Страница 89 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Приведите подобные члены многочлена (11.4–11.6):

11.4.

1) В многочлене $13a - 2bc + 19bc$ подобными членами являются слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть. В данном случае это $-2bc$ и $19bc$. Член $13a$ не имеет подобных. Чтобы привести подобные члены, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.
$-2bc + 19bc = (-2 + 19)bc = 17bc$.
Теперь запишем исходный многочлен с приведенными подобными членами: $13a + 17bc$.
Ответ: $13a + 17bc$.

2) В многочлене $10nm + 9x - 20nm$ подобными членами являются $10nm$ и $-20nm$. Член $9x$ не имеет подобных. Приведем подобные члены, сложив их коэффициенты.
$10nm - 20nm = (10 - 20)nm = -10nm$.
Запишем итоговый многочлен: $-10nm + 9x$.
Ответ: $-10nm + 9x$.

3) В многочлене $0,7b^2 + 20a + 2,0b^2$ подобными членами являются $0,7b^2$ и $2,0b^2$. Член $20a$ не имеет подобных. Приведем подобные члены.
$0,7b^2 + 2,0b^2 = (0,7 + 2,0)b^2 = 2,7b^2$.
Запишем итоговый многочлен, расположив члены в стандартном виде (по убыванию степеней, затем по алфавиту): $2,7b^2 + 20a$.
Ответ: $2,7b^2 + 20a$.

4) В многочлене $5xy - 34xy + 3,3a$ подобными членами являются $5xy$ и $-34xy$. Член $3,3a$ не имеет подобных. Приведем подобные члены.
$5xy - 34xy = (5 - 34)xy = -29xy$.
Запишем итоговый многочлен: $-29xy + 3,3a$.
Ответ: $-29xy + 3,3a$.

5) В многочлене $9,3c + 4,5d^3 - 5,1d^3$ подобными членами являются $4,5d^3$ и $-5,1d^3$. Член $9,3c$ не имеет подобных. Приведем подобные члены.
$4,5d^3 - 5,1d^3 = (4,5 - 5,1)d^3 = -0,6d^3$.
Запишем итоговый многочлен: $9,3c - 0,6d^3$.
Ответ: $9,3c - 0,6d^3$.

6) В многочлене $0,8t^4 + 2,4c - 2,1t^4$ подобными членами являются $0,8t^4$ и $-2,1t^4$. Член $2,4c$ не имеет подобных. Приведем подобные члены.
$0,8t^4 - 2,1t^4 = (0,8 - 2,1)t^4 = -1,3t^4$.
Запишем итоговый многочлен: $-1,3t^4 + 2,4c$.
Ответ: $-1,3t^4 + 2,4c$.

11.5.

1) $x^4 + a^2 - 6x^4 + 7a^2;$

2) $3y^3 - ab + 8y^3 + 9ab;$

3) $2ab^2 - nm - 5ab^2 + 6nm;$

4) $12c^2d - 7kt^2 + 8kt^2 - 10c^2d;$

5) $a^8c + 13a^8c - a^2d;$

6) $4x^3y - 6an + 2,1an - 7x^3y.$

1) В выражении $x^4 + a^2 - 6x^4 + 7a^2$ необходимо привести подобные слагаемые. Подобными слагаемыми являются те, у которых одинаковая буквенная часть. Сгруппируем слагаемые с $x^4$ и слагаемые с $a^2$: $(x^4 - 6x^4) + (a^2 + 7a^2)$. Теперь выполним действия с их коэффициентами: $(1-6)x^4 + (1+7)a^2 = -5x^4 + 8a^2$.
Ответ: $-5x^4 + 8a^2$.

2) В выражении $3y^3 - ab + 8y^3 + 9ab$ сгруппируем подобные слагаемые: $(3y^3 + 8y^3) + (-ab + 9ab)$. Сложим коэффициенты у подобных членов: $(3+8)y^3 + (-1+9)ab = 11y^3 + 8ab$.
Ответ: $11y^3 + 8ab$.

