)⁵ \cdot b¹⁶} - 6 $.
Упростим его:
$ \frac{a^{7 \cdot 4} \cdot b^{9 \cdot 2}}{a^{5 \cdot 5} \cdot b^{16}} - 6 = \frac{a^{28}b^{18}}{a^{25}b^{16}} - 6 = a^{28-25}b^{18-16} - 6 = a^3b^2 - 6 $.
Подставим значения $a=1$ и $b=-1$:
$1^3 \cdot (-1)^2 - 6 = 1 \cdot 1 - 6 = 1 - 6 = -5$.

Значения обоих выражений равны -5. Равенство доказано.
Ответ: значения выражений равны -5.

9.25. Выполните действия и приведите выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей степеней:

1) $\frac{(a^{-3} \cdot x^4)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2};$

2) $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1};$

3) $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}.$

1) Исходное выражение: $\frac{(a^{-3} \cdot x^4)^2}{(a^{-2})^2 \cdot x^{-7}} \cdot 2^{-2}$.

Сначала преобразуем дробь, используя свойства степени: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

Числитель дроби: $(a^{-3} \cdot x^4)^2 = (a^{-3})^2 \cdot (x^4)^2 = a^{-3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2} = a^{-6}x^8$.

Знаменатель дроби: $(a^{-2})^2 \cdot x^{-7} = a^{-2 \cdot 2} \cdot x^{-7} = a^{-4}x^{-7}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{a^{-6}x^8}{a^{-4}x^{-7}} \cdot 2^{-2}$.

Упростим дробь, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{-6}}{a^{-4}} \cdot \frac{x^8}{x^{-7}} = a^{-6 - (-4)} \cdot x^{8 - (-7)} = a^{-6+4} \cdot x^{8+7} = a^{-2}x^{15}$.

Подставим результат обратно в выражение:

$a^{-2}x^{15} \cdot 2^{-2}$.

Чтобы избавиться от отрицательных показателей, воспользуемся свойством $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$\frac{1}{a^2} \cdot x^{15} \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{x^{15}}{a^2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{x^{15}}{4a^2}$.

Ответ: $\frac{x^{15}}{4a^2}$.

2) Исходное выражение: $\frac{(b^3 \cdot y^{-3})^2}{(b^2)^2 \cdot y^7} \cdot y^{-1}$.

Упростим числитель и знаменатель дроби:

Числитель: $(b^3 \cdot y^{-3})^2 = (b^3)^2 \cdot (y^{-3})^2 = b^{6}y^{-6}$.

Знаменатель: $(b^2)^2 \cdot y^7 = b^{4}y^7$.

Дробь принимает вид: $\frac{b^6y^{-6}}{b^4y^7}$.

Упрощаем дробь: $\frac{b^6}{b^4} \cdot \frac{y^{-6}}{y^7} = b^{6-4} \cdot y^{-6-7} = b^2y^{-13}$.

Теперь умножим полученное выражение на $y^{-1}$:

$b^2y^{-13} \cdot y^{-1}$.

Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$b^2y^{-13+(-1)} = b^2y^{-14}$.

Приведем выражение к виду, не содержащему отрицательных показателей:

$b^2 \cdot \frac{1}{y^{14}} = \frac{b^2}{y^{14}}$.

Ответ: $\frac{b^2}{y^{14}}$.

3) Исходное выражение: $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}} + \frac{2}{x^{-3}}$.

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{(3^3 \cdot x^4)^{-2}}{(3^2)^2 \cdot x^{-7}}$.

Числитель: $(3^3 \cdot x^4)^{-2} = (3^3)^{-2} \cdot (x^4)^{-2} = 3^{-6}x^{-8}$.

Знаменатель: $(3^2)^2 \cdot x^{-7} = 3^4x^{-7}$.

Первое слагаемое равно: $\frac{3^{-6}x^{-8}}{3^4x^{-7}} = 3^{-6-4} \cdot x^{-8-(-7)} = 3^{-10}x^{-1}$.

Второе слагаемое: $\frac{2}{x^{-3}}$. Используя свойство $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$, получаем: $2x^3$.

Теперь сложим упрощенные слагаемые: $3^{-10}x^{-1} + 2x^3$.

Избавимся от отрицательных степеней: $\frac{1}{3^{10}x} + 2x^3$.

Вычислим $3^{10}$: $3^{10} = (3^5)^2 = 243^2 = 59049$.

Выражение принимает вид: $\frac{1}{59049x} + 2x^3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю, чтобы выполнить сложение:

$\frac{1}{59049x} + \frac{2x^3 \cdot 59049x}{59049x} = \frac{1 + 118098x^4}{59049x}$.

Ответ: $\frac{1 + 118098x^4}{59049x}$.

