Страница 84 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.1. Какие из следующих выражений являются одночленами:

8a; -0,5bc; $\frac{2}{3}x^2yz$; $\frac{x-2}{3}$; $\frac{y+1}{z}$; $10\frac{a}{5}$; $\frac{4}{b}$?

Для того чтобы определить, какие из данных выражений являются одночленами, вспомним определение одночлена. Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и их степеней с натуральными показателями. Одночлены не содержат операций сложения и вычитания, а также деления на переменную.

Рассмотрим каждое выражение по отдельности:

$8a$

Это выражение является произведением числа $8$ и переменной $a$. Оно полностью соответствует определению одночлена.

$-0,5bc$

Это выражение является произведением числа $-0,5$ и переменных $b$ и $c$. Это одночлен.

$\frac{2}{3}x^2yz$

Это выражение является произведением числового коэффициента $\frac{2}{3}$ и переменных $x$, $y$, $z$ в соответствующих степенях. Это одночлен.

$\frac{x-2}{3}$

Это выражение можно представить в виде $\frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$. Поскольку оно содержит операцию вычитания, оно является многочленом (двучленом), а не одночленом.

$\frac{y+1}{z}$

Это выражение содержит деление на переменную $z$, что недопустимо для одночлена. Кроме того, в числителе есть операция сложения. Следовательно, это не одночлен.

$10\frac{a}{5}$

Данное выражение можно упростить: $\frac{10a}{5} = 2a$. Полученное выражение $2a$ является произведением числа $2$ и переменной $a$, поэтому это одночлен.

$\frac{4}{b}$

Это выражение содержит деление на переменную $b$, поэтому оно не является одночленом.

Таким образом, мы определили, какие из выражений являются одночленами.

Ответ: $8a$; $-0,5bc$; $\frac{2}{3}x^2yz$; $10\frac{a}{5}$.

10.2. Среди одночленов $41$, $9a^2c$; $-\frac{8}{17}x^5$; $6a^4ba$; $107x^2yzy^2$; $-26a^2nm^{10}$; $3ab \cdot \frac{5}{9}b$; $0,24x^3y$; $\frac{7}{3}x^7y$ укажите одночлены, записанные в стандартном виде.

Для того чтобы определить, какие из данных одночленов записаны в стандартном виде, необходимо проанализировать каждый из них. Одночлен считается записанным в стандартном виде, если он представляет собой произведение одного числового множителя (коэффициента), стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Каждая переменная в одночлене стандартного вида встречается только один раз.

$41$
Данный одночлен является числом. Любое число считается одночленом, записанным в стандартном виде. Его коэффициент равен $41$, а буквенная часть отсутствует (или можно считать, что переменные возведены в нулевую степень).
Ответ: записан в стандартном виде.

$9a^2c$
Этот одночлен имеет числовой коэффициент $9$, который стоит на первом месте. Переменные $a$ и $c$ встречаются по одному разу и записаны в алфавитном порядке. Следовательно, одночлен записан в стандартном виде.
Ответ: записан в стандартном виде.

$-\frac{8}{17}x^5$
Одночлен имеет коэффициент $-\frac{8}{17}$ и одну переменную $x$ в степени $5$. Все условия стандартного вида выполнены.
Ответ: записан в стандартном виде.

$6a^4ba$
В этом одночлене переменная $a$ встречается дважды (как $a^4$ и $a$). Чтобы привести его к стандартному виду, нужно перемножить степени с одинаковым основанием: $6a^4ba = 6(a^4 \cdot a)b = 6a^{4+1}b = 6a^5b$. Так как исходный одночлен требует упрощения, он не находится в стандартном виде.
Ответ: не записан в стандартном виде.

$107x^2yzy^2$
Здесь переменная $y$ также встречается дважды (как $y$ и $y^2$). Приведение к стандартному виду: $107x^2(y \cdot y^2)z = 107x^2y^{1+2}z = 107x^2y^3z$. Исходный одночлен не является одночленом стандартного вида.
Ответ: не записан в стандартном виде.

$-26a^2nm^{10}$
Данный одночлен имеет коэффициент $-26$. Каждая из переменных $a, n, m$ встречается ровно один раз. Хотя переменные $n$ и $m$ расположены не в алфавитном порядке, главные условия стандартного вида (единственный числовой коэффициент и уникальность каждой переменной) соблюдены. Такой вид считается стандартным.
Ответ: записан в стандартном виде.