3) В выражении $2ab^2 - nm - 5ab^2 + 6nm$ подобными являются члены $2ab^2$ и $-5ab^2$, а также $-nm$ и $6nm$. Сгруппируем их и приведем: $(2ab^2 - 5ab^2) + (-nm + 6nm)$. Выполним вычитание и сложение коэффициентов: $(2-5)ab^2 + (-1+6)nm = -3ab^2 + 5nm$.
Ответ: $5nm - 3ab^2$.

4) В выражении $12c^2d - 7kt^2 + 8kt^2 - 10c^2d$ сгруппируем подобные слагаемые: $(12c^2d - 10c^2d) + (-7kt^2 + 8kt^2)$. Выполним действия с коэффициентами: $(12-10)c^2d + (-7+8)kt^2 = 2c^2d + 1kt^2 = 2c^2d + kt^2$.
Ответ: $2c^2d + kt^2$.

5) В выражении $a^8c + 13a^8c - a^2d$ подобными являются только слагаемые $a^8c$ и $13a^8c$. Слагаемое $-a^2d$ не имеет подобных. Упростим выражение: $(1a^8c + 13a^8c) - a^2d = (1+13)a^8c - a^2d = 14a^8c - a^2d$.
Ответ: $14a^8c - a^2d$.

6) В выражении $4x^3y - 6an + 2.1an - 7x^3y$ сгруппируем подобные слагаемые: $(4x^3y - 7x^3y) + (-6an + 2.1an)$. Выполним действия с коэффициентами: $(4-7)x^3y + (-6+2.1)an = -3x^3y - 3.9an$.
Ответ: $-3x^3y - 3.9an$.

11.6. 1) $8\frac{2}{3}x^3 - 16ay^2 + 9ay^2 - 9x^3;$

2) $27a^2z - 24,89a^2z + 3\frac{1}{5}y^2 - 15y^2;$

3) $3,12ab + 7\frac{5}{6}m^3 - 4\frac{1}{6}m^3 + 16,82ab;$

4) $19,2x^2 - 30\frac{1}{9}kt + 31kt - 20x^2.$

1) Для упрощения выражения $8\frac{2}{3}x^3 - 16ay^2 + 9ay^2 - 9x^3$ необходимо привести подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x^3$ и слагаемые с переменными $ay^2$:
$(8\frac{2}{3}x^3 - 9x^3) + (-16ay^2 + 9ay^2)$
Теперь выполним действия с коэффициентами в каждой группе.
Для первой группы: $8\frac{2}{3} - 9 = \frac{26}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{1}{3}$. Получаем $-\frac{1}{3}x^3$.
Для второй группы: $-16 + 9 = -7$. Получаем $-7ay^2$.
Сложим полученные результаты: $-\frac{1}{3}x^3 - 7ay^2$.
Ответ: $-\frac{1}{3}x^3 - 7ay^2$.

2) Для упрощения выражения $27a^2z - 24,89a^2z + 3\frac{1}{5}y^2 - 15y^2$ приведем подобные слагаемые.
Сгруппируем слагаемые с переменными $a^2z$ и слагаемые с переменной $y^2$:
$(27a^2z - 24,89a^2z) + (3\frac{1}{5}y^2 - 15y^2)$
Выполним действия с коэффициентами в каждой группе.
Для первой группы: $27 - 24,89 = 2,11$. Получаем $2,11a^2z$.
Для второй группы преобразуем смешанное число в десятичную дробь: $3\frac{1}{5} = 3,2$. Тогда $3,2 - 15 = -11,8$. Получаем $-11,8y^2$.
Сложим полученные результаты: $2,11a^2z - 11,8y^2$.
Ответ: $2,11a^2z - 11,8y^2$.