9.26. Верно ли, что натуральным числом является значение выражения:

1) $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$ при $x = 0,5$ и $b = \frac{1}{3}$;

2) $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$ при $a = 0,1$ и $x = 2?

1) Для того чтобы определить, является ли значение выражения натуральным числом, сначала упростим его, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $\frac{(3^3 \cdot x)^2}{(x^2)^3 \cdot b^2}$

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правила возведения в степень произведения ($(ab)^n = a^n b^n$) и возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$):
Числитель: $(3^3 \cdot x)^2 = (3^3)^2 \cdot x^2 = 3^{3 \cdot 2} \cdot x^2 = 3^6 x^2$.
Знаменатель: $(x^2)^3 \cdot b^2 = x^{2 \cdot 3} \cdot b^2 = x^6 b^2$.

2. Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{3^6 x^2}{x^6 b^2}$

3. Сократим дробь, используя свойство частного степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{3^6}{x^{6-2} b^2} = \frac{3^6}{x^4 b^2}$

4. Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $x = 0,5$ и $b = \frac{1}{3}$. Для удобства вычислений представим $0,5$ в виде обыкновенной дроби: $x = \frac{1}{2}$.
$\frac{3^6}{(\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{3})^2} = \frac{3^6}{\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{9}} = \frac{3^6}{\frac{1}{144}}$

5. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$3^6 \cdot 144 = 729 \cdot 144 = 104976$.

Полученное значение $104976$ является целым положительным числом, то есть натуральным числом.

Ответ: Да, верно.

2) Аналогично первому пункту, сначала упростим выражение.

Исходное выражение: $\frac{(a^3 \cdot x^4)^2}{(a^2)^2 \cdot x^7}$

1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе:
Числитель: $(a^3 \cdot x^4)^2 = (a^3)^2 \cdot (x^4)^2 = a^{3 \cdot 2} \cdot x^{4 \cdot 2} = a^6 x^8$.
Знаменатель: $(a^2)^2 \cdot x^7 = a^{2 \cdot 2} \cdot x^7 = a^4 x^7$.

2. Подставим упрощенные части обратно в дробь:
$\frac{a^6 x^8}{a^4 x^7}$

3. Сократим дробь по свойствам степеней:
$a^{6-4} \cdot x^{8-7} = a^2 \cdot x^1 = a^2x$.

4. Теперь подставим в упрощенное выражение заданные значения $a = 0,1$ и $x = 2$:
$(0,1)^2 \cdot 2 = 0,01 \cdot 2 = 0,02$.

Полученное значение $0,02$ является дробным числом. Натуральные числа — это целые положительные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Следовательно, $0,02$ не является натуральным числом.

Ответ: Нет, неверно.

9.27. Докажите, что от n не зависит значение выражения:

1)

$\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$;

2)

$\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$;

3)

$\frac{0,2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0,04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от $n$, необходимо упростить его и показать, что переменная $n$ сокращается.

Исходное выражение: $\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{4^{-n} \cdot 3^{-1}}$.

Представим число $4$ в знаменателе как степень двойки: $4 = 2^2$. Тогда, используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем $4^{-n} = (2^2)^{-n} = 2^{-2n}$.

Подставим это в исходное выражение:

$\frac{2^{-2n} \cdot 3^{-2}}{2^{-2n} \cdot 3^{-1}}$

Сократим одинаковые множители $2^{-2n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3^{-2}}{3^{-1}}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$3^{-2 - (-1)} = 3^{-2+1} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

Полученное значение $\frac{1}{3}$ является константой и не зависит от переменной $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

2) Упростим данное выражение, чтобы доказать, что его значение не зависит от $n$.

Исходное выражение: $\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{125^{-n} \cdot 17^{-1}}$.

Представим число $125$ в знаменателе как степень пятерки: $125 = 5^3$. Тогда $125^{-n} = (5^3)^{-n} = 5^{-3n}$.

Подставим полученное значение в выражение:

$\frac{5^{-3n} \cdot 34^{-2}}{5^{-3n} \cdot 17^{-1}}$

Сократим общий множитель $5^{-3n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{34^{-2}}{17^{-1}}$

Теперь упростим оставшуюся часть. Используем свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$:

$\frac{1 / 34^2}{1 / 17^1} = \frac{17}{34^2}$

Так как $34 = 2 \cdot 17$, то $34^2 = (2 \cdot 17)^2 = 2^2 \cdot 17^2 = 4 \cdot 17^2$. Подставим это в дробь:

$\frac{17}{4 \cdot 17^2} = \frac{1}{4 \cdot 17} = \frac{1}{68}$

Результат $\frac{1}{68}$ является константой и не зависит от $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{1}{68}$.

3) Для доказательства независимости значения выражения от $n$, упростим его.

Исходное выражение: $\frac{0.2^{-2n} \cdot 13^{-2}}{0.04^{-n} \cdot 23^{-1}}$.