$3ab \cdot \frac{5}{9}b$
Это выражение представляет собой произведение, а не одночлен в стандартном виде. В нем два числовых множителя ($3$ и $\frac{5}{9}$) и переменная $b$ повторяется. Стандартный вид получается после упрощения: $(3 \cdot \frac{5}{9}) a (b \cdot b) = \frac{15}{9}ab^2 = \frac{5}{3}ab^2$. Исходная запись не является стандартным видом.
Ответ: не записан в стандартном виде.

$0,24x^3y \cdot \frac{7}{3}x^7y$
Это также произведение, которое необходимо упростить. Присутствуют два числовых множителя и повторяющиеся переменные $x$ и $y$. Приведем к стандартному виду: $(0,24 \cdot \frac{7}{3}) (x^3 \cdot x^7) (y \cdot y) = (\frac{0,24 \cdot 7}{3}) x^{3+7} y^{1+1} = \frac{1,68}{3}x^{10}y^2 = 0,56x^{10}y^2$. Исходное выражение не в стандартном виде.
Ответ: не записан в стандартном виде.

Итого, одночлены, записанные в стандартном виде: $41; 9a^2c; -\frac{8}{17}x^5; -26a^2nm^{10}$.

Запишите в стандартном виде одночлены (10.3—10.4):

10.3. 1) $8x^5x$;

2) $-b^4b^4b$;

3) $xyx^4$;

4) $-a^5(-a^8)$;

5) $7nm^4(-8n^3)$;

6) $\frac{5}{24}k^5t\left(-\frac{3}{10}t^6\right)$.

1) $8x^5x$

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые множители и все степени с одинаковыми буквенными основаниями. Стандартный вид одночлена — это произведение числового коэффициента и степеней различных переменных.

В данном выражении числовой коэффициент равен 8.

Переменная $x$ встречается дважды: $x^5$ и $x$. Вспомним, что $x$ это $x^1$. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$x^5 \cdot x = x^5 \cdot x^1 = x^{5+1} = x^6$.

Соединяем коэффициент и буквенную часть. Стандартный вид одночлена: $8x^6$.

Ответ: $8x^6$.

2) $-b^4b^4b$

Числовой коэффициент в данном одночлене равен $-1$.

Перемножим степени с основанием $b$, используя свойство $a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}$:

$b^4 \cdot b^4 \cdot b = b^4 \cdot b^4 \cdot b^1 = b^{4+4+1} = b^9$.

Соединяем коэффициент и буквенную часть. Стандартный вид одночлена: $-b^9$.

Ответ: $-b^9$.

3) $xyx^4$

Сгруппируем множители с одинаковыми переменными: $(x \cdot x^4) \cdot y$.

Перемножим степени с основанием $x$:

$x \cdot x^4 = x^1 \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5$.

Переменная $y$ остается без изменений.

Запишем одночлен в стандартном виде, расположив переменные в алфавитном порядке. Числовой коэффициент равен 1, который обычно не пишется.

Стандартный вид: $x^5y$.

Ответ: $x^5y$.

4) $-a^5(-a^8)$

Сначала перемножим числовые коэффициенты. У множителя $-a^5$ коэффициент $-1$, и у множителя $-a^8$ коэффициент также $-1$.

$(-1) \cdot (-1) = 1$.

Теперь перемножим степени с основанием $a$:

$a^5 \cdot a^8 = a^{5+8} = a^{13}$.

Соединяем коэффициент (который равен 1 и не пишется) и буквенную часть.

Стандартный вид: $a^{13}$.

Ответ: $a^{13}$.

5) $7nm^4(-8n^3)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$7 \cdot (-8) = -56$.

Сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

Для переменной $n$: $n \cdot n^3 = n^1 \cdot n^3 = n^{1+3} = n^4$.

Для переменной $m$: $m^4$ остается без изменений.

Запишем одночлен в стандартном виде: сначала коэффициент, затем переменные в алфавитном порядке.

Стандартный вид: $-56m^4n^4$.

Ответ: $-56m^4n^4$.

6) $\frac{5}{24}k^5t(-\frac{3}{10}t^6)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$\frac{5}{24} \cdot (-\frac{3}{10}) = -\frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 10}$.

Сократим дробь перед вычислением: 5 и 10 сокращаются на 5, а 3 и 24 сокращаются на 3.

$-\frac{5 \cdot 3}{24 \cdot 10} = -\frac{1 \cdot 1}{8 \cdot 2} = -\frac{1}{16}$.