3) Для упрощения выражения $3,12ab + 7\frac{5}{6}m^3 - 4\frac{1}{6}m^3 + 16,82ab$ приведем подобные слагаемые.
Сгруппируем слагаемые с переменными $ab$ и слагаемые с переменной $m^3$:
$(3,12ab + 16,82ab) + (7\frac{5}{6}m^3 - 4\frac{1}{6}m^3)$
Выполним действия с коэффициентами в каждой группе.
Для первой группы: $3,12 + 16,82 = 19,94$. Получаем $19,94ab$.
Для второй группы: $7\frac{5}{6} - 4\frac{1}{6} = (7-4) + (\frac{5}{6} - \frac{1}{6}) = 3 + \frac{4}{6} = 3 + \frac{2}{3} = 3\frac{2}{3}$. Получаем $3\frac{2}{3}m^3$.
Сложим полученные результаты: $19,94ab + 3\frac{2}{3}m^3$.
Ответ: $19,94ab + 3\frac{2}{3}m^3$.

4) Для упрощения выражения $19,2x^2 - 30\frac{1}{9}kt + 31kt - 20x^2$ приведем подобные слагаемые.
Сгруппируем слагаемые с переменной $x^2$ и слагаемые с переменными $kt$:
$(19,2x^2 - 20x^2) + (-30\frac{1}{9}kt + 31kt)$
Выполним действия с коэффициентами в каждой группе.
Для первой группы: $19,2 - 20 = -0,8$. Получаем $-0,8x^2$.
Для второй группы: $31 - 30\frac{1}{9} = 30\frac{9}{9} - 30\frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. Получаем $\frac{8}{9}kt$.
Сложим полученные результаты, записав положительное слагаемое первым: $\frac{8}{9}kt - 0,8x^2$.
Ответ: $\frac{8}{9}kt - 0,8x^2$.

Представьте в стандартном виде и назовите степени многочленов (11.7–11.9):

11.7. 1) $22a^2 - 40a^3 + 18a^2 + 29a^3 + a^4;$

2) $-7b^5 - 13b^6 + 15 - 9b^5 + 34b^6;$

3) $41c^2 + 62c^3 - 99 - 42c^2 + 38c^3;$

4) $-52k + k^4 - 18k^4 + 52 - k.$

1) Чтобы привести многочлен $22a^2 - 40a^3 + 18a^2 + 29a^3 + a^4$ к стандартному виду, необходимо сгруппировать и сложить подобные члены (одночлены с одинаковой переменной в одинаковой степени), а затем расположить их в порядке убывания степеней.

Сгруппируем подобные члены:

$(22a^2 + 18a^2) + (-40a^3 + 29a^3) + a^4$

Выполним сложение:

$40a^2 - 11a^3 + a^4$

Теперь расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $a$:

$a^4 - 11a^3 + 40a^2$

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Наибольшая степень в данном многочлене равна 4.

Ответ: стандартный вид $a^4 - 11a^3 + 40a^2$, степень 4.

2) Приведем многочлен $-7b^5 - 13b^6 + 15 - 9b^5 + 34b^6$ к стандартному виду. Сначала сгруппируем и сложим подобные члены.

Сгруппируем подобные члены:

$(-13b^6 + 34b^6) + (-7b^5 - 9b^5) + 15$

Выполним сложение:

$21b^6 - 16b^5 + 15$

Члены многочлена уже расположены в порядке убывания степеней, поэтому это и есть стандартный вид. Степенью многочлена является наибольшая степень его членов, то есть 6.

Ответ: стандартный вид $21b^6 - 16b^5 + 15$, степень 6.

3) Приведем многочлен $41c^2 + 62c^3 - 99 - 42c^2 + 38c^3$ к стандартному виду. Сгруппируем и сложим подобные члены.

Сгруппируем подобные члены:

$(62c^3 + 38c^3) + (41c^2 - 42c^2) - 99$

Выполним сложение:

$100c^3 - c^2 - 99$

Это стандартный вид многочлена, так как его члены расположены по убыванию степеней. Наибольшая степень равна 3.

Ответ: стандартный вид $100c^3 - c^2 - 99$, степень 3.

4) Приведем многочлен $-52k + k^4 - 18k^4 + 52 - k$ к стандартному виду. Сгруппируем и сложим подобные члены.