Представим десятичные дроби в виде степеней с одинаковым основанием.

$0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

$0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{(5^{-1})^{-2n} \cdot 13^{-2}}{(5^{-2})^{-n} \cdot 23^{-1}}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$\frac{5^{-1 \cdot (-2n)} \cdot 13^{-2}}{5^{-2 \cdot (-n)} \cdot 23^{-1}} = \frac{5^{2n} \cdot 13^{-2}}{5^{2n} \cdot 23^{-1}}$

Сократим общий множитель $5^{2n}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{13^{-2}}{23^{-1}}$

Используя свойство $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$, получим:

$\frac{1 / 13^2}{1 / 23^1} = \frac{23^1}{13^2} = \frac{23}{169}$

Полученное значение $\frac{23}{169}$ является константой и не зависит от $n$, что и требовалось доказать.

Ответ: $\frac{23}{169}$.

9.28. Выражением является только:

1. $728 + 327$;

2. $728 + 327$; $7a + 2b$

3. $728 + 327$; $7a + 2b$, 126

4. $728 + 327$; $7a + 2b$, 126, $152 < 200$.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, какие из представленных записей являются математическими выражениями, а какие — нет.

Математическое выражение — это запись, состоящая из чисел, переменных (букв), знаков математических операций и скобок. Выражение всегда представляет собой некоторое значение (которое можно вычислить, если оно числовое, или которое зависит от переменных, если оно буквенное). Отдельное число или переменная также считаются простейшими выражениями.

Равенство или неравенство — это не выражение, а утверждение, которое сравнивает два выражения. Например, запись $152 < 200$ является неравенством. Она утверждает, что значение выражения $152$ меньше значения выражения $200$.

Проанализируем каждый вариант ответа:

1. 728 + 327;
Этот вариант содержит только одну запись: $728 + 327$. Это числовое выражение, так как оно состоит из чисел и знака сложения. Таким образом, данный список содержит только выражения.

2. 728 + 327; 7a + 2b
Этот вариант содержит две записи: $728 + 327$ и $7a + 2b$. Обе являются математическими выражениями. Первая — числовое, вторая — буквенное (алгебраическое). Таким образом, этот список также содержит только выражения.

3. 728 + 327; 7a + 2b, 126
Этот вариант содержит три записи: $728 + 327$, $7a + 2b$ и $126$. Все три являются математическими выражениями (числовое, буквенное и число). Таким образом, и этот список содержит только выражения.

4. 728 + 327; 7a + 2b, 126, 152 < 200.
Этот вариант содержит три выражения ($728 + 327$, $7a + 2b$, $126$) и одну запись $152 < 200$, которая является неравенством. Поскольку в списке присутствует элемент, не являющийся выражением, этот вариант не удовлетворяет условию "является только выражением".

Вывод: Условию "содержит только выражения" соответствуют варианты 1, 2 и 3. В таких случаях, когда в тестовом задании с единственным правильным ответом подходят несколько вариантов, следует выбирать наиболее полный и исчерпывающий. Вариант 3 является самым полным списком, состоящим исключительно из выражений, которые представлены в задаче. Он включает в себя все виды представленных выражений и при этом не содержит посторонних элементов, как в варианте 4.

Ответ: 3

9.29. Найдите значение выражения:

1) $(327 \cdot 14 - 4577) \cdot 11^0;$

2) $(32 \cdot 74 - 45 \cdot 52) : 14 \cdot (-3)^0.$

1) Чтобы найти значение выражения $(327 \cdot 14 - 4577) \cdot 11^0$, необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала операции в скобках, затем возведение в степень и умножение.
Сначала вычислим значение выражения в скобках. Первым действием выполним умножение:
$327 \cdot 14 = 4578$.
Теперь выполним вычитание:
$4578 - 4577 = 1$.
Далее, согласно свойствам степени, любое ненулевое число в нулевой степени равно 1:
$11^0 = 1$.
Наконец, умножим результат, полученный в скобках, на $11^0$:
$1 \cdot 1 = 1$.
Ответ: 1

2) Чтобы найти значение выражения $(32 \cdot 74 - 45 \cdot 52) : 14 \cdot (-3)^0$, действия выполняются в следующем порядке: сначала действия в скобках (умножение, затем вычитание), затем возведение в степень, и в конце деление и умножение слева направо.
Вычислим значение в скобках. Сначала умножение:
$32 \cdot 74 = 2368$.
$45 \cdot 52 = 2340$.
Теперь вычитание:
$2368 - 2340 = 28$.
Далее, вычислим значение $(-3)^0$. Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1:
$(-3)^0 = 1$.
Теперь исходное выражение можно переписать так: $28 : 14 \cdot 1$.
Выполним оставшиеся действия слева направо. Сначала деление:
$28 : 14 = 2$.
Затем умножение:
$2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2