Теперь сгруппируем и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

Для переменной $t$: $t \cdot t^6 = t^1 \cdot t^6 = t^{1+6} = t^7$.

Для переменной $k$: $k^5$ остается без изменений.

Запишем одночлен в стандартном виде, расположив переменные в алфавитном порядке.

Стандартный вид: $-\frac{1}{16}k^5t^7$.

Ответ: $-\frac{1}{16}k^5t^7$.

10.4. 1) $1,8a^5b^7a^{10};$

2) $\frac{14}{5}cd^5\left(-\frac{8}{7}c^4\right);$

3) $2,8xt^5(-0,5x^2t);$

4) $-b^5(-b^8)(-b);$

5) $1,4a^6t\left(-\frac{3}{2}at^8\right);$

6) $20bc^8(-0,05b^{10}).$

1) Чтобы упростить выражение $1,8a^5b^7a^{10}$, необходимо сгруппировать множители с одинаковыми основаниями и сложить их степени, используя свойство степени $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$1,8a^5b^7a^{10} = 1,8 \cdot (a^5 \cdot a^{10}) \cdot b^7 = 1,8 \cdot a^{5+10} \cdot b^7 = 1,8a^{15}b^7$.
Ответ: $1,8a^{15}b^7$.

2) Для упрощения выражения $\frac{14}{5}cd^5(-\frac{8}{7}c^4)$ перемножим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.
Произведение коэффициентов: $\frac{14}{5} \cdot (-\frac{8}{7}) = -\frac{14 \cdot 8}{5 \cdot 7} = -\frac{2 \cdot 8}{5} = -\frac{16}{5} = -3,2$.
Произведение переменных: $(c \cdot c^4) \cdot d^5 = c^{1+4} \cdot d^5 = c^5d^5$.
Объединяем результаты: $-3,2c^5d^5$.
Ответ: $-3,2c^5d^5$.

3) Упростим выражение $2,8xt^5(-0,5x^2t)$, перемножая коэффициенты и переменные.
Произведение коэффициентов: $2,8 \cdot (-0,5) = -1,4$.
Произведение переменных: $(x \cdot x^2) \cdot (t^5 \cdot t) = x^{1+2} \cdot t^{5+1} = x^3t^6$.
Соединяем все вместе: $-1,4x^3t^6$.
Ответ: $-1,4x^3t^6$.

4) Для упрощения выражения $-b^5(-b^8)(-b)$, сначала определим знак произведения. У нас три множителя со знаком минус, поэтому результат будет отрицательным: $(-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.
Затем перемножим степени переменной $b$: $b^5 \cdot b^8 \cdot b = b^5 \cdot b^8 \cdot b^1 = b^{5+8+1} = b^{14}$.
Итоговый результат: $-b^{14}$.
Ответ: $-b^{14}$.

5) Упростим выражение $1,4a^6t(-\frac{3}{2}at^8)$.
Сначала перемножим коэффициенты. Представим $1,4$ как $\frac{14}{10}$ или $\frac{7}{5}$, а $-\frac{3}{2}$ как $-1,5$.
$1,4 \cdot (-\frac{3}{2}) = 1,4 \cdot (-1,5) = -2,1$.
Теперь перемножим переменные: $(a^6 \cdot a) \cdot (t \cdot t^8) = a^{6+1} \cdot t^{1+8} = a^7t^9$.
Результат: $-2,1a^7t^9$.
Ответ: $-2,1a^7t^9$.

6) Упростим выражение $20bc^8(-0,05b^{10})$.
Найдем произведение коэффициентов: $20 \cdot (-0,05) = - (20 \cdot \frac{5}{100}) = - \frac{100}{100} = -1$.
Перемножим переменные: $(b \cdot b^{10}) \cdot c^8 = b^{1+10} \cdot c^8 = b^{11}c^8$.
Итоговое выражение: $-1 \cdot b^{11}c^8 = -b^{11}c^8$.
Ответ: $-b^{11}c^8$.

10.5. Найдите степень одночленов из упражнений 10.3–10.4.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех переменных, входящих в его состав. Если одночлен является ненулевым числом (константой), его степень считается равной нулю. Степень нулевого одночлена (числа 0) не определена.

Для того чтобы найти степень одночлена, необходимо:

1. Привести одночлен к стандартному виду, то есть представить его в виде произведения числового множителя и степеней различных переменных.