Сгруппируем подобные члены:

$(k^4 - 18k^4) + (-52k - k) + 52$

Выполним сложение:

$-17k^4 - 53k + 52$

Это стандартный вид многочлена, так как его члены расположены по убыванию степеней ($k^4$, $k^1$, $k^0$). Наибольшая степень равна 4.

Ответ: стандартный вид $-17k^4 - 53k + 52$, степень 4.

11.8. 1) $7.8x + 9.1y^2 - x + 1.9y^2 - 8.7y^2$;

2) $0.246z^3 - 15.2t + 16t - z^3 - 0.94$;

3) $-29.1c^2 + 0.17d^3 - d^3 + 30c^2 - 1.1d^3$;

4) $40.4a^3 - b^4 + 2.6a^3 - 44a^3 + 0.73b^4$.

1) Чтобы упростить выражение $7,8x + 9,1y^2 - x + 1,9y^2 - 8,7y^2$, необходимо привести подобные слагаемые. Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными: слагаемые с $x$ и слагаемые с $y^2$. Получаем: $(7,8x - x) + (9,1y^2 + 1,9y^2 - 8,7y^2)$. Теперь выполним арифметические операции с коэффициентами в каждой группе. Для слагаемых с $x$: $7,8 - 1 = 6,8$. Для слагаемых с $y^2$: $9,1 + 1,9 - 8,7 = 11 - 8,7 = 2,3$. В результате получаем упрощенное выражение.
Ответ: $6,8x + 2,3y^2$.

2) Упростим выражение $0,246z^3 - 15,2t + 16t - z^3 - 0,94$. Для этого сгруппируем подобные слагаемые: слагаемые с $z^3$, слагаемые с $t$ и свободные члены (числа). Группировка выглядит так: $(0,246z^3 - z^3) + (-15,2t + 16t) - 0,94$. Выполним вычисления для коэффициентов в каждой группе. Для слагаемых с $z^3$: $0,246 - 1 = -0,754$. Для слагаемых с $t$: $-15,2 + 16 = 0,8$. Свободный член $-0,94$ остается без изменений. Запишем итоговое выражение.
Ответ: $-0,754z^3 + 0,8t - 0,94$.

3) Рассмотрим выражение $-29,1c^2 + 0,17d^3 - d^3 + 30c^2 - 1,1d^3$ и приведем в нем подобные слагаемые. Сгруппируем члены с $c^2$ и члены с $d^3$. Получаем группы: $(-29,1c^2 + 30c^2) + (0,17d^3 - d^3 - 1,1d^3)$. Теперь вычислим сумму коэффициентов для каждой переменной. Для $c^2$: $-29,1 + 30 = 0,9$. Для $d^3$: $0,17 - 1 - 1,1 = 0,17 - 2,1 = -1,93$. Собираем полученные члены в одно выражение.
Ответ: $0,9c^2 - 1,93d^3$.

4) Для упрощения выражения $40,4a^3 - b^4 + 2,6a^3 - 44a^3 + 0,73b^4$ найдем и сгруппируем подобные слагаемые. Это слагаемые с $a^3$ и слагаемые с $b^4$. Группировка: $(40,4a^3 + 2,6a^3 - 44a^3) + (-b^4 + 0,73b^4)$. Выполним действия с коэффициентами. Для $a^3$: $40,4 + 2,6 - 44 = 43 - 44 = -1$. Для $b^4$: $-1 + 0,73 = -0,27$. Запишем окончательный вид выражения.
Ответ: $-a^3 - 0,27b^4$.

