Номер 10.15, страница 86 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.15. Упростите выражение $ (a^5b^3)^6 \cdot (a^7b^4)^5 : (a^{21}b^{12})^3 $ и найдите его значение при $ a = - \frac{5}{11} $ и $ b = 3 \frac{2}{3} $.

Сначала упростим данное выражение, последовательно применяя свойства степеней: $(xy)^n = x^ny^n$, $(x^m)^n = x^{mn}$, $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.
Исходное выражение: $(a^5b^3)^6 \cdot (a^7b^4)^5 : (a^{21}b^{12})^3$.

1. Раскроем скобки, возводя каждый множитель в степень:
$(a^{5 \cdot 6}b^{3 \cdot 6}) \cdot (a^{7 \cdot 5}b^{4 \cdot 5}) : (a^{21 \cdot 3}b^{12 \cdot 3}) = a^{30}b^{18} \cdot a^{35}b^{20} : a^{63}b^{36}$.

2. Выполним умножение степеней с одинаковыми основаниями, складывая их показатели:
$a^{30+35}b^{18+20} : a^{63}b^{36} = a^{65}b^{38} : a^{63}b^{36}$.

3. Выполним деление степеней с одинаковыми основаниями, вычитая их показатели:
$a^{65-63}b^{38-36} = a^2b^2$.

Упрощенное выражение: $a^2b^2$, которое также можно записать как $(ab)^2$.

Теперь найдем значение этого выражения при заданных значениях $a = -\frac{5}{11}$ и $b = 3\frac{2}{3}$.

1. Преобразуем смешанное число $b$ в неправильную дробь:
$b = 3\frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3}$.

2. Подставим значения $a$ и $b$ в упрощенное выражение $(ab)^2$:
$(ab)^2 = \left( \left(-\frac{5}{11}\right) \cdot \frac{11}{3} \right)^2$.

3. Выполним умножение внутри скобок. Значение 11 в числителе и знаменателе сокращается:
$\left( -\frac{5 \cdot 11}{11 \cdot 3} \right)^2 = \left( -\frac{5}{3} \right)^2$.

4. Возведем полученную дробь в квадрат:
$\left( -\frac{5}{3} \right)^2 = \frac{(-5)^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.

5. Представим результат в виде смешанного числа:
$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$.

Ответ: $2\frac{7}{9}$