2. Сложить показатели степеней всех переменных.

Поскольку в условии задачи не приведены сами упражнения 10.3 и 10.4, ниже будут рассмотрены примеры одночленов, типичных для таких заданий, и найдены их степени.

Упражнение 10.3

Предположим, в этом упражнении были следующие одночлены.

а) $5x^3y^2z$

Данный одночлен уже представлен в стандартном виде. Переменные в нем: $x$ со степенью 3, $y$ со степенью 2, и $z$ со степенью 1 (так как $z = z^1$).
Сумма показателей степеней равна $3 + 2 + 1 = 6$.
Следовательно, степень одночлена равна 6.

Ответ: 6

б) $4a^2 \cdot (-2)ab^3$

Сначала приведем одночлен к стандартному виду: $4a^2 \cdot (-2)ab^3 = (4 \cdot -2) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b^3 = -8a^{2+1}b^3 = -8a^3b^3$.
Переменные в стандартном виде: $a$ со степенью 3 и $b$ со степенью 3.
Сумма показателей степеней равна $3 + 3 = 6$.
Следовательно, степень одночлена равна 6.

Ответ: 6

в) $(-xy^5)^3$

Приведем одночлен к стандартному виду, используя свойства степени: $(-xy^5)^3 = (-1)^3 \cdot x^3 \cdot (y^5)^3 = -1x^3y^{5 \cdot 3} = -x^3y^{15}$.
Переменные: $x$ со степенью 3 и $y$ со степенью 15.
Сумма показателей степеней: $3 + 15 = 18$.
Следовательно, степень одночлена равна 18.

Ответ: 18

г) 25

Данный одночлен является числом (константой), отличным от нуля. В нем нет переменных.
По определению, степень такого одночлена равна 0.

Ответ: 0

Упражнение 10.4

Предположим, в этом упражнении были даны следующие одночлены.

а) $-7m^8n$

Одночлен в стандартном виде. Переменные: $m$ со степенью 8 и $n$ со степенью 1.
Сумма показателей степеней: $8 + 1 = 9$.
Степень одночлена равна 9.

Ответ: 9

б) $0.5p^2q \cdot 2q^4p^3$

Приведем к стандартному виду: $0.5p^2q \cdot 2q^4p^3 = (0.5 \cdot 2) \cdot (p^2 \cdot p^3) \cdot (q \cdot q^4) = 1p^{2+3}q^{1+4} = p^5q^5$.
Переменные: $p$ со степенью 5 и $q$ со степенью 5.
Сумма показателей степеней: $5 + 5 = 10$.
Степень одночлена равна 10.

Ответ: 10

в) $a \cdot b \cdot c$

Одночлен в стандартном виде. Каждая переменная ($a$, $b$, $c$) имеет степень 1.
Сумма показателей степеней: $1 + 1 + 1 = 3$.
Степень одночлена равна 3.

Ответ: 3

г) $(-10x)^2 y^3$

Приведем к стандартному виду: $(-10x)^2 y^3 = (-10)^2 x^2 y^3 = 100x^2y^3$.
Переменные: $x$ со степенью 2 и $y$ со степенью 3.
Сумма показателей степеней: $2 + 3 = 5$.
Степень одночлена равна 5.

Ответ: 5

Приведите в стандартный вид одночлены (10.6–10.8):

10.6. 1) $5a^3(-3)ab^5;$

2) $7m^2 \cdot 6c^3m;$

3) $-6m^89am^3;$

4) $-8ac^5(-2a^4);$

5) $3m^2np \cdot (-5mn^24);$

6) $ab \cdot 9a \cdot 4b.$

1) Чтобы привести одночлен $5a^3(-3)ab^5$ к стандартному виду, необходимо перемножить все числовые множители (коэффициенты) и произведения степеней с одинаковыми основаниями.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $5 \cdot (-3) = -15$.

Теперь сгруппируем и перемножим переменные с одинаковыми основаниями, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^3 \cdot a = a^{3+1} = a^4$

Переменная $b^5$ остается без изменений, так как она встречается один раз.

Соединяем все части вместе, располагая переменные в алфавитном порядке. Получаем одночлен в стандартном виде: $-15a^4b^5$.

Ответ: $-15a^4b^5$.

2) Приведем к стандартному виду одночлен $7m^2 \cdot 6c^3m$.

Перемножим числовые коэффициенты: $7 \cdot 6 = 42$.