11.9. 1) $1\frac{3}{7}b^2 - 10a^3 - \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{7}b^2 + 9a^3;$

2) $-8,5c^4 + 17b + 6\frac{2}{3}c^4 + \frac{5}{6}c^4 - 19b;$

3) $2\frac{2}{3}t^5 + 40a^2 - 3\frac{4}{9}t^5 - 41a^2 + 1\frac{1}{3}t^5;$

4) $-\frac{6}{7}k^6 - 8,8d^4 + 2\frac{6}{11}k^6 + 9d^4 - \frac{9}{11}k^6.$

1) Чтобы упростить выражение $1\frac{3}{7}b^2 - 10a^3 - \frac{2}{3}b^2 - \frac{3}{7}b^2 + 9a^3$, нужно сгруппировать и привести подобные слагаемые.
Сгруппируем члены с переменной $b^2$ и члены с переменной $a^3$:
$(1\frac{3}{7}b^2 - \frac{3}{7}b^2 - \frac{2}{3}b^2) + (-10a^3 + 9a^3)$.
Теперь вычислим коэффициенты для каждой группы:
Для $b^2$: $1\frac{3}{7} - \frac{3}{7} - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Для $a^3$: $-10 + 9 = -1$.
Соберем упрощенное выражение: $\frac{1}{3}b^2 - a^3$.
Ответ: $-a^3 + \frac{1}{3}b^2$.

2) Упростим выражение $-8,5c^4 + 17b + 6\frac{2}{3}c^4 + \frac{5}{6}c^4 - 19b$.
Сгруппируем подобные слагаемые с переменными $c^4$ и $b$:
$(-8,5c^4 + 6\frac{2}{3}c^4 + \frac{5}{6}c^4) + (17b - 19b)$.
Вычислим коэффициенты для $c^4$. Для этого преобразуем все коэффициенты в обыкновенные дроби. $-8,5 = -\frac{17}{2}$ и $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.
Сумма коэффициентов для $c^4$: $-\frac{17}{2} + \frac{20}{3} + \frac{5}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 6: $-\frac{17 \cdot 3}{6} + \frac{20 \cdot 2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{-51 + 40 + 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.
Вычислим коэффициент для $b$: $17 - 19 = -2$.
Получаем выражение: $-c^4 - 2b$.
Ответ: $-c^4 - 2b$.

3) Упростим выражение $2\frac{2}{3}t^5 + 40a^2 - 3\frac{4}{9}t^5 - 41a^2 + 1\frac{1}{3}t^5$.
Сгруппируем подобные слагаемые с переменными $t^5$ и $a^2$:
$(2\frac{2}{3}t^5 - 3\frac{4}{9}t^5 + 1\frac{1}{3}t^5) + (40a^2 - 41a^2)$.
Вычислим коэффициенты для $t^5$. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$, $3\frac{4}{9} = \frac{31}{9}$, $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$\frac{8}{3} - \frac{31}{9} + \frac{4}{3}$. Приведем к общему знаменателю 9:
$\frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{31}{9} + \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{24 - 31 + 12}{9} = \frac{5}{9}$.
Вычислим коэффициент для $a^2$: $40 - 41 = -1$.
Получаем выражение: $\frac{5}{9}t^5 - a^2$.
Ответ: $\frac{5}{9}t^5 - a^2$.

4) Упростим выражение $-\frac{6}{7}k^6 - 8,8d^4 + 2\frac{6}{11}k^6 + 9d^4 - \frac{9}{11}k^6$.
Сгруппируем подобные слагаемые с переменными $k^6$ и $d^4$:
$(-\frac{6}{7}k^6 + 2\frac{6}{11}k^6 - \frac{9}{11}k^6) + (-8,8d^4 + 9d^4)$.
Вычислим коэффициент для $d^4$: $-8,8 + 9 = 0,2$.
Вычислим коэффициенты для $k^6$: $-\frac{6}{7} + 2\frac{6}{11} - \frac{9}{11}$.
Сначала сложим члены со знаменателем 11: $2\frac{6}{11} - \frac{9}{11} = \frac{28}{11} - \frac{9}{11} = \frac{19}{11}$.
Теперь выполним сложение: $-\frac{6}{7} + \frac{19}{11}$.
Приведем к общему знаменателю 77: $-\frac{6 \cdot 11}{77} + \frac{19 \cdot 7}{77} = \frac{-66 + 133}{77} = \frac{67}{77}$.
Получаем выражение: $\frac{67}{77}k^6 + 0,2d^4$.
Ответ: $\frac{67}{77}k^6 + 0,2d^4$.