Страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.14. Известно: $5x^2y^3 = 8$. Найдите:

1) $45x^2y^3$;

2) $3x^2y^3$;

3) $-5.5x^2y^3$;

4) $25x^4y^6$;

5) $125x^6y^9$;

6) $\frac{625}{128}x^8y^{12}$.

Исходное данное: $5x^2y^3 = 8$. На основе этого равенства найдем значения предложенных выражений.

1) Чтобы найти значение выражения $45x^2y^3$, представим его в виде произведения, выделив известный нам множитель $5x^2y^3$:
$45x^2y^3 = 9 \cdot 5 \cdot x^2y^3 = 9 \cdot (5x^2y^3)$.
Теперь подставим известное значение $5x^2y^3 = 8$:
$9 \cdot 8 = 72$.
Ответ: 72

2) Для нахождения значения выражения $3x^2y^3$, сначала выразим $x^2y^3$ из исходного уравнения $5x^2y^3 = 8$. Для этого разделим обе части на 5:
$x^2y^3 = \frac{8}{5}$.
Теперь подставим это значение в искомое выражение:
$3x^2y^3 = 3 \cdot (x^2y^3) = 3 \cdot \frac{8}{5} = \frac{24}{5} = 4,8$.
Ответ: 4,8

3) Чтобы найти значение выражения $-5,5x^2y^3$, воспользуемся найденным ранее значением $x^2y^3 = \frac{8}{5}$:
$-5,5x^2y^3 = -5,5 \cdot (x^2y^3) = -5,5 \cdot \frac{8}{5}$.
Преобразуем $-5,5$ в обыкновенную дробь: $-5,5 = -\frac{55}{10} = -\frac{11}{2}$.
$-\frac{11}{2} \cdot \frac{8}{5} = -\frac{11 \cdot 4}{5} = -\frac{44}{5} = -8,8$.
Ответ: -8,8

4) Для нахождения значения $25x^4y^6$, заметим, что это выражение можно представить как квадрат исходного выражения. Используем свойства степеней:
$25x^4y^6 = 5^2 \cdot (x^2)^2 \cdot (y^3)^2 = (5x^2y^3)^2$.
Так как $5x^2y^3 = 8$, то:
$(8)^2 = 64$.
Ответ: 64

5) Аналогично предыдущему пункту, представим выражение $125x^6y^9$ как куб исходного выражения:
$125x^6y^9 = 5^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = (5x^2y^3)^3$.
Подставим значение $5x^2y^3 = 8$:
$(8)^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$.
Ответ: 512

6) Найдем значение выражения $\frac{625}{128}x^8y^{12}$. Преобразуем его, используя свойства степеней и известные значения.
Во-первых, $x^8y^{12} = (x^2)^4 (y^3)^4 = (x^2y^3)^4$.
Из $5x^2y^3=8$ мы знаем, что $x^2y^3 = \frac{8}{5}$.
Следовательно, $(x^2y^3)^4 = (\frac{8}{5})^4 = \frac{8^4}{5^4}$.
Подставим это в исходное выражение: $\frac{625}{128} \cdot \frac{8^4}{5^4}$.
Представим числа в виде степеней: $625 = 5^4$, $128 = 2^7$, $8 = 2^3$.
$\frac{5^4}{2^7} \cdot \frac{(2^3)^4}{5^4} = \frac{5^4}{2^7} \cdot \frac{2^{12}}{5^4}$.
Сокращаем $5^4$ и вычисляем степень двойки: $\frac{2^{12}}{2^7} = 2^{12-7} = 2^5 = 32$.
Ответ: 32

10.15. Упростите выражение $ (a^5b^3)^6 \cdot (a^7b^4)^5 : (a^{21}b^{12})^3 $ и найдите его значение при $ a = - \frac{5}{11} $ и $ b = 3 \frac{2}{3} $.

Сначала упростим данное выражение, последовательно применяя свойства степеней: $(xy)^n = x^ny^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$, $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.
Исходное выражение: $(a^5b^3)^6 \cdot (a^7b^4)^5 : (a^{21}b^{12})^3$.

1. Раскроем скобки, возводя каждый множитель в степень:
$(a^{5 \cdot 6}b^{3 \cdot 6}) \cdot (a^{7 \cdot 5}b^{4 \cdot 5}) : (a^{21 \cdot 3}b^{12 \cdot 3}) = a^{30}b^{18} \cdot a^{35}b^{20} : a^{63}b^{36}$.

2. Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями, складывая их показатели:
$a^{30+35}b^{18+20} : a^{63}b^{36} = a^{65}b^{38} : a^{63}b^{36}$.

3. Выполним деление степеней с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели:
$a^{65-63}b^{38-36} = a^2b^2$.

Упрощенное выражение: $a^2b^2$, которое также можно записать как $(ab)^2$.

Теперь найдем значение этого выражения при заданных значениях $a = -\frac{5}{11}$ и $b = 3\frac{2}{3}$.

1. Преобразуем смешанное число $b$ в неправильную дробь:
$b = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$.

2. Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение $(ab)^2$:
$(ab)^2 = \left( \left(-\frac{5}{11}\right) \cdot \frac{11}{3} \right)^2$.

3. Выполним умножение внутри скобок. Значение 11 в числителе и знаменателе сокращается:
$\left( -\frac{5 \cdot 11}{11 \cdot 3} \right)^2 = \left( -\frac{5}{3} \right)^2$.

4. Возведем полученную дробь в квадрат:
$\left( -\frac{5}{3} \right)^2 = \frac{(-5)^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

5. Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Ответ: $2\frac{7}{9}$

10.16. Замените:
1) разность одночленов $2a^2b - 13ab^3$ на сумму одночленов;
2) сумму одночленов $11x^2y + (-xy^3)$ на разность одночленов.

1) разность одночленов $2a^2b - 13ab^3$ на сумму одночленов;
Чтобы заменить разность двух одночленов на сумму, используется правило, согласно которому вычитание любого выражения равносильно прибавлению противоположного ему выражения. Это правило можно записать в виде формулы: $A - B = A + (-B)$.
В нашем выражении $2a^2b - 13ab^3$ мы вычитаем одночлен $13ab^3$ из одночлена $2a^2b$.
Чтобы преобразовать это выражение в сумму, мы заменяем знак вычитания на знак сложения, а вычитаемый одночлен $13ab^3$ на противоположный ему одночлен $(-13ab^3)$.
В результате получаем сумму двух одночленов: $2a^2b + (-13ab^3)$.
Ответ: $2a^2b + (-13ab^3)$.

2) сумму одночленов $11x^2y + (-xy^3)$ на разность одночленов.
Чтобы заменить сумму, в которой одно из слагаемых является отрицательным одночленом, на разность, используется обратное правило: прибавление отрицательного выражения равносильно вычитанию соответствующего положительного выражения. Формула этого правила: $A + (-B) = A - B$.
В нашем выражении $11x^2y + (-xy^3)$ мы складываем одночлен $11x^2y$ с отрицательным одночленом $(-xy^3)$.
Чтобы преобразовать это выражение в разность, мы заменяем операцию сложения с отрицательным одночленом на операцию вычитания положительного одночлена.
В результате получаем разность двух одночленов: $11x^2y - xy^3$.
Ответ: $11x^2y - xy^3$.

10.17. Найдите одночлен наибольшей степени: $17a^3$, $-5ya^4$; $8a^2n^3$; $12xy^5$.

Для того чтобы найти одночлен наибольшей степени, необходимо вычислить степень каждого из предложенных одночленов. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

1. Определим степень одночлена $17a^3$.
В этом одночлене одна переменная $a$ со степенью 3. Следовательно, степень одночлена равна 3.

2. Определим степень одночлена $-5ya^4$.
В этом одночлене две переменные: $y$ (в степени 1, так как $y=y^1$) и $a$ (в степени 4). Степень одночлена равна сумме показателей: $1 + 4 = 5$.

3. Определим степень одночлена $8a^2n^3$.
В этом одночлене две переменные: $a$ (в степени 2) и $n$ (в степени 3). Степень одночлена равна сумме показателей: $2 + 3 = 5$.

4. Определим степень одночлена $12xy^5$.
В этом одночлене две переменные: $x$ (в степени 1, так как $x=x^1$) и $y$ (в степени 5). Степень одночлена равна сумме показателей: $1 + 5 = 6$.

Теперь сравним степени всех одночленов: 3, 5, 5 и 6. Наибольшая степень — 6. Эту степень имеет одночлен $12xy^5$.

Ответ: $12xy^5$.