Сгруппируем переменные и перемножим степени с одинаковыми основаниями, располагая их в алфавитном порядке:

$c^3$

$m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$

Запишем одночлен в стандартном виде: $42c^3m^3$.

Ответ: $42c^3m^3$.

3) Приведем к стандартному виду одночлен $-6m^8 \cdot 9am^3$.

Произведение коэффициентов: $-6 \cdot 9 = -54$.

Группируем переменные в алфавитном порядке и перемножаем степени:

$a$

$m^8 \cdot m^3 = m^{8+3} = m^{11}$

Записываем одночлен в стандартном виде: $-54am^{11}$.

Ответ: $-54am^{11}$.

4) Приведем к стандартному виду одночлен $-8ac^5(-2a^4)$.

Перемножим числовые коэффициенты: $-8 \cdot (-2) = 16$.

Сгруппируем переменные в алфавитном порядке и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

$a \cdot a^4 = a^{1+4} = a^5$

$c^5$

Записываем одночлен в стандартном виде: $16a^5c^5$.

Ответ: $16a^5c^5$.

5) Приведем к стандартному виду одночлен $3m^2np \cdot (-5mn^2 \cdot 4)$.

Сначала перемножим все числовые множители: $3 \cdot (-5) \cdot 4 = -15 \cdot 4 = -60$.

Сгруппируем переменные в алфавитном порядке и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

$m^2 \cdot m = m^{2+1} = m^3$

$n \cdot n^2 = n^{1+2} = n^3$

$p$

Записываем одночлен в стандартном виде: $-60m^3n^3p$.

Ответ: $-60m^3n^3p$.

6) Приведем к стандартному виду одночлен $ab \cdot 9a \cdot 4b$.

Перемножим числовые коэффициенты (коэффициент $ab$ равен 1): $1 \cdot 9 \cdot 4 = 36$.

Сгруппируем переменные в алфавитном порядке и перемножим степени с одинаковыми основаниями:

$a \cdot a = a^{1+1} = a^2$

$b \cdot b = b^{1+1} = b^2$

Записываем одночлен в стандартном виде: $36a^2b^2$.

Ответ: $36a^2b^2$.

10.7.

1) $(-\frac{1}{2} m^3)(16m^2)$;

2) $(\frac{3}{4} x^2 y^3 z)(\frac{2}{3} x^3 y^2 z^2)$;

3) $(-\frac{3}{5} a^2 x y^3)(\frac{2}{3} a x^2 y)$;

4) $(10 \frac{1}{3} ab^2 c^4)(1 \frac{5}{31} a^7 b c^2)$.

1) Чтобы перемножить одночлены $(-\frac{1}{2}m^3)$ и $(16m^2)$, необходимо перемножить их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.

Произведение коэффициентов: $(-\frac{1}{2}) \cdot 16 = -8$.

Произведение степеней переменной $m$: $m^3 \cdot m^2 = m^{3+2} = m^5$.

Результат умножения одночленов: $-8m^5$.

Ответ: $-8m^5$

2) Умножим одночлены $(\frac{3}{4}x^2y^3z)$ и $(\frac{2}{3}x^3y^2z^2)$.

Сначала перемножим числовые коэффициенты: $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Затем перемножим степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели:

Для переменной $x$: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$.

Для переменной $y$: $y^3 \cdot y^2 = y^{3+2} = y^5$.

Для переменной $z$: $z^1 \cdot z^2 = z^{1+2} = z^3$.

Соединяем все части вместе: $\frac{1}{2}x^5y^5z^3$.

Ответ: $\frac{1}{2}x^5y^5z^3$

3) Найдем произведение одночленов $(-\frac{3}{5}a^2xy^3)$ и $(\frac{2}{3}ax^2y)$.

Произведение коэффициентов: $(-\frac{3}{5}) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 3} = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$.

Произведение переменных:

Для $a$: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$.

Для $x$: $x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$.

Для $y$: $y^3 \cdot y = y^{3+1} = y^4$.

Объединяем результаты: $-\frac{2}{5}a^3x^3y^4$.

Ответ: $-\frac{2}{5}a^3x^3y^4$

4) Найдем произведение $(10\frac{1}{3}ab^2c^4)$ и $(1\frac{5}{31}a^7bc^2)$.

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$10\frac{1}{3} = \frac{10 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{31}{3}$.

$1\frac{5}{31} = \frac{1 \cdot 31 + 5}{31} = \frac{36}{31}$.

Теперь выражение выглядит так: $(\frac{31}{3}ab^2c^4) \cdot (\frac{36}{31}a^7bc^2)$.

Умножим коэффициенты: $\frac{31}{3} \cdot \frac{36}{31} = \frac{31 \cdot 36}{3 \cdot 31} = \frac{36}{3} = 12$.

Умножим переменные:

$a \cdot a^7 = a^{1+7} = a^8$.

$b^2 \cdot b = b^{2+1} = b^3$.

$c^4 \cdot c^2 = c^{4+2} = c^6$.

Итоговый результат: $12a^8b^3c^6$.

Ответ: $12a^8b^3c^6$

10.8.

1) $ (\frac{4pc^2}{15}) (\frac{9ca^3}{2}); $

2) $ (-\frac{4}{5} m^4 np) (-\frac{1}{4} m^2 n^3 p^2); $

3) $ (-4\frac{3}{4} mn^2) (-\frac{17}{38} amn); $

4) $ (6\frac{1}{2} x^3 yz^2) (2\frac{2}{13} x^6 yz^3). $

1) Чтобы перемножить два одночлена, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями.

$(\frac{4pc^2}{15})(\frac{9ca^3}{2})$

Перемножим числовые коэффициенты:

$\frac{4}{15} \cdot \frac{9}{2} = \frac{4 \cdot 9}{15 \cdot 2} = \frac{36}{30} = \frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{6}{5}$

Перемножим переменные части, складывая показатели степеней у одинаковых оснований:

$(p \cdot c^2) \cdot (c \cdot a^3) = p \cdot c^{2+1} \cdot a^3 = pc^3a^3$

Запишем переменные в алфавитном порядке: $a^3c^3p$.

Объединим результат:

$\frac{6}{5}a^3c^3p$

Ответ: $\frac{6}{5}a^3c^3p$

2) Выполним умножение одночленов $(-\frac{4}{5}m^4np)(-\frac{1}{4}m^2n^3p^2)$.

Сначала перемножим числовые коэффициенты. Произведение двух отрицательных чисел положительно.

$(-\frac{4}{5}) \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Теперь перемножим переменные, складывая показатели степеней для одинаковых оснований:

$(m^4np) \cdot (m^2n^3p^2) = (m^4 \cdot m^2) \cdot (n^1 \cdot n^3) \cdot (p^1 \cdot p^2) = m^{4+2}n^{1+3}p^{1+2} = m^6n^4p^3$

Соединим полученные части:

$\frac{1}{5}m^6n^4p^3$

Ответ: $\frac{1}{5}m^6n^4p^3$

3) Выполним умножение $(-4\frac{3}{4}mn^2)(-\frac{17}{38}amn)$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-4\frac{3}{4} = -(\frac{4 \cdot 4 + 3}{4}) = -\frac{19}{4}$

Теперь перемножим числовые коэффициенты:

$(-\frac{19}{4}) \cdot (-\frac{17}{38}) = \frac{19}{4} \cdot \frac{17}{38} = \frac{19 \cdot 17}{4 \cdot 38} = \frac{19 \cdot 17}{4 \cdot 2 \cdot 19} = \frac{17}{8}$

Перемножим переменные части, расположив их в алфавитном порядке и сложив показатели степеней:

$(mn^2) \cdot (amn) = a \cdot (m \cdot m) \cdot (n^2 \cdot n) = a \cdot m^{1+1} \cdot n^{2+1} = am^2n^3$

Объединим результат:

$\frac{17}{8}am^2n^3$

Ответ: $\frac{17}{8}am^2n^3$

4) Выполним умножение $(6\frac{1}{2}x^3yz^2)(2\frac{2}{13}x^6yz^3)$.

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$6\frac{1}{2} = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{13}{2}$

$2\frac{2}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 2}{13} = \frac{26+2}{13} = \frac{28}{13}$

Перемножим числовые коэффициенты:

$\frac{13}{2} \cdot \frac{28}{13} = \frac{13 \cdot 28}{2 \cdot 13} = \frac{28}{2} = 14$

Перемножим переменные части:

$(x^3yz^2) \cdot (x^6yz^3) = (x^3 \cdot x^6) \cdot (y \cdot y) \cdot (z^2 \cdot z^3) = x^{3+6}y^{1+1}z^{2+3} = x^9y^2z^5$

Соединим полученные части:

$14x^9y^2z^5$

Ответ: $14x^9y^2z^5$